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沪教版 (五四制)七年级下册第十二章 实数综合与测试教案
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这是一份沪教版 (五四制)七年级下册第十二章 实数综合与测试教案，共51页。
12．1实数的概念
教学目标
1．通过动手操作经历发现无理数的过程，了解无理数是客观存在的数，了解无理数的发现是人类理性思维的胜利.
2. 通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.
3. 了解数系从整数到有理数、再到实数的扩展过程，理解实数系统的结构，体会分类思想.
教学重点及难点
理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.
教学用具准备
各种大小的正方形纸片若干、小剪刀若干、多媒体设备.
教学流程设计
复习引入 学习新知 形成概念
布置作业 自主小结 巩固练习
教学过程设计
一、 复习引入
教师设问：
(1)我们已经学习了有理数，你能举出几个有理数吗？
(2)有理数都可以表示为哪种统一的形式？
(3)是不是所有的数都能表示为分数的形式？
答：不是，无限不循环小数（如：π）就不能表示为该形式.
[说明]前两个问题带领学生复习已有的相关知识；第三个问题设置疑问，引发学生的思考，带着这样的困惑和好奇学习新知.
二、 学习新知
1． 操作剪拼正方形，引出.
要求：能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形？怎样剪拼？它的面积是多少？边长如何用代数符号表示？
师：如果设该正方形的边长为x，那么，即x是这样一个数，它的平方等于2.这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度.由于这个数和2有关，我们现在用（读作“根号2”）来表示.
追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？
类似的，分别用（读作“根号3”）、（读作“根号5”）来表示.
2． 尝试说明是一个无限不循环小数.
要求学生尝试完成以下填空：
假设是一个有理数，设，
等式两边分别平方，可以得到2= ，则= ，
由此可知p一定是一个 （填“奇”或“偶”）数，
再设p=2n(n表示整数)，代入上式，那么= ，
同理可知q也是 .这时发现p、q有了共同的因数2，
这与之前假设中的“ ”矛盾.因此假设不成立，
即不是 ，而是无限不循环小数.
师生总结：从以上填空可以说明是无限不循环小数.
3． 请你再举出几个无限不循环小数的例子.
除了以上提到的，我们熟悉的圆周率也是无限不循环小数.此外，我们还可以构造几个无限不循环小数，如：0.202002000200002……、0.123456789101112131415161718192021222324……等.
三、 形成概念
1．无理数
无限不循环小数叫做无理数.无理数也有正、负之分.只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数.
2．实数
{
有理数和无理数统称为实数.实数可以这样分类：
{
正有理数
有理数 零 ——有限小数或无限循环小数
{
实数 负有理数
正无理数
无理数 ——无限不循环小数
负无理数
四、 巩固练习
1．将下列各数填入适当的括号内：
0、-3、、6、3.14159、、、、π、0.3737737773….
有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜；
正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜；
非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜.
2．判断下列说法是否正确，并说明理由：
(1) 无限小数都是无理数；
(2)无理数都是无限小数；
(3)正实数包括正有理数和正无理数；
(4)实数可以分为正实数和负实数两类.
3．请构造几个大小在3和4之间的无理数.
4．用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义：
(1) 分数. (2) 0 有理数.
(3) 无限不循环小数 无理数.(4) 实数 有理数和无理数.
(5) 正整数、0和负整数 整数.
(6) 有理数 有限小数或无限循环小数.
五、自主小结
请学生谈谈：你学到了什么?
你有什么样的疑问？
你有什么收获、体会或想法?
你还想知道什么？
六、布置作业
布置作业：数学练习册12.1习题
教学设计说明
本节课的知识形成过程：首先通过操作，得到面积为2的正方形，提出 “正方形的边长怎样表示”的问题，引出边长为“”.然后通过与有理数比较分析并且说理，推出只能是一个无限不循环小数，即无理数.紧接着再举几个无理数的例子.（即：第一，探究生活中是否存在无理数.通过操作产生面积为2的正方形，由正方形的边长引出“”；第二，探究是什么样的数.通过与有理数比较分析，推出只能是一个无限不循环小数，即无理数；第三，探究是否存在其他的无理数.举面积为3、5、6、7、8、10的正方形边长及圆周率π为例，说明无理数普遍存在.）在此基础上，引进无理数，归纳得到实数的概念，体验数的扩充的过程和必要性.
（1）动手操作和问题讨论的目的，是让学生感受的现实意义，并认识到用已有的有理数不能准确表示这一线段长度，因而需要寻找一种新的数来解决问题；同时调动学生学习和思维的积极性，帮助学生体验无理数的产生过程，引导学生用科学的眼光认识世界.本节中“”的出现先于定义，暂只作为一个记号，其含义待下一节课详述.
（2）考虑到学生层次相对较好，教学中以为例，教师与学生一起通过说理，说明了不是有理数，而是一个无限不循环小数.对此，可结合本班学生实际特点开展教学.
（3）把无限不循环小数叫做无理数，是与有理数的意义进行比较后，通过理性思考得到的，无需做更多地解释.无理数的相反数的概念在“实数运算”一节有定义，这里只对特殊的数作说明.
（4）实数的分类办法，建议与有理数分类方法进行比较.实数的分类能帮助学生更好认识实数，构建数系知识结构，应予重视.在此要帮助学生领会数的分类应遵循的规则，领会分类思想.
（5）练习从不同的角度帮助学生理解实数系中各类数的概念.练习1中应给予关注，它是一个无限循环小数，学生容易将它归入无理数范畴.练习2的（3）、（4）两小题，建议与实数的分类作比较分析，即可得出正确结论.在此可引导学生总结实数的另一种分类办法.
12.2平方根和开平方（1）
教学目标
1．理解平方根产生的背景和平方根的概念及其符号表示；
2．知道正平方根与平方根的区别，理解正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根；
3．会根据平方根、开平方的意义和运算性质求完全平方数的平方根.
教学重点及难点
理解开平方和平方运算的互逆关系，运用平方根的运算性质求完全平方数的平方根.
教学流程设计
问题情境
问题拓展
学习新课
作业布置
课堂小结
巩固练习
教学过程设计
一、 问题导入
1．小丽家有一张方桌，桌面是面积为64平方分米的正方形，这个正方形桌面的边长是多少？
2．解答：设正方形桌面的边长为x分米，则可得：x2=64，因为x>0，所以x=8.
3．思考：上述问题可以归结为“已知一个数的平方,求这个数”.在解决问题时，我们联想到了哪一种运算？
二、学习新课
1、概念辨析：
（1）已知一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，即x2=a，我们把x叫做a的平方根，a叫做被开方数.
（2）求一个数a的平方根的运算叫做开平方运算.
【强调】 平方运算和开平方运算互为逆运算.
2．例题分析：
求下列各数的平方根，并根据你的解答过程总结：正数、0、负数的平方根有什么不同？
（1） 0.16; （2） -; （3） 0.
解：因为（±0.4）2=0.16，所以0.16的平方根是±0.4.
因为不存在一个实数的平方根为-，所以-无平方根.
因为02=0，所以0的平方根为0.
3．性质归纳：
（1）因为任何一个实数的平方都是非负的，所以负数没有平方根；
（2）因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数，因此正数a有2个不同的平方根，记作“±”，它们互为相反数，其中“”表示正的平方根（也可以称算术平方根），读作“根号a”.
（3）．因为0的平方等于0，所以0的平方根就是0，即：±=0.
【说明】“”是一个数学符号，其意义是：非负数a的算术平方根，同时它也表示一个数，这个数的平方等于a，即（）2=a.
三．问题拓展
思考1：由以下计算你能否发现并总结某些规律？
（1）的意义是什么？ =？
（2）的意义是什么？ =？
（3）的意义是什么？ =？
（4）的意义是什么？ =？
（5） 计算：=______ =______ =_______
=______ =_______ =______.
2．规律总结：
（1）．表示a2的正平方根，因为a2≥0，所以=∣a|∣.
（2）．表示数a的正平方根的平方，根据平方根的意义，这里的a≥0，且=a；
表示数a的负平方根的平方，根据平方根的意义，必有a≥0，且=a；
综上所述，（±）2=a.
四、巩固练习
1．下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正.
（1）=-7; （2）=2; （3）-=5; （4）=±9
2．求下列各数的正的平方根：
（1） 225； （2）0.0001； （3） .
3．若2m-5与4m-9是同一个数的平方根，求m的值.
【说明】
练习3对“同一个数的平方根”需要进行分类讨论：一种情况是2m-5与4m-9是一个数的两个相反的平方根；另一种情况是2m-5与4m-9是一个数的同一个平方根.
五、课堂小结
1．平方根的意义是什么？平方根的性质是什么？
2．开平方运算与平方运算有怎样的关系？
3、求完全平方数的平方根时要把被开方数做怎样的变形？
六、作业布置
1 . 课本和练习册上的练习
2 . 复习所学的知识
3 . 预习新课
教学设计说明
1．对学生而言，开平方运算和平方根不易理解的最大原因是：它不同于其它任何一种已经学过的数学运算.
到目前为止，学生学过的五种运算都有唯一的运算法则和运算结果，对不同的数不需要讨论运用不同的运算方法；但求一个数的平方根时，首先要根据已知数的正负性选择不同的运算性质，而且每种数有不同的运算结果：正数的平方根有两个，且互为相反数，而0的平方根只有一个：0；负数没有平方根.因此在教学时，应该让学生充分理解平方运算和开平方运算的互逆关系，根据平方运算结果的非负性自然地理解并接受平方根的意义和运算性质.建议这里的教学可以多花一点时间，多举一些实例进行说明.
2．在生活中，开平方运算不如其他运算运用广泛，对学生而言比较抽象而陌生，因此，体验开平方运算的实际意义和背景就非常必要了.
本节课设计用与课本类似的实际问题引入新课，意在于此.但在课后学生出现的最大问题是：求正数的平方根时往往漏掉负的一个，本人认为与课堂引入问题的结果只保留了正的一个有部分关系.因此，建议在课堂引入时，可以采用纯数学问题：“如果一个数的平方等于64，这个数是多少？”
3．在平方根概念中隐含了分类讨论数学思想，在教学中应该加以渗透，从而培养思维的严密性，在课堂练习时也可以适当补充类似的问题，加深对概念的理解.
4．要理解公式“=∣a∣” 和“（±）2=a”超出了学生的思维发展水平，因此我在教学时的处理方式是：
（1）用大量的具体数字的运算结果推出结论并加深印象，这是设问题拓展的原因，意在通过一正一负两种问题的反复比较，让学生产生≥0的印象，然后归纳出“=∣a∣”.
（2）通过对“的意义和计算结果”的讨论，达到对“无意义”的理解，从而总结出“（±）2=a”成立的前提条件是：“a≥0”.
对部分理解能力相对较弱的学生，笔者认为可以放低要求，对含字母的运算不作要求.
12.2平方根和开平方（2）
教学目标
1、经历是无限不循环小数的探索过程，了解无限逼近思想；
2、会用计算器求一个正数的正平方根，并按指定精确度取近似值；
3、会根据一个正数的正平方根求它的负平方根.
教学重点
1．会用计算器对任意正数进行开方运算，并按指定精确度取其近似值；.
2．理解“逐步逼近数学思想”基本原理，对“极限”思想有初步认识.
教学难点
尝试用逐步逼近法探索的近似值.
教学流程设计
课堂小结
问题拓展
学习新课
复习引入
巩固练习
作业布置
教学过程设计
一、 复习引入
1．问题：的意义是什么？根据其意义，你能否猜测有多大？
2．探索：的意义是“面积为2的正方形的边长”；比较面积分别为1、2和4的三个正方形的大小可知：因为面积1<2<4，所以边长1<<2，即的整数部分为1.
3．规律总结：当 c>a>b>0时，.
二、学习新课
1、请用计算器计算：1.12=________，1.22=________，1.32=________，1.42=________，1.52=________；
2、思考：
（1）观察计算结果，你有什么发现？
小结：由以上计算结果可知：1.42<2<1.52，根据上述规律可得：1.4<<1.5，所以的十分位为4.
（2）：如何求的百分位？
方法讨论：用计算器计算：1.412=________，1.422=________.
因为1.412<2<1.422，所以1.41<<1.42，得的百分位为1.
3．巩固性问题：
（1） 请求出的千分位.
（2） -有多大？（精确到千分位）
4．例题分析：
用计算器求下列各数的平方根的近似值（保留三位小数）
（1）8 （2）2
解：（1）≈±2.828.
（2） ≈±1.563.
三、巩固练习
1、用计算器求值（近似值保留四位小数）
（1） （2）
3、求下列各数的整数部分，你可以用几种方法？
(1) (2) (3)
【说明】
求的整数部分一般有两种方法：
（1） 找到与被开方数a最接近且比它大的一个完全平方数n2，那么一定有“n 2>a≥（n-1）2”，从而“n>a≥n-1”，可以确定的整数部分为n-1；
（2） 用计算器求出其近似值，然后取整数部分，需要注意的是：此时取整数部分不要四舍五入，把小数部分全部舍去.
四．问题拓展
1．思考：满足x2<2006的整数x有多少个？
2．阅读理解题：用逐次逼近法求平方根的计算步骤是：
（1）．任意取x1>0，作为的第一个估计值；
（2）由x1出发，计算x2=，作为的第二个估计值；
（3）分别由x2、x3、x4、…出发，重复步骤（2），求出x3、x4、x5、…作为的第三个、第四个、第五个、…的估计值；
由此得到x2、x3、x4、…将一个比一个更接近的不同精确度的近似值.
请用逐次逼近法，求的近似值.（保留4个有效数字）
五、课堂小结
1．“逐步逼近法”的基本原理.
2．求一个正数的正平方根的整数部分其本质就是用“逐步逼近法”求算术平方根的近似值，只是结果保留整数.
3．用计算器求平方根的近似值不同于“逐步逼近法”，最后结果要用“四舍五入”法保留要求的精确度.
4．根据正平方根的近似值取其相反数可以得到一个正数的两个平方根.
六、作业布置
1 . 课本和练习册上的练习
2 . 复习所学的知识
3 . 预习新课
教学设计说明
1．无理数是学生刚刚开始接触、与有理数完全不同的另一类数，其表示方法也是全新的，部分学生对“”还没有真正的理解，只处于模仿的阶段；而“逐步逼近法”又是一个比较抽象、难以理解的数学思想方法，二个难点碰到一起，本节课处理不好，学生一节课的学习不但不会有太大的收获，同时还可能造成对数学的恐惧和厌恶.
为避免学生在学习过程中感到“难、烦”，可以把课堂教学各个环节设计地尽可能明晰，每个环节的任务明确，结论单一，同时，环节宜少不宜多.
在这种思路引领下，笔者设计了本节课，实施教学时，目标基本达到.
2．为了更加清楚地说明“”的大小，笔者认为，利用其意义“面积等于2的正方形的边长”来引入既起到了复习的作用，同时，在上节课基础上利用拼正方形、比较三个正方形的面积，把面积的大小比较转化为边长的大小比较，渗透了“转化”的数学思想方法，而在动手操作中由可以更加直观地发现“逐步逼近法”的原理，为进一步探究问题打下基础.
3．在问题探究时，笔者设计利用几个子问题（先求整数部分、再求十分位、最后求百分位，而巩固性问题中继续求千分位）搭起台阶，学生对使用计算器是很有热情的，因此请他们用计算器计算，然后把计算结果与2进行大小比较，可以提高他们的参与热情和学习兴趣.而几个子问题具有相同的解决方法，在这样不断重复的过程中，逐步逼近法的本质就被发现并掌握了.
4．部分学生的理解和学习能力较强，为了这部分学生能够有更多的收获，同时加强对逐步逼近法的理解，我设计了拓展性问题，引进“逐次逼近法”.这两种方法都体现了“极限思想”.
11．3立方根和开立方
教学目标
1．了解立方根与实际生活的联系，通过与平方根类比，理解立方根的概念.
2．理解开立方与立方互为逆运算，能根据两者的关系求完全立方数的立方根.
3．会用计算器求任意一个数的立方根，并能按指定精确度求近似值.
4．理解和的含义，并能运用它们解决问题.
教学重点及难点
理解开立方与立方互为逆运算，能根据两者的关系求完全立方数的立方根.
教学用具准备
多媒体设备、卡西欧fx-82函数型计算器.
教学流程设计
复习、类比、引入 通过类比、学习新知 思考归纳
布置作业 课堂小结 巩固练习
教学过程设计
一、 复习、类比、引入
复习题：
(1)我们用________表示面积为5的正方形边长; 用来表示_________的正方形的边长.
(2)同样表示_________的正方形的边长,那么这个正方形的边长是多少?你是怎么知道的?你运用了什么运算?
(3)小杰家中有一个储物柜，是一个容积为27立方分米的正方体.这个正方体储物柜的棱长是多少分米？
(4)经过立方运算后结果是27的数还有没有?是多少?这样立方是27的数有几个?
师生归纳：已知一个数的平方求这个数的运算，叫做开平方.类似的，已知一个数的立方求这个数的运算，我们称之为开立方.
二、 通过类比，学习新知
给出立方根和开立方的概念：
如果一个数的立方等于,那么这个数叫做a的立方根，用“”表示，读作“三次根号a”，中的a叫做被开方数，3叫做根指数.
求一个数a的立方根的运算叫做开立方.
例如，如果因为_____________=125,所以,也就是说 是125的立方根.
例题1、求下列各数的立方根：
(1)1000 (2) (3) (4)0
[说明]体会开立方与立方的逆运算关系，会据此求完全立方数、小数、分数的立方根
三、 思考归纳
设问：通过例题1的解决，请归纳开平方与开立方在被开方数取值范围、方根个数等方面有何显著区别？你知道其中的原因吗？
1、 正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零.
2、 正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零.
3、 任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根.也就是说：(1)，(2).
四、 巩固练习
1．以下说法中正确的有（ ）.
A．16的平方根是 B．64的立方根是
C．的立方根是 D．81的平方根是9
2．求值：
(1) (2) (3) (4)
3．用计算器，求值（近似值保留三位小数）：
(1) (2) (3) (4)
4．用计算器，求下列立方根，直接写出计算器显示的结果：
(1) (2) (3) (4)
五、 课堂小结
学生自主小结：你学到了什么?
你有什么样的疑问？
你有什么收获、体会或想法?
你还想知道什么？
六、 布置作业
布置作业：数学练习册12.3习题
教学设计说明
教学设计着重于把立方根与开立方和平方根与开平方进行类比教学.注重概念的形成过程.让学生在新概念的形成过程中，逐步理解新概念.通过设置问题，组织思考讨论来帮助学生理解立方根和开立方的概念，让学生通过具体实例和抽象类比来理解立方根与平方根概念的联系与区别.对本节课的例题和练习安排，我是这样思考的：
(1)对例题1的教学，要着眼于对立方根的概念的理解，要求学生模仿和适应书写格式.练习2则体现了开立方与立方互为逆运算的关系，并利用互逆运算来求一个数的立方根，但限于所得立方根是有理数的情况.
(2)求一个实数的立方根有两种途径.一种是根据定义（如例题1），只用于求特殊实数的立方根，而且学生容易分析出这个实数是某数的立方；另一种是使用计算器（如练习3），这是通用的方法，要讲清具体的操作.对练习3中的第（3）小题，可向学生说明一个负数的立方根等于它的相反数（正数）的立方根的相反数.
(3)在学生会用计算器求实数立方根的基础上，例4 的“思考”是引导学生探索被开方数与立方根之间的小数点移动规律，让学生看到，正开方数扩大1000倍，它的立方根扩大十倍；反之亦然.可指导学生类比被开方数与算术平方根之间的小数点移动规律，并进一步思考为什么有这样的规律，但是不要求学生勉为其难，更不要求会用.
12.4 n次方根
教学目标
1．类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念；
2．通过体验“从特殊到一般”的数学归纳过程，理解n次方根的概念，并从中体会分类和类比等数学思想；
3．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根.
教学重点
1．通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念，并在此过程中体验分类讨论、类比和“从特殊到一般”等数学思想；
2．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根.
教学难点
理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”.
课堂小结
拓展性问题
问题探索
问题情境
练习反馈
作业布置
教学流程设计
教学过程设计
一、 问题导入
1．问题：如果一个数的n次方（其中n是大于1的整数）等于a，你能否类比平方根和立方根的意义说明这个数是多少？
2．分析：设这个数为x，则可以建立方程xn=a，x叫做a的n次方根.
3．小结：
（1） 如果一个数x的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数x叫a的n次方根；
（2）求一个数的n次方根的运算叫做开n次方.
二、问题探索
1．求x：
（1）x5=32，x= ，x5=-32，x= .
（2）x4=16，x= ，x4=-16，x= .
（3）x5=0，x= ， x4=0， x= .
2．思考：观察以上运算结果，类比平方根与立方根，你能否说明当根指数n取不同的值时，a的n次方根可以分为几类？每一类方根有什么性质？
3．知识归纳：
（1） 当n为偶数时，a的n次方根有与平方根类似的性质，我们称之为a的偶次方根；
正数a有2个互为相反数的偶次方根，记作“±”；其中为a的正偶次方根，也叫做算术偶次方根；a叫被开方数，n为根指数；读作“n次根号a”.
0的偶次方根等于0，=0；
负数没有偶次方根（即当a<0时，无意义）.
（2） 当n为奇数时，a的n次方根有与立方根类似的性质，我们称之为a的奇次方根；记作： ”，a叫被开方数，n为根指数；“”读作“n次根号a”.
任意实数a的奇次方根都存在，并且与a有相同的正负性.
4．例题分析：
1．（1） 求-的5次方根；
（2） 求（-8）2的6次方根.
解答：（1） ；
（2） .
【说明】
（1）正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个；
（2）求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数分解质因数.
2．用计算器，求近似值（保留三位小数）：
（1） ； （2） .
解：（1）≈9.630.
（2） ≈-1.734.
【说明】 注意精确度的意义，最后一位要四舍五入.
三、练习反馈
1．计算：； ； ； .
2． 用计算器，求下列各数的近似值（结果保留三位小数）：
； ； 0.3456的6次方根.
四．拓展性问题
1． 若n为自然数，=-a，a的取值范围是什么？
2． 5的n次方根是多少？
五、课堂小结
请填表：
方根
平方根
立方根
偶次方根
奇次方根
定义
表示
a>0
a=0
a<0
六、作业布置
1 . 课本和练习册上的练习
2 . 复习所学的知识
3 . 预习新课
教学设计说明
1． n次方根的概念是平方根与立方根概念的拓展，类比平方根和立方根建立n次方根的概念既有助于对概念及其性质的理解，又能够在类比过程中加深对平方根与立方根概念的理解.通过类比得到数学概念还有利于学生数学知识和数学思维的建构.
2．建立n次方根概念时，因为偶次方根与奇次方根的意义有所不同，因此可以类比平方根与立方根把n次方根分为偶次方根和奇次方根，并在此过程中渗透分类讨论数学思想.
3．本节课的难点是：正数有两个相反的偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根，学生在理解时已经产生了困难，在解决问题时往往会遗忘对各类数的偶次方根的不同处理方法.要突破这个难点，对概念的深刻理解是关键，因此在教学时可以多花一点时间在概念的建立和理解上.当然，偶次方根与奇次方根的同步教学也可以让学生在对比中更易于理解并掌握两个概念.
12.5 用数轴上的点表示实数
教学目标
1、 学习将无理数用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点的对应关系.
2、 会求无理数的绝对值、相反数，会对实数进行大小比较.
3、 经历探索同一数轴上两点的距离的过程，感受数形结合思想，获得成功体验，激发学习兴趣.
教学重点及难点
重点：理解数轴为实数轴，并掌握实数的大小比较方法，理解实数的绝对值、相反数的意义.
难点：探索同一数轴上两点的距离.
教学用具准备
教具、学具、多媒体设备
学习新课
例1比较实数的大小
例2借用数轴求两点间距离.
情境引入
概念辨析
例题分析
问题拓展
巩固练习
布置作业
课堂小结
问题思考
学生讨论
1、无理数用数轴上的点表示；
2、实数的性质
教学流程设计
教学过程设计
一、 情景引入
1．观察
-2
-333
0.1
2
-
2．思考：
（1）请将花篮中的有理数用数轴上的点表示出来.
（2）你能将花篮中的无理数用数轴上的点表示出来吗？
[说明] 体现数轴的优势：直观、有序.
3．讨论
如何将无理数用数轴上的点表示出来？
二、学习新课
1．概念辨析
（一）通过事例说明数轴为实数轴
通过两个例子说明数轴上存在无理数对应的点.
问题1：无理数可以在数轴上表示出来吗？
（1） 在数轴上表示
（2） 在数轴上表示
0
·
3
0.5
A
A’‘‘
1
2
4
-0.5
B
A(O)
F’
0
-1
1
-2
2
·
·
·
·
·
F
G
H
（E）
A
B
C
D
小结：说明数轴上存在无理数对应的点，数轴为实数轴.
问题2：怎样将任一个无理数在数轴上表示出来呢？
例如：在数轴上表示：≈ 1.5874011
1
··
0
·
·
·
2
·
·
·
·
·
·
·
·
步骤：1、用计算器计算；2、取近似值，即设一个无理数t在数轴上所对应的点为T，可以利用与t接近的一个有理数所对应的点对T大致定位.
[说明]关于问题1中的操作1、2的活动，是为回答一个无理数能否用数轴上的点来表示的问题.操作1选用，是本章开始已研究过的无理数，根据已学过的知识将它转化为线段长，再在数轴上画出；操作2选用，我们也可以通过圆的周长将它转化为线段长，在数轴上画出.通过这两个实例，可以说明数轴上确实存在与无理数对应的点，说明我们所认识的数轴是实数的数轴.注意，操作1中须回避勾股定理.
（二）用实数轴解释实数的性质：
类比有理数：有理数范围内已有的绝对值、相反数等概念和大小比较方法，在实数范围内有相同的意义.
一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
绝对值相等符号相反的两个数叫做互为相反数.
实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的数总比左边的数大.
2．例题分析
（一）比较实数的大小
例题1、比较下列每组数的大小：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
[说明] 1、在第二小题中，是用计算器求近似值，用比较近似值的方法完成大小比较.也可介绍面积法：面积越大的正方形的边长越长，将、分别看成面积为5、6的正方形的边长，然后比较大小.
2、在第四小题中，取，，得到，这里利用“中间量”来比较大小，介绍了一种用估值的方法比较大小.
（二）借用数轴求两点的距离
问题：本节课进一步感受到数与点能借助数轴达到完美结合，我们能否不用测量而用数字计算出线段的长？
例题2、如图11-4，已知数轴上的四点A、B、C、D所对应的实数依次是、、、，O为原点，求（1）线段OA、OB、OC、OD的长度.（2）求线段BC的长度.
B
0
2
A
C
D
O
[说明] 一是用绝对值的概念解释数轴上对应的实数与距离的关系，学生容易接受.
二是探索两点的距离与数轴上对应的实数的关系.设计请学生先判断，再引导分析特征，总结规律，形成公式，感受形与数两相依.
3．问题拓展
已知数轴上的四点A、B、C、D所对应的实数依次是、、、，求：（1）在数轴上描出点A、B、C、D；
（2）线段AB、BC、CD、AC的长度.
三、巩固练习
课本P21页 练习12.5
四、课堂小结
总结本课知识的过程中，需点明三点：
1． 数轴为实数轴；
2． 实数与有理数类比同样有相反数、绝对值，并能进行大小比较.
3． 通过将实数在数轴上标示出来，通过研究同一数轴上两点的距离，感受数形结合的思想.
五、作业布置
练习册P6-8 习题12.5
教学设计说明
学生已经知道，有理数可以用数轴上的点表示.用数轴上的点来表示一个无理数，是容易想到的问题，但是并不容易解决.先以、为例，用画图的方法在数轴上分别唯一确定了表示它们的点，说明可以用数轴上的点来表示无理数；然后直接指出“每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示”，可用“夹逼”的方法确定每个无理数的对应点，可用通俗的语言进一步指出实数的全体与数轴上的所有点“一一对应”，但是这里没有出现“一一对应”的术语，表明对此进行淡化.
用数轴上的两点所对应的实数来表示这两点的距离，是新增的内容.安排这一内容，一是让学生体会数形结合的运用，二是它直接有用，三是为以后在平面直角坐标系中学习“两点的距离”打下认识基础.
12.6（1）实数的运算
教学目标
理解实数的运算法则、性质和顺序并能根据相关知识进行实数运算；会利用平方根意义化简根式.
教学重点及难点
掌握实数的运算法则及用实数的运算法则进行简单的计算.
教学用具准备
多媒体设备.
教学流程设计
情景引入：
（1） 复习
（2） 讨论
概念辨析：
实数的运算法则、
运算性质及性质.
例题分析
问题拓展
巩固练习
课堂小结
作业布置
教学过程设计
一、 情景引入
1．复习
实数的运算法则和运算性质及顺序.
2．讨论
以上算式有什么特征？计算的结果是什么？
二、学习新课
1．概念辨析
有理数的运算法则、运算性质以及运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用.开方与乘方是同级运算.
2．例题分析
例题1：不用计算器，计算：
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
解：（1）;
（2）;
（3）;
（4）
.
例题2. 不用计算器，计算：
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
解：（1）.
（2）.
（3）
（4）
3．问题拓展
1.用计算器计算，写出计算结果并进行比较：
（1）、;
（2）、.
2.设>0，>0，，这两个等式为什么成立？
3.不用计算器，计算：
（1）;
（2）;
（3）.
三、巩固练习
课本：24页1.2.
四、课堂小结
1.实数的运算.
2.实数计算中的简单化简.
五、作业布置
1．复习已学知识.
2．完成练习册.
教学设计说明
1． 实数运算的意义与有理数运算的意义一样，但学生对于这个问题是比较难理解的.有理数运算的法则容易操作，运算的结果存在并且唯一；但是有无理数参与的实数运算，对它的认识涉及到实数理论中的一些难点，初中七年级的学生一般是不能真正理解的.
2． 教材从两个方面，对一个无理数与一个实数相加、相乘其结果的存在性与唯一性，进行了简要的说明.一是取无限小数的近似值（有限小数），将原来的运算数转化为有限小数的运算，可以逐步逼近原来的运算结果；二是用几何方法解释可转化为线段或矩形面积.因为从有理数运算扩展到实数运算时，必须回答“结果存在而且唯一”的问题，但是现在难于说清，学生也难于理解，所以课本中只是作一个交代、点到为止，教学时对此不要深究，可引导学生初步领会其中的数学思想；告诉学生实数运算的意义同有理数运算一样，其结果的存在性与唯一性，在数学上有严格的论证，这里不作要求.
3． 在实数运算中，对于有理数原有的概念和原有的运算法则、运算性质、运算顺序，简要说明它们对无理数也适用.这样有利于所学内容与前、后学习内容相衔接，也有利于学生体验数学的严密性.
4． 本节实数的运算主要是运用实数的运算法则、运算性质及公式化简算式.在教学过程中，不能涉及最简二次根式和分母有理化等问题.其中例1的第（1）题，可以类比合并同类项；第（4）题及例3中的（2）、（4）小题，都利用了幂的运算性质进行化简.
12.6（2）实数的运算
教学目标
1、 知道准确数、近似数、精确度、有效数字等概念的含义；
2、 掌握表示近似数的精确程度的两种方法，会按指定方法取近似值.
教学重点及难点
近似数等概念的辨别理解及按指定方法取近似值.
教学用具准备
多媒体设备
教学流程设计
情景引入：
课本相关文字阅读和讨论.
例题分析
问题拓展
巩固练习
课堂小结
作业布置
概念辨析：
近似数、准确数、精确度、有效数字
教学过程设计
一、 情景引入
1. 课本25页引入及议一议中近似数和准确数的辨析；
2．关键字：约、多、余、达到、超过.
二、学习新课
1．概念辨析
（1）准确数：完全符合实际地表示一个量多少的数；
（2）近似数：与准确数达到一定接近程度的数；
（3）精确度：对近似程度的要求；
（4）有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字.
2．例题分析
例题1：下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？
（1）2000;
（2）0.618;
（3）7.20万;
（4）5.10×10.
解:（1）近似数2000精确到个位，
有4个有效数字：2、0、0、0.
（2）近似数0.618精确到千分位，
有3个有效数字：6、1、8.
（3）近似数7.20万精确到百位，
有3个有效数字：7、2、0.
（4）近似数5.10×10精确到千位，
有3个有效数字：5、1、0.
例题2. 月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在近地点时与地球相距约为363300km，在远地点时与地球相距约为405500km.按下列精度要求，用科学记数法表示这两个数的近似数：
（1）精确到万位；
（2）保留三个有效数字.
解：（1）363300≈3.6×10.
405500≈4.1×10.
（2）363300≈3.63×10.
405500≈4.06×10.
3．问题拓展
2004年末，上海市户籍人口有1353.92万，按下列要求的精确度分别取这个数的近似数：
（1）精确到万位；
（2）精确到百万位；
（3）保留4个有效数字；
三、巩固练习
课本：27页练习.
四、课堂小结
1. 近似数等概念的辨别理解；
2. 按指定方法取近似值；
五、作业布置
练习册.
教学设计说明
5． 实数运算中增加了近似计算的内容，说明了“准确数”、“近似数”、“精确度”、“有效数字”等概念.这里涉及的概念较多，学生比较容易混淆，教师在教学中可以通过对不同情况的具体分析从而让学生弄清楚有关概念的意义.
6． 学生尤其在理解有效数字的问题上会难以理解，教师需要引起重视，如学生回答“5.10×10精确到何数位”这样的问题，可能会有困难，需要老师的反复的讲解和巩固练习.
12.6（3）实数的运算
教学目标
1、 掌握实数运算中的近似计算的方法；
2、 能运用实数的运算方法，解决较简单的实际问题.
教学重点及难点
实数的近似计算及实数运算的应用.
教学用具准备
多媒体设备
教学流程设计
利用计算器进行近似计算
例题分析：
近似计算的实际运用
问题拓展
巩固练习
课堂小结
作业布置
教学过程设计
一、 情景引入
1．按指定的精确度计算 ：
（1）（精确到0.01）；
（2）.
解：（1）
≈6.083+0.26-1.710
≈4.63.
也可由计算器直接输入算式进行计算：
≈4.632786584
≈4.63.
（2）
≈-0.242061459
≈-0.242.
[说明]在进行近似计算时，中间过程中的近似数一般比指定的精确度要求多一位，对最后所得结果按指定精确度要求取近似值；若向计算器直接输入算式进行计算，那么只要对最后显示的结果按指定精确度要求取近似值.
二、学习新课
1．例题分析
例题1：已知 ，，当≈6.378×10，≈9.807时，求和的近似值（保留三个有效数字）.
解：当≈6.378×10，≈9.807时，
.
.
例题2：伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h(米)与下降的时间t(秒)的关系可以近似地表示为h=4.9t²(不计空气阻力).一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了920米，这段时间大约有多少秒？（精确到1秒）
解：由h=4.9t²，h=920，得t.
又因为t>0，所以t.
答：这段时间大约14秒.
2．问题拓展
在地面上围建一个花坛，底部形状设计如图所示，它的外周由圆弧ABC与正方形ADEC的三条边组成.已知圆弧的半径r=OA=AD，∠AOC=60°，正方形ADEC的面积为30m²，求花坛底部的周长（保留三个有效数字）.
三、巩固练习
课本：练习11.6（3）
四、课堂小结
1. 实数的近似计算；
2. 实数运算的应用.
五、作业布置
1．复习已经学过的知识；
2．完成练习册.
教学设计说明
7． 实数运算中增加了近似计算的内容，对近似计算提出了两种精度要求，即保留几位小数或者保留几个有效数字，这样使实数的近似计算更加规范.
8． 通过实数的近似计算，让学生通过练习，熟悉运算性质和法则；通过应用，感受数学与生活的联系.
9． 实数的近似计算通常使用计算器进行计算，要注意每题中的精确度要求.近似计算的中间过程应多保留一位小数；中间用“≈”联结.
10． 教材中没有具体介绍计算器的使用方法，只是提出参照“使用说明书”.教师应了解计算器的功能，掌握常用计算器的操作技能，以便有针对性地对学生进行学习指导和操作辅导，同时要鼓励学生使用计算器进行解题实践和探索规律的活动，发展操作技能和探究能力.
11． 拓展问题中的条件“∠AOC=60°”是多余的，增加了这个条件的原因是学生此前没有学过等边三角形的性质.
12.7 分数指数幂（1）
教学目标
1、理解分数指数幂的意义；能将方根与指数幂互化，体会转化思想.
2、能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算.
教学重点及难点
重点：理解分数指数幂的意义，能将方根与指数幂互化.
难点：能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算.
教学用具准备
教具、学具、多媒体设备
教学流程设计
学习新课
例1熟练掌握方根与幂的形式互化
情境引入
概念辨析
例题分析
例2熟练运用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方进行分数指数幂运算.
问题拓展
巩固练习
布置作业
课堂小结
问题思考
学生讨论
教学过程设计
一、 情景引入
1．回顾
加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？
2．思考：
把表示为2的次幂的形式
解：假设成立，那么
左边=21，右边=
要使 左边=右边 成立，则，即
所以
[说明] 因为2的任何整数指数幂都是有理数，而是一个无理数，可知不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把表示为的形式.
3．讨论
通过的转化，学生讨论方根与幂的形式如何互化？
二、学习新课
1．概念辨析
（1）分数指数幂
（其中、为整数，）.
上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.
[说明] 指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.
方根与幂的形式互化过程，以如下表格说明注意事项：
方根
分数指数幂
被开方数的底数
底数
负数没有偶次方根，所以、互素时，为奇数时，可为负数；为偶数时，为非负数.
被开方数的指数
指数的分子部分
根指数
指数的分母部分
（2）有理数指数幂
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂.
（3）有理数指数幂的运算性质：
设，，、为有理数，那么
（ⅰ），
（ⅱ）
（ⅲ），
2．例题分析
例1 把下列方根化为幂的形式：
（1）； （2）；
（3）； （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例2 计算：
（1）； （2）；
解：（1）
（2）
3．问题拓展
例3 计算：
（1）； （2）
解：（1）
（2）
[说明] 在教学中，要注意以下几点：
（1）例1为开方运算向乘方运算转化.在方根转化为幂指数的形式中，根指数在幂指数中作分母，这是学生容易出错的地方，应引起注意.
（2）例2利用有理数指数幂的运算法则进行计算，与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解.
（3）例3是为了熟练有理数指数幂的运算性质，两小题分别是积的乘法公式互逆运用的举例，其中（1）题解法也可以化成（2）题进行这样计算：.
三、巩固练习
1、课本P练习12.7（1）
2、把下列方根化为幂的形式：
（1） （2） （3） （4）
3、计算：
（1） （2）
（3） （4）
四、课堂小结
带领学生总结本课知识的过程中，提出两点要求：
1、在理解分数指数幂意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化；
2、能在简单运算中熟练地综合运用有理数指数幂的性质（同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方）进行计算，法则不变.
五、作业布置
练习册P12-13，习题12.7（1）
教学设计说明
分数指数幂的产生是运用转化思想获得成功的范例.本节开头所述，减法可转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算，因此试图将开方运算转化为乘方运算.在保持整数幂运算性质的前提下，探讨指数的范围，从而产生了分数指数幂.
在教学中例题的选择上由浅入深，由概念的理解到运算性质的熟练运用，计算题的设计也是由易到难，并与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解，能够轻松掌握此部分知识点.
12.7 分数指数幂（2）
教学目标
1、熟练运用有理数指数幂的性质进行计算.
2、通过分数指数幂的学习，能进一步掌握乘方与开方的相关运算.
教学重点及难点
重点：熟练运用有理数指数幂的性质进行计算.
难点：运用方根与幂的互化进行乘方与开方运算.
教学用具准备
教具、学具、多媒体设备
教学流程设计
学习新课
例2熟练运用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方进行分数指数幂运算.
复习引入
例题分析
例1分数指数幂化为方根，用计算器进行计算.
例3方根形式的计算题转化为分数指数幂利用幂的运算性质计算.
问题拓展
巩固练习
布置作业
课堂小结
教学过程设计
一、 复习引入
（1）分数指数幂
（其中、为整数，）.
其中和叫做分数指数幂，是底数.
（2）有理数指数幂
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂.
（3）有理数指数幂的运算性质：
设，，、为有理数，那么
（ⅰ），
（ⅱ）
（ⅲ），
二、学习新课
1．例题分析
例4 用计算器，计算（保留三位小数）：
（1）； （2）；
（3）； （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例5 计算（结果用幂的形式表示）：
（1）； （2）；
（3）； （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例6 利用幂的运算性质计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）
解：（1）；
（2）
（3）
（4）
2．问题拓展
例4、利用幂的运算性质计算：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）
（2）
（3）
另解：原式=
（4）
[说明]
1、例1为幂运算化简后再转化为方根，用计算器得到结果.是利用方根的运算方法，对指数幂进行近似计算.结果按精确度要求完成.
2、例2是为了熟练有理数指数幂的运算性质，其中（3）、（4）结果可以不作进一步化简.
3、例3利用幂的性质解决根式的运算问题，让学生体验运用有理数指数幂进行计算的便捷.
4、例4在学生能运用幂的性质解题时，给出（1）（2）两小题进行区别，强调解题时审题清楚，概念明确.
5、对含有方根的算式，利用幂的运算性质进行计算时，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根.
三、巩固练习
1、课本P34练习12.7(2)
2、计算：（1） （2）
（3） （4）
3、利用幂的运算性质计算：
（1） （2）
四、课堂小结
带领学生总结本课知识的过程中，提出两点要求：
1、熟练运用有理数指数幂的性质进行计算.
2、通过运用方根与幂的互化，进一步掌握乘方与开方的相关运算.
五、作业布置
练习册P13-14习题12.7(2)
教学设计说明
实数的运算，是初中数学的基本知识和基本技能的重要组成部分.分数指数幂的出现为n次方根的计算提供了新的途径.
在教学中例题的选择上由浅入深，首先学生要掌握使用计算器进行分数指数幂的加减乘除、乘方运算，例题解法提供了转化为方根形式用计算器计算取近似值，也可以介绍利用计算器中乘方、分数按钮进行直接计算.幂的运算性质的熟练运用，计算题的设计也是分两类，一类是题目给出就是分数指数幂的形式，直接利用幂的运算性质；另一类是题目给出方根形式，但由于根指数不同，不能直接用前面所学的公式：，，其中，，但被开方数相同，或被开方数中含有相同的因数，因此这类题需转化分数指数幂的形式，利用运算性质解题.最后，在问题拓展中给出其它类型的题与前面的例题加以区别，要求学生能够具体问题具体分析.
12．1实数的概念
教学目标
1．通过动手操作经历发现无理数的过程，了解无理数是客观存在的数，了解无理数的发现是人类理性思维的胜利.
2. 通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.
3. 了解数系从整数到有理数、再到实数的扩展过程，理解实数系统的结构，体会分类思想.
教学重点及难点
理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.
教学用具准备
各种大小的正方形纸片若干、小剪刀若干、多媒体设备.
教学流程设计
复习引入 学习新知 形成概念
布置作业 自主小结 巩固练习
教学过程设计
一、 复习引入
教师设问：
(1)我们已经学习了有理数，你能举出几个有理数吗？
(2)有理数都可以表示为哪种统一的形式？
(3)是不是所有的数都能表示为分数的形式？
答：不是，无限不循环小数（如：π）就不能表示为该形式.
[说明]前两个问题带领学生复习已有的相关知识；第三个问题设置疑问，引发学生的思考，带着这样的困惑和好奇学习新知.
二、 学习新知
1． 操作剪拼正方形，引出.
要求：能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形？怎样剪拼？它的面积是多少？边长如何用代数符号表示？
师：如果设该正方形的边长为x，那么，即x是这样一个数，它的平方等于2.这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度.由于这个数和2有关，我们现在用（读作“根号2”）来表示.
追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？
类似的，分别用（读作“根号3”）、（读作“根号5”）来表示.
2． 尝试说明是一个无限不循环小数.
要求学生尝试完成以下填空：
假设是一个有理数，设，
等式两边分别平方，可以得到2= ，则= ，
由此可知p一定是一个 （填“奇”或“偶”）数，
再设p=2n(n表示整数)，代入上式，那么= ，
同理可知q也是 .这时发现p、q有了共同的因数2，
这与之前假设中的“ ”矛盾.因此假设不成立，
即不是 ，而是无限不循环小数.
师生总结：从以上填空可以说明是无限不循环小数.
3． 请你再举出几个无限不循环小数的例子.
除了以上提到的，我们熟悉的圆周率也是无限不循环小数.此外，我们还可以构造几个无限不循环小数，如：0.202002000200002……、0.123456789101112131415161718192021222324……等.
三、 形成概念
1．无理数
无限不循环小数叫做无理数.无理数也有正、负之分.只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数.
2．实数
{
有理数和无理数统称为实数.实数可以这样分类：
{
正有理数
有理数 零 ——有限小数或无限循环小数
{
实数 负有理数
正无理数
无理数 ——无限不循环小数
负无理数
四、 巩固练习
1．将下列各数填入适当的括号内：
0、-3、、6、3.14159、、、、π、0.3737737773….
有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜；
正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜；
非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜.
2．判断下列说法是否正确，并说明理由：
(1) 无限小数都是无理数；
(2)无理数都是无限小数；
(3)正实数包括正有理数和正无理数；
(4)实数可以分为正实数和负实数两类.
3．请构造几个大小在3和4之间的无理数.
4．用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义：
(1) 分数. (2) 0 有理数.
(3) 无限不循环小数 无理数.(4) 实数 有理数和无理数.
(5) 正整数、0和负整数 整数.
(6) 有理数 有限小数或无限循环小数.
五、自主小结
请学生谈谈：你学到了什么?
你有什么样的疑问？
你有什么收获、体会或想法?
你还想知道什么？
六、布置作业
布置作业：数学练习册12.1习题
教学设计说明
本节课的知识形成过程：首先通过操作，得到面积为2的正方形，提出 “正方形的边长怎样表示”的问题，引出边长为“”.然后通过与有理数比较分析并且说理，推出只能是一个无限不循环小数，即无理数.紧接着再举几个无理数的例子.（即：第一，探究生活中是否存在无理数.通过操作产生面积为2的正方形，由正方形的边长引出“”；第二，探究是什么样的数.通过与有理数比较分析，推出只能是一个无限不循环小数，即无理数；第三，探究是否存在其他的无理数.举面积为3、5、6、7、8、10的正方形边长及圆周率π为例，说明无理数普遍存在.）在此基础上，引进无理数，归纳得到实数的概念，体验数的扩充的过程和必要性.
（1）动手操作和问题讨论的目的，是让学生感受的现实意义，并认识到用已有的有理数不能准确表示这一线段长度，因而需要寻找一种新的数来解决问题；同时调动学生学习和思维的积极性，帮助学生体验无理数的产生过程，引导学生用科学的眼光认识世界.本节中“”的出现先于定义，暂只作为一个记号，其含义待下一节课详述.
（2）考虑到学生层次相对较好，教学中以为例，教师与学生一起通过说理，说明了不是有理数，而是一个无限不循环小数.对此，可结合本班学生实际特点开展教学.
（3）把无限不循环小数叫做无理数，是与有理数的意义进行比较后，通过理性思考得到的，无需做更多地解释.无理数的相反数的概念在“实数运算”一节有定义，这里只对特殊的数作说明.
（4）实数的分类办法，建议与有理数分类方法进行比较.实数的分类能帮助学生更好认识实数，构建数系知识结构，应予重视.在此要帮助学生领会数的分类应遵循的规则，领会分类思想.
（5）练习从不同的角度帮助学生理解实数系中各类数的概念.练习1中应给予关注，它是一个无限循环小数，学生容易将它归入无理数范畴.练习2的（3）、（4）两小题，建议与实数的分类作比较分析，即可得出正确结论.在此可引导学生总结实数的另一种分类办法.
12.2平方根和开平方（1）
教学目标
1．理解平方根产生的背景和平方根的概念及其符号表示；
2．知道正平方根与平方根的区别，理解正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根；
3．会根据平方根、开平方的意义和运算性质求完全平方数的平方根.
教学重点及难点
理解开平方和平方运算的互逆关系，运用平方根的运算性质求完全平方数的平方根.
教学流程设计
问题情境
问题拓展
学习新课
作业布置
课堂小结
巩固练习
教学过程设计
一、 问题导入
1．小丽家有一张方桌，桌面是面积为64平方分米的正方形，这个正方形桌面的边长是多少？
2．解答：设正方形桌面的边长为x分米，则可得：x2=64，因为x>0，所以x=8.
3．思考：上述问题可以归结为“已知一个数的平方,求这个数”.在解决问题时，我们联想到了哪一种运算？
二、学习新课
1、概念辨析：
（1）已知一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，即x2=a，我们把x叫做a的平方根，a叫做被开方数.
（2）求一个数a的平方根的运算叫做开平方运算.
【强调】 平方运算和开平方运算互为逆运算.
2．例题分析：
求下列各数的平方根，并根据你的解答过程总结：正数、0、负数的平方根有什么不同？
（1） 0.16; （2） -; （3） 0.
解：因为（±0.4）2=0.16，所以0.16的平方根是±0.4.
因为不存在一个实数的平方根为-，所以-无平方根.
因为02=0，所以0的平方根为0.
3．性质归纳：
（1）因为任何一个实数的平方都是非负的，所以负数没有平方根；
（2）因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数，因此正数a有2个不同的平方根，记作“±”，它们互为相反数，其中“”表示正的平方根（也可以称算术平方根），读作“根号a”.
（3）．因为0的平方等于0，所以0的平方根就是0，即：±=0.
【说明】“”是一个数学符号，其意义是：非负数a的算术平方根，同时它也表示一个数，这个数的平方等于a，即（）2=a.
三．问题拓展
思考1：由以下计算你能否发现并总结某些规律？
（1）的意义是什么？ =？
（2）的意义是什么？ =？
（3）的意义是什么？ =？
（4）的意义是什么？ =？
（5） 计算：=______ =______ =_______
=______ =_______ =______.
2．规律总结：
（1）．表示a2的正平方根，因为a2≥0，所以=∣a|∣.
（2）．表示数a的正平方根的平方，根据平方根的意义，这里的a≥0，且=a；
表示数a的负平方根的平方，根据平方根的意义，必有a≥0，且=a；
综上所述，（±）2=a.
四、巩固练习
1．下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正.
（1）=-7; （2）=2; （3）-=5; （4）=±9
2．求下列各数的正的平方根：
（1） 225； （2）0.0001； （3） .
3．若2m-5与4m-9是同一个数的平方根，求m的值.
【说明】
练习3对“同一个数的平方根”需要进行分类讨论：一种情况是2m-5与4m-9是一个数的两个相反的平方根；另一种情况是2m-5与4m-9是一个数的同一个平方根.
五、课堂小结
1．平方根的意义是什么？平方根的性质是什么？
2．开平方运算与平方运算有怎样的关系？
3、求完全平方数的平方根时要把被开方数做怎样的变形？
六、作业布置
1 . 课本和练习册上的练习
2 . 复习所学的知识
3 . 预习新课
教学设计说明
1．对学生而言，开平方运算和平方根不易理解的最大原因是：它不同于其它任何一种已经学过的数学运算.
到目前为止，学生学过的五种运算都有唯一的运算法则和运算结果，对不同的数不需要讨论运用不同的运算方法；但求一个数的平方根时，首先要根据已知数的正负性选择不同的运算性质，而且每种数有不同的运算结果：正数的平方根有两个，且互为相反数，而0的平方根只有一个：0；负数没有平方根.因此在教学时，应该让学生充分理解平方运算和开平方运算的互逆关系，根据平方运算结果的非负性自然地理解并接受平方根的意义和运算性质.建议这里的教学可以多花一点时间，多举一些实例进行说明.
2．在生活中，开平方运算不如其他运算运用广泛，对学生而言比较抽象而陌生，因此，体验开平方运算的实际意义和背景就非常必要了.
本节课设计用与课本类似的实际问题引入新课，意在于此.但在课后学生出现的最大问题是：求正数的平方根时往往漏掉负的一个，本人认为与课堂引入问题的结果只保留了正的一个有部分关系.因此，建议在课堂引入时，可以采用纯数学问题：“如果一个数的平方等于64，这个数是多少？”
3．在平方根概念中隐含了分类讨论数学思想，在教学中应该加以渗透，从而培养思维的严密性，在课堂练习时也可以适当补充类似的问题，加深对概念的理解.
4．要理解公式“=∣a∣” 和“（±）2=a”超出了学生的思维发展水平，因此我在教学时的处理方式是：
（1）用大量的具体数字的运算结果推出结论并加深印象，这是设问题拓展的原因，意在通过一正一负两种问题的反复比较，让学生产生≥0的印象，然后归纳出“=∣a∣”.
（2）通过对“的意义和计算结果”的讨论，达到对“无意义”的理解，从而总结出“（±）2=a”成立的前提条件是：“a≥0”.
对部分理解能力相对较弱的学生，笔者认为可以放低要求，对含字母的运算不作要求.
12.2平方根和开平方（2）
教学目标
1、经历是无限不循环小数的探索过程，了解无限逼近思想；
2、会用计算器求一个正数的正平方根，并按指定精确度取近似值；
3、会根据一个正数的正平方根求它的负平方根.
教学重点
1．会用计算器对任意正数进行开方运算，并按指定精确度取其近似值；.
2．理解“逐步逼近数学思想”基本原理，对“极限”思想有初步认识.
教学难点
尝试用逐步逼近法探索的近似值.
教学流程设计
课堂小结
问题拓展
学习新课
复习引入
巩固练习
作业布置
教学过程设计
一、 复习引入
1．问题：的意义是什么？根据其意义，你能否猜测有多大？
2．探索：的意义是“面积为2的正方形的边长”；比较面积分别为1、2和4的三个正方形的大小可知：因为面积1<2<4，所以边长1<<2，即的整数部分为1.
3．规律总结：当 c>a>b>0时，.
二、学习新课
1、请用计算器计算：1.12=________，1.22=________，1.32=________，1.42=________，1.52=________；
2、思考：
（1）观察计算结果，你有什么发现？
小结：由以上计算结果可知：1.42<2<1.52，根据上述规律可得：1.4<<1.5，所以的十分位为4.
（2）：如何求的百分位？
方法讨论：用计算器计算：1.412=________，1.422=________.
因为1.412<2<1.422，所以1.41<<1.42，得的百分位为1.
3．巩固性问题：
（1） 请求出的千分位.
（2） -有多大？（精确到千分位）
4．例题分析：
用计算器求下列各数的平方根的近似值（保留三位小数）
（1）8 （2）2
解：（1）≈±2.828.
（2） ≈±1.563.
三、巩固练习
1、用计算器求值（近似值保留四位小数）
（1） （2）
3、求下列各数的整数部分，你可以用几种方法？
(1) (2) (3)
【说明】
求的整数部分一般有两种方法：
（1） 找到与被开方数a最接近且比它大的一个完全平方数n2，那么一定有“n 2>a≥（n-1）2”，从而“n>a≥n-1”，可以确定的整数部分为n-1；
（2） 用计算器求出其近似值，然后取整数部分，需要注意的是：此时取整数部分不要四舍五入，把小数部分全部舍去.
四．问题拓展
1．思考：满足x2<2006的整数x有多少个？
2．阅读理解题：用逐次逼近法求平方根的计算步骤是：
（1）．任意取x1>0，作为的第一个估计值；
（2）由x1出发，计算x2=，作为的第二个估计值；
（3）分别由x2、x3、x4、…出发，重复步骤（2），求出x3、x4、x5、…作为的第三个、第四个、第五个、…的估计值；
由此得到x2、x3、x4、…将一个比一个更接近的不同精确度的近似值.
请用逐次逼近法，求的近似值.（保留4个有效数字）
五、课堂小结
1．“逐步逼近法”的基本原理.
2．求一个正数的正平方根的整数部分其本质就是用“逐步逼近法”求算术平方根的近似值，只是结果保留整数.
3．用计算器求平方根的近似值不同于“逐步逼近法”，最后结果要用“四舍五入”法保留要求的精确度.
4．根据正平方根的近似值取其相反数可以得到一个正数的两个平方根.
六、作业布置
1 . 课本和练习册上的练习
2 . 复习所学的知识
3 . 预习新课
教学设计说明
1．无理数是学生刚刚开始接触、与有理数完全不同的另一类数，其表示方法也是全新的，部分学生对“”还没有真正的理解，只处于模仿的阶段；而“逐步逼近法”又是一个比较抽象、难以理解的数学思想方法，二个难点碰到一起，本节课处理不好，学生一节课的学习不但不会有太大的收获，同时还可能造成对数学的恐惧和厌恶.
为避免学生在学习过程中感到“难、烦”，可以把课堂教学各个环节设计地尽可能明晰，每个环节的任务明确，结论单一，同时，环节宜少不宜多.
在这种思路引领下，笔者设计了本节课，实施教学时，目标基本达到.
2．为了更加清楚地说明“”的大小，笔者认为，利用其意义“面积等于2的正方形的边长”来引入既起到了复习的作用，同时，在上节课基础上利用拼正方形、比较三个正方形的面积，把面积的大小比较转化为边长的大小比较，渗透了“转化”的数学思想方法，而在动手操作中由可以更加直观地发现“逐步逼近法”的原理，为进一步探究问题打下基础.
3．在问题探究时，笔者设计利用几个子问题（先求整数部分、再求十分位、最后求百分位，而巩固性问题中继续求千分位）搭起台阶，学生对使用计算器是很有热情的，因此请他们用计算器计算，然后把计算结果与2进行大小比较，可以提高他们的参与热情和学习兴趣.而几个子问题具有相同的解决方法，在这样不断重复的过程中，逐步逼近法的本质就被发现并掌握了.
4．部分学生的理解和学习能力较强，为了这部分学生能够有更多的收获，同时加强对逐步逼近法的理解，我设计了拓展性问题，引进“逐次逼近法”.这两种方法都体现了“极限思想”.
11．3立方根和开立方
教学目标
1．了解立方根与实际生活的联系，通过与平方根类比，理解立方根的概念.
2．理解开立方与立方互为逆运算，能根据两者的关系求完全立方数的立方根.
3．会用计算器求任意一个数的立方根，并能按指定精确度求近似值.
4．理解和的含义，并能运用它们解决问题.
教学重点及难点
理解开立方与立方互为逆运算，能根据两者的关系求完全立方数的立方根.
教学用具准备
多媒体设备、卡西欧fx-82函数型计算器.
教学流程设计
复习、类比、引入 通过类比、学习新知 思考归纳
布置作业 课堂小结 巩固练习
教学过程设计
一、 复习、类比、引入
复习题：
(1)我们用________表示面积为5的正方形边长; 用来表示_________的正方形的边长.
(2)同样表示_________的正方形的边长,那么这个正方形的边长是多少?你是怎么知道的?你运用了什么运算?
(3)小杰家中有一个储物柜，是一个容积为27立方分米的正方体.这个正方体储物柜的棱长是多少分米？
(4)经过立方运算后结果是27的数还有没有?是多少?这样立方是27的数有几个?
师生归纳：已知一个数的平方求这个数的运算，叫做开平方.类似的，已知一个数的立方求这个数的运算，我们称之为开立方.
二、 通过类比，学习新知
给出立方根和开立方的概念：
如果一个数的立方等于,那么这个数叫做a的立方根，用“”表示，读作“三次根号a”，中的a叫做被开方数，3叫做根指数.
求一个数a的立方根的运算叫做开立方.
例如，如果因为_____________=125,所以,也就是说 是125的立方根.
例题1、求下列各数的立方根：
(1)1000 (2) (3) (4)0
[说明]体会开立方与立方的逆运算关系，会据此求完全立方数、小数、分数的立方根
三、 思考归纳
设问：通过例题1的解决，请归纳开平方与开立方在被开方数取值范围、方根个数等方面有何显著区别？你知道其中的原因吗？
1、 正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零.
2、 正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零.
3、 任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根.也就是说：(1)，(2).
四、 巩固练习
1．以下说法中正确的有（ ）.
A．16的平方根是 B．64的立方根是
C．的立方根是 D．81的平方根是9
2．求值：
(1) (2) (3) (4)
3．用计算器，求值（近似值保留三位小数）：
(1) (2) (3) (4)
4．用计算器，求下列立方根，直接写出计算器显示的结果：
(1) (2) (3) (4)
五、 课堂小结
学生自主小结：你学到了什么?
你有什么样的疑问？
你有什么收获、体会或想法?
你还想知道什么？
六、 布置作业
布置作业：数学练习册12.3习题
教学设计说明
教学设计着重于把立方根与开立方和平方根与开平方进行类比教学.注重概念的形成过程.让学生在新概念的形成过程中，逐步理解新概念.通过设置问题，组织思考讨论来帮助学生理解立方根和开立方的概念，让学生通过具体实例和抽象类比来理解立方根与平方根概念的联系与区别.对本节课的例题和练习安排，我是这样思考的：
(1)对例题1的教学，要着眼于对立方根的概念的理解，要求学生模仿和适应书写格式.练习2则体现了开立方与立方互为逆运算的关系，并利用互逆运算来求一个数的立方根，但限于所得立方根是有理数的情况.
(2)求一个实数的立方根有两种途径.一种是根据定义（如例题1），只用于求特殊实数的立方根，而且学生容易分析出这个实数是某数的立方；另一种是使用计算器（如练习3），这是通用的方法，要讲清具体的操作.对练习3中的第（3）小题，可向学生说明一个负数的立方根等于它的相反数（正数）的立方根的相反数.
(3)在学生会用计算器求实数立方根的基础上，例4 的“思考”是引导学生探索被开方数与立方根之间的小数点移动规律，让学生看到，正开方数扩大1000倍，它的立方根扩大十倍；反之亦然.可指导学生类比被开方数与算术平方根之间的小数点移动规律，并进一步思考为什么有这样的规律，但是不要求学生勉为其难，更不要求会用.
12.4 n次方根
教学目标
1．类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念；
2．通过体验“从特殊到一般”的数学归纳过程，理解n次方根的概念，并从中体会分类和类比等数学思想；
3．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根.
教学重点
1．通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念，并在此过程中体验分类讨论、类比和“从特殊到一般”等数学思想；
2．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根.
教学难点
理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”.
课堂小结
拓展性问题
问题探索
问题情境
练习反馈
作业布置
教学流程设计
教学过程设计
一、 问题导入
1．问题：如果一个数的n次方（其中n是大于1的整数）等于a，你能否类比平方根和立方根的意义说明这个数是多少？
2．分析：设这个数为x，则可以建立方程xn=a，x叫做a的n次方根.
3．小结：
（1） 如果一个数x的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数x叫a的n次方根；
（2）求一个数的n次方根的运算叫做开n次方.
二、问题探索
1．求x：
（1）x5=32，x= ，x5=-32，x= .
（2）x4=16，x= ，x4=-16，x= .
（3）x5=0，x= ， x4=0， x= .
2．思考：观察以上运算结果，类比平方根与立方根，你能否说明当根指数n取不同的值时，a的n次方根可以分为几类？每一类方根有什么性质？
3．知识归纳：
（1） 当n为偶数时，a的n次方根有与平方根类似的性质，我们称之为a的偶次方根；
正数a有2个互为相反数的偶次方根，记作“±”；其中为a的正偶次方根，也叫做算术偶次方根；a叫被开方数，n为根指数；读作“n次根号a”.
0的偶次方根等于0，=0；
负数没有偶次方根（即当a<0时，无意义）.
（2） 当n为奇数时，a的n次方根有与立方根类似的性质，我们称之为a的奇次方根；记作： ”，a叫被开方数，n为根指数；“”读作“n次根号a”.
任意实数a的奇次方根都存在，并且与a有相同的正负性.
4．例题分析：
1．（1） 求-的5次方根；
（2） 求（-8）2的6次方根.
解答：（1） ；
（2） .
【说明】
（1）正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个；
（2）求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数分解质因数.
2．用计算器，求近似值（保留三位小数）：
（1） ； （2） .
解：（1）≈9.630.
（2） ≈-1.734.
【说明】 注意精确度的意义，最后一位要四舍五入.
三、练习反馈
1．计算：； ； ； .
2． 用计算器，求下列各数的近似值（结果保留三位小数）：
； ； 0.3456的6次方根.
四．拓展性问题
1． 若n为自然数，=-a，a的取值范围是什么？
2． 5的n次方根是多少？
五、课堂小结
请填表：
方根
平方根
立方根
偶次方根
奇次方根
定义
表示
a>0
a=0
a<0
六、作业布置
1 . 课本和练习册上的练习
2 . 复习所学的知识
3 . 预习新课
教学设计说明
1． n次方根的概念是平方根与立方根概念的拓展，类比平方根和立方根建立n次方根的概念既有助于对概念及其性质的理解，又能够在类比过程中加深对平方根与立方根概念的理解.通过类比得到数学概念还有利于学生数学知识和数学思维的建构.
2．建立n次方根概念时，因为偶次方根与奇次方根的意义有所不同，因此可以类比平方根与立方根把n次方根分为偶次方根和奇次方根，并在此过程中渗透分类讨论数学思想.
3．本节课的难点是：正数有两个相反的偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根，学生在理解时已经产生了困难，在解决问题时往往会遗忘对各类数的偶次方根的不同处理方法.要突破这个难点，对概念的深刻理解是关键，因此在教学时可以多花一点时间在概念的建立和理解上.当然，偶次方根与奇次方根的同步教学也可以让学生在对比中更易于理解并掌握两个概念.
12.5 用数轴上的点表示实数
教学目标
1、 学习将无理数用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点的对应关系.
2、 会求无理数的绝对值、相反数，会对实数进行大小比较.
3、 经历探索同一数轴上两点的距离的过程，感受数形结合思想，获得成功体验，激发学习兴趣.
教学重点及难点
重点：理解数轴为实数轴，并掌握实数的大小比较方法，理解实数的绝对值、相反数的意义.
难点：探索同一数轴上两点的距离.
教学用具准备
教具、学具、多媒体设备
学习新课
例1比较实数的大小
例2借用数轴求两点间距离.
情境引入
概念辨析
例题分析
问题拓展
巩固练习
布置作业
课堂小结
问题思考
学生讨论
1、无理数用数轴上的点表示；
2、实数的性质
教学流程设计
教学过程设计
一、 情景引入
1．观察
-2
-333
0.1
2
-
2．思考：
（1）请将花篮中的有理数用数轴上的点表示出来.
（2）你能将花篮中的无理数用数轴上的点表示出来吗？
[说明] 体现数轴的优势：直观、有序.
3．讨论
如何将无理数用数轴上的点表示出来？
二、学习新课
1．概念辨析
（一）通过事例说明数轴为实数轴
通过两个例子说明数轴上存在无理数对应的点.
问题1：无理数可以在数轴上表示出来吗？
（1） 在数轴上表示
（2） 在数轴上表示
0
·
3
0.5
A
A’‘‘
1
2
4
-0.5
B
A(O)
F’
0
-1
1
-2
2
·
·
·
·
·
F
G
H
（E）
A
B
C
D
小结：说明数轴上存在无理数对应的点，数轴为实数轴.
问题2：怎样将任一个无理数在数轴上表示出来呢？
例如：在数轴上表示：≈ 1.5874011
1
··
0
·
·
·
2
·
·
·
·
·
·
·
·
步骤：1、用计算器计算；2、取近似值，即设一个无理数t在数轴上所对应的点为T，可以利用与t接近的一个有理数所对应的点对T大致定位.
[说明]关于问题1中的操作1、2的活动，是为回答一个无理数能否用数轴上的点来表示的问题.操作1选用，是本章开始已研究过的无理数，根据已学过的知识将它转化为线段长，再在数轴上画出；操作2选用，我们也可以通过圆的周长将它转化为线段长，在数轴上画出.通过这两个实例，可以说明数轴上确实存在与无理数对应的点，说明我们所认识的数轴是实数的数轴.注意，操作1中须回避勾股定理.
（二）用实数轴解释实数的性质：
类比有理数：有理数范围内已有的绝对值、相反数等概念和大小比较方法，在实数范围内有相同的意义.
一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
绝对值相等符号相反的两个数叫做互为相反数.
实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的数总比左边的数大.
2．例题分析
（一）比较实数的大小
例题1、比较下列每组数的大小：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
[说明] 1、在第二小题中，是用计算器求近似值，用比较近似值的方法完成大小比较.也可介绍面积法：面积越大的正方形的边长越长，将、分别看成面积为5、6的正方形的边长，然后比较大小.
2、在第四小题中，取，，得到，这里利用“中间量”来比较大小，介绍了一种用估值的方法比较大小.
（二）借用数轴求两点的距离
问题：本节课进一步感受到数与点能借助数轴达到完美结合，我们能否不用测量而用数字计算出线段的长？
例题2、如图11-4，已知数轴上的四点A、B、C、D所对应的实数依次是、、、，O为原点，求（1）线段OA、OB、OC、OD的长度.（2）求线段BC的长度.
B
0
2
A
C
D
O
[说明] 一是用绝对值的概念解释数轴上对应的实数与距离的关系，学生容易接受.
二是探索两点的距离与数轴上对应的实数的关系.设计请学生先判断，再引导分析特征，总结规律，形成公式，感受形与数两相依.
3．问题拓展
已知数轴上的四点A、B、C、D所对应的实数依次是、、、，求：（1）在数轴上描出点A、B、C、D；
（2）线段AB、BC、CD、AC的长度.
三、巩固练习
课本P21页 练习12.5
四、课堂小结
总结本课知识的过程中，需点明三点：
1． 数轴为实数轴；
2． 实数与有理数类比同样有相反数、绝对值，并能进行大小比较.
3． 通过将实数在数轴上标示出来，通过研究同一数轴上两点的距离，感受数形结合的思想.
五、作业布置
练习册P6-8 习题12.5
教学设计说明
学生已经知道，有理数可以用数轴上的点表示.用数轴上的点来表示一个无理数，是容易想到的问题，但是并不容易解决.先以、为例，用画图的方法在数轴上分别唯一确定了表示它们的点，说明可以用数轴上的点来表示无理数；然后直接指出“每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示”，可用“夹逼”的方法确定每个无理数的对应点，可用通俗的语言进一步指出实数的全体与数轴上的所有点“一一对应”，但是这里没有出现“一一对应”的术语，表明对此进行淡化.
用数轴上的两点所对应的实数来表示这两点的距离，是新增的内容.安排这一内容，一是让学生体会数形结合的运用，二是它直接有用，三是为以后在平面直角坐标系中学习“两点的距离”打下认识基础.
12.6（1）实数的运算
教学目标
理解实数的运算法则、性质和顺序并能根据相关知识进行实数运算；会利用平方根意义化简根式.
教学重点及难点
掌握实数的运算法则及用实数的运算法则进行简单的计算.
教学用具准备
多媒体设备.
教学流程设计
情景引入：
（1） 复习
（2） 讨论
概念辨析：
实数的运算法则、
运算性质及性质.
例题分析
问题拓展
巩固练习
课堂小结
作业布置
教学过程设计
一、 情景引入
1．复习
实数的运算法则和运算性质及顺序.
2．讨论
以上算式有什么特征？计算的结果是什么？
二、学习新课
1．概念辨析
有理数的运算法则、运算性质以及运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用.开方与乘方是同级运算.
2．例题分析
例题1：不用计算器，计算：
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
解：（1）;
（2）;
（3）;
（4）
.
例题2. 不用计算器，计算：
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
解：（1）.
（2）.
（3）
（4）
3．问题拓展
1.用计算器计算，写出计算结果并进行比较：
（1）、;
（2）、.
2.设>0，>0，，这两个等式为什么成立？
3.不用计算器，计算：
（1）;
（2）;
（3）.
三、巩固练习
课本：24页1.2.
四、课堂小结
1.实数的运算.
2.实数计算中的简单化简.
五、作业布置
1．复习已学知识.
2．完成练习册.
教学设计说明
1． 实数运算的意义与有理数运算的意义一样，但学生对于这个问题是比较难理解的.有理数运算的法则容易操作，运算的结果存在并且唯一；但是有无理数参与的实数运算，对它的认识涉及到实数理论中的一些难点，初中七年级的学生一般是不能真正理解的.
2． 教材从两个方面，对一个无理数与一个实数相加、相乘其结果的存在性与唯一性，进行了简要的说明.一是取无限小数的近似值（有限小数），将原来的运算数转化为有限小数的运算，可以逐步逼近原来的运算结果；二是用几何方法解释可转化为线段或矩形面积.因为从有理数运算扩展到实数运算时，必须回答“结果存在而且唯一”的问题，但是现在难于说清，学生也难于理解，所以课本中只是作一个交代、点到为止，教学时对此不要深究，可引导学生初步领会其中的数学思想；告诉学生实数运算的意义同有理数运算一样，其结果的存在性与唯一性，在数学上有严格的论证，这里不作要求.
3． 在实数运算中，对于有理数原有的概念和原有的运算法则、运算性质、运算顺序，简要说明它们对无理数也适用.这样有利于所学内容与前、后学习内容相衔接，也有利于学生体验数学的严密性.
4． 本节实数的运算主要是运用实数的运算法则、运算性质及公式化简算式.在教学过程中，不能涉及最简二次根式和分母有理化等问题.其中例1的第（1）题，可以类比合并同类项；第（4）题及例3中的（2）、（4）小题，都利用了幂的运算性质进行化简.
12.6（2）实数的运算
教学目标
1、 知道准确数、近似数、精确度、有效数字等概念的含义；
2、 掌握表示近似数的精确程度的两种方法，会按指定方法取近似值.
教学重点及难点
近似数等概念的辨别理解及按指定方法取近似值.
教学用具准备
多媒体设备
教学流程设计
情景引入：
课本相关文字阅读和讨论.
例题分析
问题拓展
巩固练习
课堂小结
作业布置
概念辨析：
近似数、准确数、精确度、有效数字
教学过程设计
一、 情景引入
1. 课本25页引入及议一议中近似数和准确数的辨析；
2．关键字：约、多、余、达到、超过.
二、学习新课
1．概念辨析
（1）准确数：完全符合实际地表示一个量多少的数；
（2）近似数：与准确数达到一定接近程度的数；
（3）精确度：对近似程度的要求；
（4）有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字.
2．例题分析
例题1：下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？
（1）2000;
（2）0.618;
（3）7.20万;
（4）5.10×10.
解:（1）近似数2000精确到个位，
有4个有效数字：2、0、0、0.
（2）近似数0.618精确到千分位，
有3个有效数字：6、1、8.
（3）近似数7.20万精确到百位，
有3个有效数字：7、2、0.
（4）近似数5.10×10精确到千位，
有3个有效数字：5、1、0.
例题2. 月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在近地点时与地球相距约为363300km，在远地点时与地球相距约为405500km.按下列精度要求，用科学记数法表示这两个数的近似数：
（1）精确到万位；
（2）保留三个有效数字.
解：（1）363300≈3.6×10.
405500≈4.1×10.
（2）363300≈3.63×10.
405500≈4.06×10.
3．问题拓展
2004年末，上海市户籍人口有1353.92万，按下列要求的精确度分别取这个数的近似数：
（1）精确到万位；
（2）精确到百万位；
（3）保留4个有效数字；
三、巩固练习
课本：27页练习.
四、课堂小结
1. 近似数等概念的辨别理解；
2. 按指定方法取近似值；
五、作业布置
练习册.
教学设计说明
5． 实数运算中增加了近似计算的内容，说明了“准确数”、“近似数”、“精确度”、“有效数字”等概念.这里涉及的概念较多，学生比较容易混淆，教师在教学中可以通过对不同情况的具体分析从而让学生弄清楚有关概念的意义.
6． 学生尤其在理解有效数字的问题上会难以理解，教师需要引起重视，如学生回答“5.10×10精确到何数位”这样的问题，可能会有困难，需要老师的反复的讲解和巩固练习.
12.6（3）实数的运算
教学目标
1、 掌握实数运算中的近似计算的方法；
2、 能运用实数的运算方法，解决较简单的实际问题.
教学重点及难点
实数的近似计算及实数运算的应用.
教学用具准备
多媒体设备
教学流程设计
利用计算器进行近似计算
例题分析：
近似计算的实际运用
问题拓展
巩固练习
课堂小结
作业布置
教学过程设计
一、 情景引入
1．按指定的精确度计算 ：
（1）（精确到0.01）；
（2）.
解：（1）
≈6.083+0.26-1.710
≈4.63.
也可由计算器直接输入算式进行计算：
≈4.632786584
≈4.63.
（2）
≈-0.242061459
≈-0.242.
[说明]在进行近似计算时，中间过程中的近似数一般比指定的精确度要求多一位，对最后所得结果按指定精确度要求取近似值；若向计算器直接输入算式进行计算，那么只要对最后显示的结果按指定精确度要求取近似值.
二、学习新课
1．例题分析
例题1：已知 ，，当≈6.378×10，≈9.807时，求和的近似值（保留三个有效数字）.
解：当≈6.378×10，≈9.807时，
.
.
例题2：伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h(米)与下降的时间t(秒)的关系可以近似地表示为h=4.9t²(不计空气阻力).一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了920米，这段时间大约有多少秒？（精确到1秒）
解：由h=4.9t²，h=920，得t.
又因为t>0，所以t.
答：这段时间大约14秒.
2．问题拓展
在地面上围建一个花坛，底部形状设计如图所示，它的外周由圆弧ABC与正方形ADEC的三条边组成.已知圆弧的半径r=OA=AD，∠AOC=60°，正方形ADEC的面积为30m²，求花坛底部的周长（保留三个有效数字）.
三、巩固练习
课本：练习11.6（3）
四、课堂小结
1. 实数的近似计算；
2. 实数运算的应用.
五、作业布置
1．复习已经学过的知识；
2．完成练习册.
教学设计说明
7． 实数运算中增加了近似计算的内容，对近似计算提出了两种精度要求，即保留几位小数或者保留几个有效数字，这样使实数的近似计算更加规范.
8． 通过实数的近似计算，让学生通过练习，熟悉运算性质和法则；通过应用，感受数学与生活的联系.
9． 实数的近似计算通常使用计算器进行计算，要注意每题中的精确度要求.近似计算的中间过程应多保留一位小数；中间用“≈”联结.
10． 教材中没有具体介绍计算器的使用方法，只是提出参照“使用说明书”.教师应了解计算器的功能，掌握常用计算器的操作技能，以便有针对性地对学生进行学习指导和操作辅导，同时要鼓励学生使用计算器进行解题实践和探索规律的活动，发展操作技能和探究能力.
11． 拓展问题中的条件“∠AOC=60°”是多余的，增加了这个条件的原因是学生此前没有学过等边三角形的性质.
12.7 分数指数幂（1）
教学目标
1、理解分数指数幂的意义；能将方根与指数幂互化，体会转化思想.
2、能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算.
教学重点及难点
重点：理解分数指数幂的意义，能将方根与指数幂互化.
难点：能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算.
教学用具准备
教具、学具、多媒体设备
教学流程设计
学习新课
例1熟练掌握方根与幂的形式互化
情境引入
概念辨析
例题分析
例2熟练运用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方进行分数指数幂运算.
问题拓展
巩固练习
布置作业
课堂小结
问题思考
学生讨论
教学过程设计
一、 情景引入
1．回顾
加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？
2．思考：
把表示为2的次幂的形式
解：假设成立，那么
左边=21，右边=
要使 左边=右边 成立，则，即
所以
[说明] 因为2的任何整数指数幂都是有理数，而是一个无理数，可知不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把表示为的形式.
3．讨论
通过的转化，学生讨论方根与幂的形式如何互化？
二、学习新课
1．概念辨析
（1）分数指数幂
（其中、为整数，）.
上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.
[说明] 指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.
方根与幂的形式互化过程，以如下表格说明注意事项：
方根
分数指数幂
被开方数的底数
底数
负数没有偶次方根，所以、互素时，为奇数时，可为负数；为偶数时，为非负数.
被开方数的指数
指数的分子部分
根指数
指数的分母部分
（2）有理数指数幂
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂.
（3）有理数指数幂的运算性质：
设，，、为有理数，那么
（ⅰ），
（ⅱ）
（ⅲ），
2．例题分析
例1 把下列方根化为幂的形式：
（1）； （2）；
（3）； （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例2 计算：
（1）； （2）；
解：（1）
（2）
3．问题拓展
例3 计算：
（1）； （2）
解：（1）
（2）
[说明] 在教学中，要注意以下几点：
（1）例1为开方运算向乘方运算转化.在方根转化为幂指数的形式中，根指数在幂指数中作分母，这是学生容易出错的地方，应引起注意.
（2）例2利用有理数指数幂的运算法则进行计算，与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解.
（3）例3是为了熟练有理数指数幂的运算性质，两小题分别是积的乘法公式互逆运用的举例，其中（1）题解法也可以化成（2）题进行这样计算：.
三、巩固练习
1、课本P练习12.7（1）
2、把下列方根化为幂的形式：
（1） （2） （3） （4）
3、计算：
（1） （2）
（3） （4）
四、课堂小结
带领学生总结本课知识的过程中，提出两点要求：
1、在理解分数指数幂意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化；
2、能在简单运算中熟练地综合运用有理数指数幂的性质（同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方）进行计算，法则不变.
五、作业布置
练习册P12-13，习题12.7（1）
教学设计说明
分数指数幂的产生是运用转化思想获得成功的范例.本节开头所述，减法可转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算，因此试图将开方运算转化为乘方运算.在保持整数幂运算性质的前提下，探讨指数的范围，从而产生了分数指数幂.
在教学中例题的选择上由浅入深，由概念的理解到运算性质的熟练运用，计算题的设计也是由易到难，并与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解，能够轻松掌握此部分知识点.
12.7 分数指数幂（2）
教学目标
1、熟练运用有理数指数幂的性质进行计算.
2、通过分数指数幂的学习，能进一步掌握乘方与开方的相关运算.
教学重点及难点
重点：熟练运用有理数指数幂的性质进行计算.
难点：运用方根与幂的互化进行乘方与开方运算.
教学用具准备
教具、学具、多媒体设备
教学流程设计
学习新课
例2熟练运用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方进行分数指数幂运算.
复习引入
例题分析
例1分数指数幂化为方根，用计算器进行计算.
例3方根形式的计算题转化为分数指数幂利用幂的运算性质计算.
问题拓展
巩固练习
布置作业
课堂小结
教学过程设计
一、 复习引入
（1）分数指数幂
（其中、为整数，）.
其中和叫做分数指数幂，是底数.
（2）有理数指数幂
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂.
（3）有理数指数幂的运算性质：
设，，、为有理数，那么
（ⅰ），
（ⅱ）
（ⅲ），
二、学习新课
1．例题分析
例4 用计算器，计算（保留三位小数）：
（1）； （2）；
（3）； （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例5 计算（结果用幂的形式表示）：
（1）； （2）；
（3）； （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例6 利用幂的运算性质计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）
解：（1）；
（2）
（3）
（4）
2．问题拓展
例4、利用幂的运算性质计算：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）
（2）
（3）
另解：原式=
（4）
[说明]
1、例1为幂运算化简后再转化为方根，用计算器得到结果.是利用方根的运算方法，对指数幂进行近似计算.结果按精确度要求完成.
2、例2是为了熟练有理数指数幂的运算性质，其中（3）、（4）结果可以不作进一步化简.
3、例3利用幂的性质解决根式的运算问题，让学生体验运用有理数指数幂进行计算的便捷.
4、例4在学生能运用幂的性质解题时，给出（1）（2）两小题进行区别，强调解题时审题清楚，概念明确.
5、对含有方根的算式，利用幂的运算性质进行计算时，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根.
三、巩固练习
1、课本P34练习12.7(2)
2、计算：（1） （2）
（3） （4）
3、利用幂的运算性质计算：
（1） （2）
四、课堂小结
带领学生总结本课知识的过程中，提出两点要求：
1、熟练运用有理数指数幂的性质进行计算.
2、通过运用方根与幂的互化，进一步掌握乘方与开方的相关运算.
五、作业布置
练习册P13-14习题12.7(2)
教学设计说明
实数的运算，是初中数学的基本知识和基本技能的重要组成部分.分数指数幂的出现为n次方根的计算提供了新的途径.
在教学中例题的选择上由浅入深，首先学生要掌握使用计算器进行分数指数幂的加减乘除、乘方运算，例题解法提供了转化为方根形式用计算器计算取近似值，也可以介绍利用计算器中乘方、分数按钮进行直接计算.幂的运算性质的熟练运用，计算题的设计也是分两类，一类是题目给出就是分数指数幂的形式，直接利用幂的运算性质；另一类是题目给出方根形式，但由于根指数不同，不能直接用前面所学的公式：，，其中，，但被开方数相同，或被开方数中含有相同的因数，因此这类题需转化分数指数幂的形式，利用运算性质解题.最后，在问题拓展中给出其它类型的题与前面的例题加以区别，要求学生能够具体问题具体分析.
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