2021-2022学年山西省平遥中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年山西省平遥中学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的一个方向向量的坐标为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据直线的方向向量的概念即可得出结果.

【详解】由题意知，，

所以直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为，

故选：D

2．已知，，若，则的值为（    ）

A． B． C．6 D．8

【答案】D

【解析】由，可得，则有，从而可求出的值，

【详解】解：因为，所以，

因为，，

所以，解得，

故选：D

3．抛物线的准线方程为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：抛物线化为标准方程，则，所以准线方程为，故答案为D．

【解析】抛物线的性质．

4．若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ）

A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1

【答案】A

【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．

【详解】将代入圆方程，得，解得或0，

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意.

故选：C．

5．若抛物线上一点到焦点的距离是，则点到直线的距离是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由抛物线的定义得点到准线的距离，再由准线与直线的关系得出结论．

【详解】由题意抛物线的焦点为，准线方程为，在轴左侧．

点到焦点的距离是，则到准线的距离为5，所以点到直线的距离是．

故选：A．

6．直线过点且与椭圆相交于，两点，若点为弦的中点，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据点为弦的中点，利用“点差法”求解.

【详解】设， 因为点A，B在椭圆上，

所以，

两式相减得，

即，

因为点为弦的中点，

所以直线的斜率为，

故选：A

7．已知，为两条异面直线，在直线上取点，，在直线上取点，，使，且（称为异面直线，的公垂线）.已知，，，，则异面直线，所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题可设异面直线，所成的角为，利用向量可得的值，即求.

【详解】设异面直线，所成的角为，

∵，且，，，，，

∴

∴

∴

∴，又

∴.

故选：B.

8．已知点在离心率为的椭圆上，是椭圆的一个焦点，是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，若的最小值为1，则椭圆的焦距的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由圆与圆相离且圆心距，以及的最小值为1，可得圆的直径，即的长，再由在椭圆上，可得，进而可求出结果.

【详解】因为是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，又的最小值为1，所以，解得，

又因在椭圆上，所以，因为离心率为，所以,

所以，故，所以.

故选C

【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，做题的关键在于，由两圆相离先确定的长，进而可根据椭圆的性质，即可求出结果，属于常考题型.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为

B．直线的倾斜角为120°

C．，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件

D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为

【答案】BCD

【分析】考虑直线截距为0时可以判断A；

先求出斜率，进而求出倾斜角，然后判断B；

先求出直线与直线垂直的等价结论，进而判断C；

设出原直线方程，再求出平移后的直线方程，进而通过两条直线重合求出答案，进而判断D.

【详解】对A，若直线过原点，则方程为：，A错误；

对B，直线斜率为：，则倾斜角为120°，B正确；

对C，直线与直线垂直，等价于或a=3，C正确；

对D，若直线斜率不存在，设直线，它沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得到：，不与原来重合，舍去；

若直线斜率存在，设直线，它沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得到：，因为它回到原来的位置，所以，D正确.

故选：BCD

10．下列说法正确的有（    ）

A．方程表示两条直线

B．椭圆的焦距为4，则

C．曲线关于坐标原点对称

D．椭圆：的焦距是2

【答案】AC

【解析】A.化简方程，判断选项；B.讨论焦点在轴和轴两种情况，求的值；C.利用对称点是否满足方程，判断选项；D.根据椭圆方程求焦距.

【详解】A.方程，即和表示两条直线，故A正确；

B.若方程表示焦点在轴的椭圆，则，解得：，

若方程表示焦点在轴的椭圆时，则，解得：，

所以或，故B不正确；

C.若点满足方程，则点也满足方程，

所以曲线关于坐标原点对称，故C正确；

D. 椭圆：，，则，所以焦距是4，故D不正确.

故选：AC

【点睛】易错点睛：根据椭圆方程求参数或是判断性质时，需注意焦点的位置，以及讨论焦点的位置，否则会出现丢根的情况.

11．如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（    ）

A．椭圆的长轴长为8 B．椭圆的离心率为

C．椭圆的离心率为 D．椭圆的一个方程可能为

【答案】BD

【分析】根据条件求得短半轴长、长半轴长，从而求得半焦距，进而可求得结果.

【详解】由题意易知椭圆的短半轴长，

∵截面与底面所成的角为，

∴椭圆的长轴长为，则，

所以，

离心率为，

当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，

则椭圆的方程为.

故选：BD.

12．已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（    ）

A．异面直线与所成角为

B．点到平面的距离为

C．四面体的外接球体积为

D．动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆

【答案】BC

【解析】在正四面体中通过线面垂直可证得，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得的轨迹为双曲线方程即可得D错误.

【详解】取中点,连接,可得面,则,故A错误；

在四面体中，过点作面于点,则为为底面正三角形的重心，因为所有棱长均为,,即点到平面的距离为,故B正确；

设为正四面体的中心则为内切球的半径，我外接球的半径，

因为，所以，即,

所以四面体的外接球体积,故C正确；

建系如图：,设，则

因为，所以，

即，平方化简可得：，可知点的轨迹为双曲线,故D错误.

故选：BC．

【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.

三、填空题

13．已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为________.

【答案】

【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.

【详解】依题意，，所以，

所以双曲线的标准方程为.

故答案为：

14．，其中，，则二元函数的最小值为_________

【答案】7

【分析】先将问题转化为动点到定点，，，距离的和，再利用数形结合思想求解即可．

【详解】解：，，在由直线、、、围成的矩形区域内（含边界），如图所示：

因为

所以二元函数表示动点到定点，，，距离的和，

在矩形边界及内部任取点，连接，，，，，

于是有，当且仅当点在线段上时取等号，

，当且仅当点在线段上时取等号，

于是，

当且仅当点是线段与的交点时取等号，

又，所以直线为，即，

显然直线与轴的交点为在线段上，即当时，的最小值为7.

故答案为：．

15．已知 为双曲线的右焦点，若圆上恰有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为________.

【答案】

【分析】根据圆与渐近线的位置关系，可得圆心到直线的距离，即可得关系，在根据，即可得双曲线的离心率.

【详解】解：圆的圆心，半径，双曲线的渐近线方程为，即

若圆上恰有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为，

则圆心到直线的距离，整理得，又，则双曲线的离心率为.

故答案为：.

四、双空题

16．如图，在直三棱柱中，点为棱上的点.且平面，则________.已知，，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为________.

【答案】     1    

【解析】取的中点为E，分别连接和，利用面面平行的性质定理证明，又，可证得四边形为平行四边形，进而可得为的中点，进一步计算可得的值；球面与侧面的交线长，即截面圆的弧长，通过分析计算可得为等边三角形，进而可求出弧PQ的长度.

【详解】取的中点为E，分别连接和，

细查题意知，只有当是的中点时，才满足题意，原因如下：

当是的中点时，，，，

平面，平面，

∵，

∴平面平面，

∵平面，

平面，

平面平面，

又平面平面，平面平面，

，又，

四边形为平行四边形，

，即为的中点，

所以；

球面与侧面的交线长，即截面圆的弧长，

，，

，即，易得，

取的中点为，故可得，

平面平面，平面，

平面平面，

圆心距，设交线的轨迹为PQ，，

截面圆半径，

又因为，所以为等边三角形，

.

故答案为：1，.

【点睛】方法点睛：对于第一空，证明四边形为平行四边形，可利用面面平行的性质定理；对于第二空，通过作出图形，分析截面圆的特征，然后进行几何计算，进而得出为等边三角形，最后计算弧长.

五、解答题

17．在三棱锥中，是的中点，在上，且，，，，

（1）试用，，表示向量；

（2）若底面是等腰直角三角形，且，，求的长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)根据给定条件利用空间向量线性运算直接写出并化简计算即可；

(2)利用给定条件借助空间向量的数量积即可计算的长.

【详解】（1）依题意，因是的中点，在上，且，

则

，

所以；

（2）因，，，

即，则，，，

由(1)知：，

所以的长是.

18．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.

（1）求圆的方程；

（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）首先求出过点且与直线垂直的直线，则圆心必在此直线上；与联立可求得圆心坐标；再利用两点间距离公式可求得；根据圆心和半径可求得圆的方程；（2）根据直线被圆截得的弦长可求得圆心到直线的距离：，分别在斜率存在和不存在两种情况下求解直线方程，进而可得结果.

【详解】（1）由题意得，过点且与直线垂直的直线方程为：

由，解得：    圆心的坐标为

圆的半径：

圆的方程为：

（2）因为直线被圆截得的张长为

圆心到直线的距离：

若直线的斜率不存在，则为直线，此时圆心到的距离为，不符合题意；

若直线的斜率存在，设直线的方程为：，即

由，整理得：

解得：或

直线的方程为：或

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用问题，涉及到直线与圆相切、直线被圆截得的弦长问题.

19．如图，是一抛物线型拱门示意图，拱门边界线是抛物线的一部分，抛物线的轴为拱门的对称轴，拱门底部宽8米，顶点距离地面6米．

（1）以拱门顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，求拱门边界线所在抛物线的方程；

（2）节日期间需要在拱门对称轴上离地面4米处悬挂一节日灯笼，如图，用两根对称的牵引绳固定，求其中一根牵引绳长度的最小值．（灯笼看作点）

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）在题设坐标系中在抛物线上，由此可得抛物线标准方程；

（2）设为灯笼所在点，为抛物线上设置牵引绳的点，求出，利用函数的性质得最小值．

【详解】解：（1）以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，如图．

则，，

设抛物线的标准方程为（）．

因为点在抛物线上，

所以，解得，

所以抛物线的方程为．

（2）设为灯笼所在点，为抛物线上设置牵引绳的点，

则，

（），

当时，的最小值为，即一条牵引绳长度的最小值为．

20．在平面直角坐标系中，，圆，动圆过且与圆相切．

(1)求动点的轨迹的标准方程；

(2)求曲线上的点到直线的最大距离，并求的坐标．

【答案】(1)

(2) ，

【分析】（1）设动圆的半径为，由题意得到： ，再利用椭圆的定义求解；

（2）设直线  ，根据与椭圆相切，联立方程求得m，再利用两平行间的距离求解.

【详解】（1）解：设动圆的半径为，

由题意知： ，，

所以 . 

所以点的轨迹是以为焦点的椭圆．

其长轴长，焦距为，．

所以曲线的标准方程为： .

（2）设直线  与椭圆相切，

 消得 ，

  与相切 ，

，即 ，

 ，

 ，

 ，

 当 时，即  时，有最大距离

此时为与的切点． 

 ，

21．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，．

（1）求证：平面；

（2）若，点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理证得，再利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到平面.

（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求线面角的正弦值．

【详解】证明：

（1）因为，且为线段的中点，

所以，又因为，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面

所以平面，

又平面平面，

所以，

又，且平面平面，平面平面，

所以平面，

所以平面，

（2）因为，为线段的中点，

所以，

又因为平面平面，

所以平面，

以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图

所示的空间直角坐标系；

则，，，，

则，，，，

所以，

设平面的法向量为，

则，即

不妨令，可得为平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，

于是有；

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】关键点点睛：（1）考查了线面平行的判定与性质定理，考查了线面垂直的判定定理；

（2）考查了用空间向量方法求线面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题求解，考查学生的运算能力与空间想象能力，属于中档题.

22．已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)点是椭圆的上顶点，点，在椭圆上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由对称性可知经过两点，再把代入，得到，从而确定不经过点，确定点在上，待定系数法求出曲线的方程；

（2）设直线，与椭圆的方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出，列出方程，求出，直线过定点，故，且由得到，表达出，换元后利用基本不等式求出面积的最大值.

【详解】（1）由于两点关于轴对称，

故曲线经过两点，

又由知，不经过点，

所以点在上．

因此，解得，

故的方程为；

（2）由于是椭圆的上顶点，故直线的斜率一定存在，

设，直线，

联立方程组  ，得

，得，

，

,

由题意知，由，

代入化简得，

整理得：，

∴

故直线过定点，

由得，解得，

且，

，

令，则，

当且仅当，即，即时等号成立，

所以面积的最大值为.

【点睛】直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题难点在利用求出直线过定点后，利用表达出，再根据基本不等式求出面积的最大值.