2022年江苏省南京中考数学终极押题密卷(word版含答案)

这是一份2022年江苏省南京中考数学终极押题密卷(word版含答案)，共48页。
2022年南京中考数学终极押题密卷
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021•玄武区二模）8的值等于（　　）
A．4 B．±4 C．22 D．±22
2．（2分）（2022•宁波模拟）计算（﹣a2）3÷a2的结果是（　　）
A．﹣a4 B．﹣a3 C．a4 D．a3
3．（2分）（2021•鼓楼区二模）如果一个正多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．（2分）（2021•秦淮区一模）2020年是新中国历史上极不平凡的一年，我国经济运行逐季改善，在全球主要经济体中唯一实现经济正增长．根据国家统计局发布的数据，2016﹣2020年国内生产总值及其增长速度如图所示．

根据图中提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．2020年末，中国的国内生产总值迈上百万亿元新的大台阶
B．2016年至2020年，国内生产总值呈递增趋势
C．2017年至2020年，相比较上一年，国内生产总值增加最多的是2017年
D．2017年至2020年，相比较上一年，国内生产总值增长速度最快的是2017年
5．（2分）（2021•玄武区二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a≠0），当x＝1时，y＞0，则该函数图象的顶点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2分）（2021•南京二模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若∠ADE＝m°，则∠BAD的度数是（　　）

A．m° B．（90-12m）° C．（90﹣m）° D．（90-32m）°
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021•鼓楼区二模）2020年7月，南京市统计局公布了鼓楼区的常住人口约为107万人，用科学记数法表示107万人是 　 　人．
8．（2分）（2021•秦淮区一模）“沉睡数千年，一醒惊天下”．三星堆遗址在5号坑提取出仅1.4cm的牙雕制品，最细微处间隔不足50μm（1μm＝10﹣6m），用科学记数法表示50μm是　 　m．
9．（2分）（2021•玄武区二模）计算2712-3的结果是　 　．
10．（2分）（2021•南京二模）方程组x-2y=32x-y=9的解是 　 　．
11．（2分）（2022•息县模拟）式子x-1x-2在实数范围内有意义，则x的范围是 　 　．
12．（2分）（2021•秦淮区一模）如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD＝∠B，AC＝5，AD＝3，则DB＝　 　．

13．（2分）（2021•玄武区二模）如图，A、B分别是反比例函数y1=-2x（x＜0），y2=kx（k＞0，x＞0）图象上的点，且AB∥x轴，C是x轴上的点，连接AC，BC．若△ABC的面积是3，则k的值是　 　．

14．（2分）（2021•南京二模）如图，正五边形ABCDE的边为2，对角线BD、CE相交于点F，则DF•BD的值为　 　．

15．（2分）（2021•鼓楼区二模）如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4，则一个正八边形的面积为 　 　．

16．（2分）（2021•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝BD，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，则AC的最大值是　 　．

三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2021•玄武区二模）解下列方程．
（1）x2+6x+2＝0；
（2）2x2-1+1=xx-1．
18．（7分）（2021•南京二模）解不等式组4-3x≥-52x-13＞x-22．并写出该不等式组的最小整数解．
19．（7分）（2021•鼓楼区二模）某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其中有两箱储存A厂家的疫苗，另两箱分别储存B厂家和C厂家的疫苗．
（1）如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，求拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的概率；
（2）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到A厂家疫苗的概率是 　 　．
20．（8分）（2021•秦淮区一模）某初中学校每天对全校学生的午休情况进行检查，初一，初二，初三3个年级都要被检查到．某天由甲，乙，丙3名同学检查，他们来自3个不同的年级，每人只能检查1个年级．
（1）甲检查初一年级的概率为　 　；
（2）求他们都不检查自己所在年级的概率．
21．（8分）（2021•玄武区二模）某学校护学岗值班，每天只需要一名家长．甲、乙两位家长从周一到周四这四天中各随机选择两天值班．
（1）求甲恰好是连续的两天值班的概率；
（2）甲、乙恰好都是连续的两天值班的概率是　 　．
22．（8分）（2021•南京二模）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．

23．（8分）（2021•鼓楼区二模）如图①，AB、CD是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为39°，铁塔顶端C的仰角为27°，沿着EB向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为53°．已知∠ABE＝∠CDE＝90°，点E、B、D构成的△EBD中，∠EBD＝90°．
（1）图②是图①中的一部分，求铁塔AB的高度；
（2）小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是 　 　，若将这个角记为α，则铁塔CD的高度是 　 　；（用含α的式子表示）
（3）小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的线段是 　 　．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：sin39°≈35，cos39°≈34，tan39°≈45，sin27°≈920，cos27°≈910，tan27°≈12，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）

24．（8分）（2021•秦淮区一模）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求m的取值范围．
25．（8分）（2021•玄武区二模）小明在动物园游玩结束后，联系爸爸去餐厅就餐，如图①，小明从动物园骑车出发，匀速前往餐厅，稍后，小明爸爸从家开车出发，匀速前往餐厅；行驶一段时间，爸爸发现手机落在家里，立即按原路以原速返回（取手机的时间忽略不计），再立即以原速前往餐厅，设小明出发第xmin时，与餐厅的距离为y1km，小明爸爸与餐厅的距离为y2km．y1，y2与x之间的函数关系如图②所示．
（1）小明的速度是　 　km/min；
（2）求线段MN所表示的y2与x之间的函数表达式；
（3）设小明与爸爸之间的距离为Skm，在图③中画出S与x之间的函数图象．（标明必要的数据）

26．（10分）（2021•南京二模）某商品有线上、线下两种销售方式．
线上销售：单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件．另需支付其它成本5000元；
线下销售：单件利润500元．另需支付其它成本12500元．
注：净利润＝销售商品的利润﹣其他成本．
（1）线上销售100件的净利润为　 　元；线下销售100件的净利润为　 　元；
（2）若销售量为x件，当0＜x≤600时，⽐较两种销售方式的净利润；
（3）现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售多少件？
27．（9分）（2021•鼓楼区二模）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】
（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件，他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例 　 　．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．
已知：四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'=ADA'D'，∠A＝∠A′．
求证：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是 　 　．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．


2022年南京中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021•玄武区二模）8的值等于（　　）
A．4 B．±4 C．22 D．±22
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据ab=a•b（a≥0，b≥0）化简即可．
【解答】解：8
=4×2
=4×2
＝22，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的化简，解题时注意算术平方根与平方根的区别．
2．（2分）（2022•宁波模拟）计算（﹣a2）3÷a2的结果是（　　）
A．﹣a4 B．﹣a3 C．a4 D．a3
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：（﹣a2）3÷a2＝（﹣a6）÷a2＝﹣a4．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（2分）（2021•鼓楼区二模）如果一个正多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形．
【分析】根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是36°，
∴n＝360°÷36°＝10，
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形外角与边数的关系，利用外角求正多边形的边数的方法，熟练掌握多边形外角和公式是解决问题的关键．
4．（2分）（2021•秦淮区一模）2020年是新中国历史上极不平凡的一年，我国经济运行逐季改善，在全球主要经济体中唯一实现经济正增长．根据国家统计局发布的数据，2016﹣2020年国内生产总值及其增长速度如图所示．

根据图中提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．2020年末，中国的国内生产总值迈上百万亿元新的大台阶
B．2016年至2020年，国内生产总值呈递增趋势
C．2017年至2020年，相比较上一年，国内生产总值增加最多的是2017年
D．2017年至2020年，相比较上一年，国内生产总值增长速度最快的是2017年
【考点】折线统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】根据条形统计图和折线统计图中的数据，结合各选项逐一分析判断可得答案．
【解答】解：A．2020年末，中国的国内生产总值迈上百万亿元新的大台阶，此选项正确，不符合题意；
B．2016年至2020年，国内生产总值呈递增趋势，此选项正确，不符合题意；
C．2017年相比较上一年增加：832036﹣746395＝85641，
2018年相比较上一年增加，919281﹣832036＝87245，
2019年相比较上一年增加，986515﹣919281＝67234，
2020年相比较上一年增加，1015986﹣986515＝29471，
∴2017年至2020年，相比较上一年，国内生产总值增加最多的是2018年，此选项错误，符合题意；
D．2017年至2020年，相比较上一年，国内生产总值增长速度最快的是2017年，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查条形统计图和折线统计图，解题的关键是根据条形统计图和折线统计图得出解题所需的具体数据．
5．（2分）（2021•玄武区二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a≠0），当x＝1时，y＞0，则该函数图象的顶点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【分析】y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）＝ax2﹣2ax，该函数的对称轴为直线x＝1，即可求解．
【解答】解：y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）＝ax2﹣2ax，
该函数的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y＞0，
故顶点在第一象限，
故选：A．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
6．（2分）（2021•南京二模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若∠ADE＝m°，则∠BAD的度数是（　　）

A．m° B．（90-12m）° C．（90﹣m）° D．（90-32m）°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；模型思想．
【分析】分别过点E、D作EF⊥CD、DG⊥AB，证明△CEF≌△BDG、△DEF≌△ADG，从而证明△CDE≌△ADB，得到∠EDC＝∠BAD，再利用等边对等角，用m表示出∠AED和∠CED，再利用平角的定义即可表示出∠BAD的度数．
【解答】解：分别过点E、D作EF⊥CD、DG⊥AB，垂直分别为F、G，

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥CD，DG⊥AB，
∴∠EFC＝∠DGB＝90°，
在△CEF和△BDG中
∠EFC=∠DGB∠C=∠BCE=BD
∴△CEF≌△DGB（AAS），
∴EF＝DG，
在Rt△DEF和Rt△ADG中
DE=ADEF=DG
∴Rt△DEF≌Rt△ADG（HL），
∴∠CED＝∠ADB，∠EDC＝∠DAB，
∵AD＝ED，∠ADE＝m°，
∴∠DEA＝（180-m2）°，
∴∠ADB＝∠CED＝（180-180-m2）°，
∴∠BAD＝∠EDC＝180°﹣（∠ADB+∠ADE）＝180°﹣（180-180-m2+m）°＝（90-32m）°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识，能够根据线段相等等已知条件构造全等三角形是解答此题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021•鼓楼区二模）2020年7月，南京市统计局公布了鼓楼区的常住人口约为107万人，用科学记数法表示107万人是 　1.07×106　人．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：107万＝1070000＝1.07×106．
故答案为：1.07×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
8．（2分）（2021•秦淮区一模）“沉睡数千年，一醒惊天下”．三星堆遗址在5号坑提取出仅1.4cm的牙雕制品，最细微处间隔不足50μm（1μm＝10﹣6m），用科学记数法表示50μm是　5×10﹣5　m．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：50μm＝50×10﹣6m＝5×10﹣5m，
故答案为：5×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9．（2分）（2021•玄武区二模）计算2712-3的结果是　3　．
【考点】二次根式的混合运算；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再合并，然后约分即可．
【解答】解：原式=3323-3
=333
＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．（2分）（2021•南京二模）方程组x-2y=32x-y=9的解是 　x=5y=1　．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：x-2y=3①2x-y=9②，
②×2﹣①得：3x＝15，
解得：x＝5，
把x＝5代入①得：5﹣2y＝3，
解得：y＝1，
则方程组的解为x=5y=1．
故答案为：x=5y=1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
11．（2分）（2022•息县模拟）式子x-1x-2在实数范围内有意义，则x的范围是 　x≥1且x≠2　．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子x-1x-2在实数范围内有意义，
∴x-1≥0x-2≠0，解得x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
12．（2分）（2021•秦淮区一模）如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD＝∠B，AC＝5，AD＝3，则DB＝　163　．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由题目所给条件可证得△ACD∽△ABC，可得到AD：AC＝AC：AB，从而可求得AB的长，即可求解DB．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ADAC=ACAB，
∴AC2＝AD•AB，
∵AC＝5，AD＝3，
∴AB=AC2AD=253，
∴DB＝AB﹣AD=253-3=163，
故答案为：163．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键．
13．（2分）（2021•玄武区二模）如图，A、B分别是反比例函数y1=-2x（x＜0），y2=kx（k＞0，x＞0）图象上的点，且AB∥x轴，C是x轴上的点，连接AC，BC．若△ABC的面积是3，则k的值是　4　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】数形结合；应用意识．
【分析】设点A的坐标，根据平行点A、B的纵坐标相同得到点B的纵坐标，再代入y2的解析式求出点B的横坐标，然后求出AB的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：点A在y1=-2x（x＜0）上，
故设A（a，-2a），
∵AB∥x轴，
∴yB＝yA=-2a；
∵点B在y2=kx（k＞0，x＞0）上，即kx=-2a，
则xB=-ak2，
∴AB＝xB﹣xA=-ak2-a=-a(k+2)2，
∴S△ABC=12×AB×yA
=12×[-a(k+2)2]×（-2a）
＝3，
即k+22=3，
解得k＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A的纵坐标表示出AB的长度是解题的关键．
14．（2分）（2021•南京二模）如图，正五边形ABCDE的边为2，对角线BD、CE相交于点F，则DF•BD的值为　4　．

【考点】正多边形和圆；相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】又正五边形的性质得到BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，而证得∠CBD＝∠CDB＝∠CED＝∠DCE，根据相似三角形的判定证得△BCD∽△CFD，根据相似三角形的性质即可求出结果．
【解答】解：如图所示：
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE=(5-2)×180°5=108°，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠CED＝∠DCE=180°-108°2=36°，
在△BCD和△CFD中，
∠CBD＝∠DCF，∠BDC＝∠CDF，
∴△BCD∽△CFD，
∴BDCD=CDDF，
∴DF•BD＝CD2，
∵正五边形ABCDE的边为2，
∴CD＝2，
∴DF•BD＝4，
故答案为4．

【点评】本题主要考查了正多边形和圆，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质证得DF•BD＝CD2是解决问题的关键．
15．（2分）（2021•鼓楼区二模）如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4，则一个正八边形的面积为 　8+82　．

【考点】正多边形和圆；全等图形．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【分析】根据正方形的性质得到AB＝2，根据由正八边形的特点求出∠AOB的度数，过点B作BD⊥OA于点D，根据勾股定理求出BD的长，由三角形的面积公式求出△AOB的面积，进而可得出结论．
【解答】解：设正八边形的中心为O，
连接OA，OB，如图所示，
∵正方形的面积为4，
∴AB＝2，
∵AB是正八边形的一条边，
∴∠AOB=360°8=45°．
过点B作BD⊥OA于点D，设BD＝x，则OD＝x，OB＝OA=2x，
∴AD=2x﹣x，
在Rt△ADB中，BD2+AD2＝AB2，
即x2+（2x﹣x）2＝22，
解得x2＝2+2，
∴S△AOB=12OA•BD=12×2x2=2+1，
∴S正八边形＝8S△AOB＝8×（2+1）＝82+8，
故答案为：82+8．

【点评】本题考查的是正多边形和圆，正方形的性质，三角形面积的计算，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
16．（2分）（2021•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝BD，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，则AC的最大值是　3+1　．

【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】以AB为边作等边△ABE，连结EC，根据题意得到△DCB为等边三角形，∠ADB＝90°，进而利用SAS证明△ABD≌△EBC，得出∠ADB＝∠ECB＝90°，从而得出动点C在以BE为直径的⊙O上，连结AO并延长交⊙O于点C′，得出AC′是AC的最大值，在等边△ABE中，根据三线合一的性质求出AO的长，进而得到AC′．
【解答】解：如图，以AB为边作等边△ABE，连结EC，

∴AB＝BE＝AE，∠ABE＝∠EAB＝∠AEB＝60°，
∵BC＝BD，∠DCB＝60°，
∴△DCB为等边三角形，
∴BD＝BC＝CD，∠DCB＝∠CDB＝∠DCB＝60°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDB＝150°﹣60°＝90°，
在△ABD和△EBC中，
AB=EB∠ABD=∠EBC=60°-∠DBEBD=BC，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴∠ADB＝∠ECB＝90°，
在△EBC中，EB＝AB＝2，∠ECB＝90°，
以BE为直径作⊙O，则半径为12BE＝1，
∴动点C在以BE为直径的⊙O上，连结AO并延长交⊙O于点C′，
∴AC≤AC′＝AO+OC′＝AO+1，
在等边△ABE中，AB＝2，O为BE的中点，
∴AO=AB2-BO2=22-12=3，
∴AC′=3+1，
即AC的最大值为3+1，
故答案为：3+1．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质及确定AC′是AC的最大值是解题的关键．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2021•玄武区二模）解下列方程．
（1）x2+6x+2＝0；
（2）2x2-1+1=xx-1．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解分式方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）两边都乘以（x+1）（x﹣1）化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可．
【解答】解：（1）∵x2+6x+2＝0，
∴x2+6x＝﹣2，
则x2+6x+9＝﹣2+9，即（x+3）2＝7，
∴x+3＝±7，
∴x1＝﹣3+7，x2＝﹣3-7；

（2）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：2+（x+1）（x﹣1＝x（x+1），
解得x＝1，
当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
【点评】本题主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（7分）（2021•南京二模）解不等式组4-3x≥-52x-13＞x-22．并写出该不等式组的最小整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出最小整数解即可．
【解答】解：4-3x≥-5①2x-13＞x-22②，
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞﹣4，
所以不等式组的解集是﹣4＜x≤3，
所以不等式组的最小整数解是﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
19．（7分）（2021•鼓楼区二模）某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其中有两箱储存A厂家的疫苗，另两箱分别储存B厂家和C厂家的疫苗．
（1）如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，求拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的概率；
（2）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到A厂家疫苗的概率是 　12　．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】（1）画树状图，共有12种等可能的结果，拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的结果有10种，再由概率公式求解即可；
（2）直接由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的结果有10种，
∴拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的概率为1012=56；
（2）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到A厂家疫苗的概率是24=12，
故答案为：12．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）（2021•秦淮区一模）某初中学校每天对全校学生的午休情况进行检查，初一，初二，初三3个年级都要被检查到．某天由甲，乙，丙3名同学检查，他们来自3个不同的年级，每人只能检查1个年级．
（1）甲检查初一年级的概率为　13　；
（2）求他们都不检查自己所在年级的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列举出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有3个年级，分别是初一，初二，初三，
∴甲检查初一年级的概率为13．
故答案为：13．

（2）设甲，乙，丙分别来自于初一，初二，初三3个年级．甲，乙，丙3名同学各自检查一个年级，所有可能出现的结果共有6种，
即（初一，初二，初三）、（初一，初三，初二）、（初二，初一，初三）、（初二，初三，初一）、（初三，初一，初二）、（初三，初二，初一），
这些结果出现的可能性相等．所有的结果中，满足他们都不检查自己所在年级（记为事件A）的结果有2种，即（初二，初三，初一）、（初三，初一，初二），
所以P（A）=26=13．
【点评】本题考查了概率的求法，熟练掌握概率公式是解题的关键，概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）（2021•玄武区二模）某学校护学岗值班，每天只需要一名家长．甲、乙两位家长从周一到周四这四天中各随机选择两天值班．
（1）求甲恰好是连续的两天值班的概率；
（2）甲、乙恰好都是连续的两天值班的概率是　13　．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；
（2）根据（1）得出的所有等可能的情况数，找出甲、乙恰好都是连续的两天值班的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：

共有12种等可能的情况数，其中甲恰好是连续两天值班的有6种，
则甲恰好是连续的两天值班的概率是612=12；

（2）共有12种等可能的情况数，其中甲、乙恰好都是连续两天值班的有4种，
则甲、乙恰好都是连续的两天值班的概率是412=13．
故答案为：13．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）（2021•南京二模）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．

【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝FD，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即 OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即AC⊥EF；
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．（8分）（2021•鼓楼区二模）如图①，AB、CD是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为39°，铁塔顶端C的仰角为27°，沿着EB向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为53°．已知∠ABE＝∠CDE＝90°，点E、B、D构成的△EBD中，∠EBD＝90°．
（1）图②是图①中的一部分，求铁塔AB的高度；
（2）小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是 　∠BED　，若将这个角记为α，则铁塔CD的高度是 　25cosα　；（用含α的式子表示）
（3）小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的线段是 　FD长度或F到DE的距离　．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：sin39°≈35，cos39°≈34，tan39°≈45，sin27°≈920，cos27°≈910，tan27°≈12，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】（1）根据题目中的数据和锐角三角函数可以计算出AB的长．
（2）测得∠BED＝a，解直角三角形ABE求得BE，进而解直角三角形BED求得DE，最后在Rt△CED中，由正切可求CD；
（3）测得FD长度或F到DE的距离即可通过计算求得CD．①测得FD＝m，在Rt△BDF中，利用勾股定理求得BD，在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，利用CD＝DE•tan27°求得结果，
②测得F到DE的距离为n，通过三角形相似求得BD，然后在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，根据CD＝DE•tan27°求得CD，
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，
∴tan39°=ABBE，即BE=ABtan39°，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，
∴tan53°=ABBF，即BF=ABtan53°，
∵EF＝20米，
∴ABtan39°-ABtan53°=20，
∴AB=20tan53°⋅tan39°tan53°-tan39°≈40（米），
答：铁塔AB的高度为40米；
（2）在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是∠BED，
在Rt△ABE中，BE=ABtan39°=50，
在Rt△BED中，DE=BEcosα=50cosα，
在Rt△CED中，CD＝DE•tan27°=12×50cosα=25cosα，
故答案为∠BED，25cosα；
（3）在点F处再测量FD长度或F到DE的距离，通过计算也可求出铁塔CD的高度，
①测得FD＝m，在Rt△BDF中，利用勾股定理求得BD，在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，利用CD＝DE•tan27°求得结果，
②测得F到DE的距离为n，通过三角形相似求得BD，然后在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，根据CD＝DE•tan27°求得CD；
故答案为FD长度或F到DE的距离．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题需要同学们理解仰角、俯角的定义，根据实际构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题求解．
24．（8分）（2021•秦淮区一模）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求m的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【分析】（1）由b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，即可求解；
（2）求出函数图象与x轴的交点的坐标为（﹣m+1，0），（﹣m﹣1，0），因为函数图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，且﹣m+1＞﹣m﹣1，进而求解．
【解答】解：（1）因为b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
所以方程x2+2mx+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
所以该函数图象与x轴总有两个公共点；

（2）当y＝0时，x2+2mx+m2﹣1＝0．解这个方程，得x1＝﹣m+1，x2＝﹣m﹣1．
函数图象与x轴的交点的坐标为（﹣m+1，0），（﹣m﹣1，0），
因为函数图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，且﹣m+1＞﹣m﹣1，
所以﹣m+1＞0且﹣m﹣1＜0，
解得﹣1＜m＜1．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
25．（8分）（2021•玄武区二模）小明在动物园游玩结束后，联系爸爸去餐厅就餐，如图①，小明从动物园骑车出发，匀速前往餐厅，稍后，小明爸爸从家开车出发，匀速前往餐厅；行驶一段时间，爸爸发现手机落在家里，立即按原路以原速返回（取手机的时间忽略不计），再立即以原速前往餐厅，设小明出发第xmin时，与餐厅的距离为y1km，小明爸爸与餐厅的距离为y2km．y1，y2与x之间的函数关系如图②所示．
（1）小明的速度是　0.2　km/min；
（2）求线段MN所表示的y2与x之间的函数表达式；
（3）设小明与爸爸之间的距离为Skm，在图③中画出S与x之间的函数图象．（标明必要的数据）

【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”可得答案；
（2）先求出点M的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）根据题意找到图象的折点即可．
【解答】解：（1）小明的速度是：6÷30＝0.2（km/min），
故答案为：0.2；
（2）6﹣0.2×18＝2.4，
∴点M（18，2.4），
设线段MN对应的函数表达式为y2＝kx+b（k，b为常数），
∵线段经过M（18，2.4）和点N（30，12），
∴18k+b=2.430k+b=12，
解得k=0.8b=-12，
∴线段MN对应的函数表达式为y2＝0.8x﹣12；
（3）如图所示：

【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
26．（10分）（2021•南京二模）某商品有线上、线下两种销售方式．
线上销售：单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件．另需支付其它成本5000元；
线下销售：单件利润500元．另需支付其它成本12500元．
注：净利润＝销售商品的利润﹣其他成本．
（1）线上销售100件的净利润为　45000　元；线下销售100件的净利润为　37500　元；
（2）若销售量为x件，当0＜x≤600时，⽐较两种销售方式的净利润；
（3）现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售多少件？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】(1)根据题意分别列式计算即可解答；
(2)分别求出两种销售方式的净利润的函数关系式，再分三种情况求出x的取值范围即可；
（3）设线上销售a件，售完后的净利润是m元，根据题意列出m关于a的关系式，根据二次函数的性质即可解答．
【解答】解：（1）线上销售100件的净利润为：（600﹣100）×100﹣5000＝45000（元），
线下销售100件的净利润为：500×100﹣12500＝37500（元），
故答案为：45000，37500；
（2）设销售量为x件时，线上销售的净利润为y1元，线下销售的净利润为y2元，
则y1＝x(600﹣x)﹣5000＝﹣x2+600x﹣5000，
y2＝500x﹣12500，
当y1＞y2时，
﹣x2+600x﹣5000＞500x﹣12500（0＜x≤600），
解得：0＜x＜150，
当y1＝y2时，
﹣x2+600x﹣5000＝500x﹣12500（0＜x≤600），
解得：x＝150，
当y1＜y2时，
﹣x2+600x﹣5000＜500x﹣12500（0＜x≤600），
解得：150＜x≤600，
∴当0＜x＜150时，线上销售的净利润大于线下销售的净利润，当x＝150时，线上销售的净利润等于线下销售的净利润，当150＜x≤600时，线上销售的净利润小于线下销售的净利润；
（3）设线上销售a件，售完后的净利润是m元，
m＝a(600﹣a)﹣5000+500(400﹣a)﹣12500＝﹣a2+100a+182500＝﹣(a﹣50)2+185000，
∵﹣1＜0，
∴当a＝50时，m有最大值185000，
400﹣50＝350（件），
答：售完后的最大净利润是185000元，此时线上销50件、线下销售350件．
【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，求出函数关系式是本题的关键．
27．（9分）（2021•鼓楼区二模）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】
（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件，他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例 　正方形和菱形　．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．
已知：四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'=ADA'D'，∠A＝∠A′．
求证：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是 　③　．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．

【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）利用正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似可以举出反例；
（2）先判断出△ABD∽△A'B'D，得出∠ABD＝∠A'B'D'，∠ADB＝∠A'D'B'，ABA'B'=BDB'D'=ADA'D'，进而得出△BCD∽△B'C'D'，得出∠C＝∠C'，∠CDB＝∠C'D'B'，∠CBD＝∠C'B'D'，即可得出结论；
（3）根据相似多边形的判定方法，一一判断即可；
（4）分两种情况考虑，两边是对边，两边是邻边，根据相似多边形的判定方法即可完成证明．
【解答】（1）解：∵正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似，
∴“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形，
故答案为：菱形和正方形；
（2）证明：分别连接BD，B'D'，

∵ABA'B'=ADA'D'，∠A＝∠A′，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠ABD＝∠A'B'D'，∠ADB＝∠A'D'B'，ABA'B'=BDB'D'=ADA'D'，
∴BDB'D'=BCB'C'=CDC'D'，
∴△BCD∽△B'C'D'，
∴∠C＝∠C'，∠CDB＝∠C'D'B'，∠CBD＝∠C'B'D'，
∴∠ABC＝∠A'B'C'，∠CDA＝∠C'D'A'，
∵ABA'B'=BDB'D'=BCB'C'=CDC'D'，∠A＝∠A'，∠C＝∠C′，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'；
（3）解：①如图，四边形ABCD∽四边形A′B'CD'，以A'为圆心，AD'为半径作圆交C′D'延长线于点D'′，

则AD″＝AD′，AD″AD=AD'AD=A'B'AB=B'C'BC，∠B′＝∠B，∠C′＝∠C，但四边形A'B'C′D″不与四边形ABCD相似；
②如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，以C′为圆心、C′D′为半径作圆交过点D′且和A′B′平行的直线相交于点D″．过D″作D'A'∥DA交A′B′于点A″，则C′D'＝C′D″，四边形A′D′D″A″为平行四边形．则A″D″AD=A'D'AD=B'C'BC=C″D″CD=C'D'CD，即A″D″AD=B'C'BC=C'D″CD，∠B′A″D″＝∠A′＝∠A，∠B′＝∠B，但四边形A″B'C′D″不与四边形ABCD相似；

③已知：如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'，∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCD＝∠B′C′D′．
求证：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
证明：连接BD，B′D′．

∵∠BCD＝∠B′C′D′，且BCB'C'=CDC'D'，
∴△BCD∽△B′C′D′，
∴∠CDB＝∠C′D′B′，∠C′B′D′＝∠CBD，BDB'D'=BCB'C'，
∵ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'，
∴BDB'D'=ABA'B'，
∵∠ABC＝∠A′B′C′，
∴∠ABD＝∠A′B′D′，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴ADA'D'=ABA'B'，∠A＝∠A′，∠ADB＝∠A′D′B′，
∴ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'=ADA'D'，∠ADC＝∠A′D′C′，∠A＝∠A′，∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCD＝∠B′C′D′，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似；
④如图，四边形ABCD∽四边形A'BCD'，以C为圆心，CA'为半径作圆交A'B′于点A″，在CA″左侧作△C'A″D'′≌△C′A'D′，则C″D″＝C'D'＝kCD，A″D″＝A′D'＝kAD，B′C′＝kBC，∠D″＝D，∠B′＝∠B，但四边形A″B′C′D″不与四边形ABCD相似．

故选：③；
（4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边．
若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”．若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：
已知：如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，ABA'B'=ADA'D'，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．
求证：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
证明：连接BD，B′D′．

∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，
∴∠D＝∠D′．
∵ABA'B'=ADA'D'，∠A＝∠A′，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴∠ADB＝∠A′D′B′，ABA'B'=BDB'D'，
∴∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝∠C′D′A′﹣∠A′D′B′＝∠C′D′B′，
∵∠C＝∠C′，
∴△BCD∽△B′C′D′，
∴BCB'C'=CDC'D'=BDB'D'=ADA'D'=ABA'B'，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
【点评】此题是相似形综合题，考查了相似多边形的判定方法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，属于中考压轴题．

考点卡片
1．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
2．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
5．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
6．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
7．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①a≥0； a≥0（双重非负性）．
②（a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③a2=|a|=a(a＞0)0(a=0)-a(a＜0)（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
ab=a•b（a≥0，b≥0）ab=ab（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
8．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①1a=aa⋅a=aa；②1a+b=a-b(a+b)(a-b)=a-ba-b．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：2-3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a可以是任意有理数．
9．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用x=ay=b的形式表示．
11．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
12．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
13．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
14．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
15．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
16．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
17．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
18．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
19．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
20．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x=-b2a时，y取得最小值4ac-b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x的增大而减小；x=-b2a时，y取得最大值4ac-b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac-b24a|个单位得到的．
21．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
22．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
23．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
24．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
26．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
27．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
28．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
29．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

30．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
31．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
32．相似形综合题
相似形综合题．
33．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
34．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
35．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量．　　③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
36．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
37．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．