2022年南京中考数学终极押题密卷1

这是一份2022年南京中考数学终极押题密卷1，共32页。试卷主要包含了2＝　 　等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）（2021•鼓楼区二模）比﹣3小2的数是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
2．（2分）（2021•秦淮区一模）已知a＜b，下列式子不成立的是（ ）
A．a+2021＜b+2021B．a﹣2021＜b﹣2021
C．﹣2021a＜﹣2021bD．a2021＜b2021
3．（2分）（2021•玄武区二模）下列平面图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）（2021•南京二模）若将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据（ ）
A．平均数不变B．中位数不变C．众数不变D．方差不变
5．（2分）（2021•鼓楼区二模）正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2=k2x的图象如图所示，交点A的坐标是（1，4），那么当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x＜1
C．﹣1＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1
6．（2分）（2021•秦淮区一模）将如图所示的纸片折叠、粘合成正方体形状．下列结论：
①粘合时，线段AB与线段FG重合；
②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对；
③在正方体中，AC∥DE；
④在正方体中，DE与EF的夹角是60°．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021•玄武区二模）写出一个负数，使这个数的绝对值大于2： ．
8．（2分）（2021•南京二模）习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上宣告现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫．用科学记数法表示98990000是 ．
9．（2分）（2021•鼓楼区二模）若8的平方根和立方根分别是a和b，则ab＝ ．
10．（2分）（2005•河源）计算：（a﹣b）2﹣（a+b）2＝ ．
11．（2分）（2021•玄武区二模）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，我国某物理研究所已研制出直径为0.5nm的碳纳米管，用科学记数法表示0.5nm是 m．
12．（2分）（2021•南京二模）分解因式x3﹣2x2+x的结果是 ．
13．（2分）（2021•鼓楼区二模）若一组数据2，3，4，5，x的方差是2，那么x的值为 ．
14．（2分）（2021•肇源县模拟）已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝ ．
15．（2分）（2021•玄武区二模）如图，直线PQ经过正五边形ABCDE的中心O，与AB、CD边分别交于点P、Q，点C1是点C关于直线PQ的对称点，连接CC1，AC1，则∠CC1A的度数为 °．
16．（2分）（2021•南京二模）已知一次函数y=12x+1的图象与y轴交于点A，将该函数图象绕点A旋转45°，旋转后的图象对应的函数关系式是 ．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2021•鼓楼区二模）解不等式组x−2(x−1)≥12x−13−5x+12＜1，并写出它的整数解．
18．（7分）（2021•秦淮区一模）解不等式组x−3(x−2)≥42x−13＞x−12，并写出它的整数解．
19．（7分）（2021•玄武区二模）一个家具厂有甲、乙两个木料供货商，随机抽取该家具厂向这两个供货商订货后等待交货天数的样本数据，样本容量都为10，并绘制统计图．
（1）扇形统计图中“9天”对应扇形的圆心角度数为 °；
（2）根据以上信息，填空：
（3）你认为家具厂从哪一个供货商进货比较好？请说明理由．
20．（8分）（2021•南京二模）某阅读网站现开通了A、B、C、D这4本书的免费下载权限，每位用户可免费下载其中2本阅读．
（1）求甲用户选择下载的2本书是A、B的概率；
（2）甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的概率是 ．
21．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知△ABC，AB＝AC．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图①中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC异侧；
（2）在图②中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC同侧．
22．（8分）（2021•秦淮区一模）“精准扶贫，暖心助力”．驻村书记通过某平台直播带货，帮助当地百姓脱贫致富．苹果成本价为每千克5元，销售价为每千克8元；蜜桔成本价为每千克6元，销售价为每千克10元．通过直播，两种水果共销售5000kg，苹果的销售量不少于2000kg．
（1）若销售的苹果和蜜桔的总成本为27400元，则销售苹果 kg，销售蜜桔 kg．
（2）当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？
23．（8分）（2021•玄武区二模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，DE＝BF，连接EF，∠EFB，∠FED的平分线分别交AB，CD边于点M，N，连接ME，NF．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，他猜想：当M为AB的中点时，四边形EMFN是矩形，请补全他的证明思路．
小明的证明思路：
连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形．
要证▱EMFN是矩形，只要证MN＝EF．
故只要证∠FEN＝∠MNE．
由已知条件 ，故只要证MN∥AD，
即证四边形AMND为平行四边形，易证 ，
故只要证AM＝DN，易证AM＝BM，故只要证 ，
易证△BMF≌△DNE，即可得证．
24．（8分）（2021•南京二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）当1≤x≤4时，y＜5，直接写出a的取值范围．
25．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．
（1）求二次函数的顶点坐标；
（2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．
①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；
②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 ．
26．（10分）（2021•秦淮区一模）【概念认识】
已知m是实数，若某个函数图象上存在点M（m，m），则称点M是该函数图象上的“固定点”．
【数学理解】
（1）一次函数y＝﹣2x+3的图象上的“固定点”的坐标是 ；
（2）求证：反比例函数y=kx（k＞0）的图象上存在2个“固定点”；
（3）将二次函数y＝x2+bx+1（b＜﹣2）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，求b的值．
27．（9分）（2021•玄武区二模）【问题情境】
如图①，小区A，B位于一条笔直的道路的同侧，为了方便A，B两个小区居民投放垃圾，现在l上建一个垃圾分类站C，使得C与A，B的距离之比为2：1．
【初步研究】
（1）在线段AB上作出点C，使CACB=2．
如图②，作法如下：
第一步：过点A作射线AM，
以A为圆心，任意长为半径画弧，交AM于点P1；
以P1为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P2；
以P2为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P3；
第二步：连接BP3，作∠AP2C＝∠AP3B，交AB于点C．则点C即为所求．
请证明所作的点C满足CACB=2．
【深入思考】
（2）如图③，点C在线段AB上，点D在直线AB外，且DADB=CACB=2．
求证：DC是∠ADB的平分线．
【问题解决】
（3）如图④，已知点A，B和直线l，点C在线段AB上，且CACB=2．用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（i）在直线AB上作出点E（异于点C），使EAEB=2；
（ii）在直线l上作出点F，使FAFB=2．
2022年南京中考数学终极押题密卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021•鼓楼区二模）比﹣3小2的数是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
【考点】有理数的减法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据题意列出减法式子，计算即可．
【解答】解：﹣3﹣2
＝﹣3+（﹣2）
＝﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
2．（2分）（2021•秦淮区一模）已知a＜b，下列式子不成立的是（ ）
A．a+2021＜b+2021B．a﹣2021＜b﹣2021
C．﹣2021a＜﹣2021bD．a2021＜b2021
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【分析】利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．
【解答】解：A、不等式两边同时加上2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
B、不等式两边同时减去2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
C、不等式两边同时乘以﹣2021，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意；
D、不等式两边同时除以2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．
3．（2分）（2021•玄武区二模）下列平面图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】几何体的展开图．
【专题】投影与视图．
【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．
【解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆柱的展开图，需要对圆柱有充分的理解；难度不大．
4．（2分）（2021•南京二模）若将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据（ ）
A．平均数不变B．中位数不变C．众数不变D．方差不变
【考点】众数；算术平均数；中位数．
【专题】统计的应用；运算能力；推理能力．
【分析】将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加3，方差不变，据此可得答案．
【解答】解：将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加3，方差不变，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义．
5．（2分）（2021•鼓楼区二模）正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2=k2x的图象如图所示，交点A的坐标是（1，4），那么当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x＜1
C．﹣1＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【分析】由正、反比例的对称性结合点A的坐标即可得出点B的坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式y1＞y2的解集．
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的坐标是（1，4），
∴交点B的坐标为（﹣1，﹣4）．
观察函数图象发现：
当﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是找出另一个交点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数的对称性找出两函数交点的坐标，再根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标解决不等式是关键．
6．（2分）（2021•秦淮区一模）将如图所示的纸片折叠、粘合成正方体形状．下列结论：
①粘合时，线段AB与线段FG重合；
②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对；
③在正方体中，AC∥DE；
④在正方体中，DE与EF的夹角是60°．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】几何图形；空间观念．
【分析】注意正方体的展开图，从相对面入手，分析及解答问题．
【解答】解：如图：
①粘合时，线段AB与线段FG重合，正确；
②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对，正确；
③在正方体中，AC、DE不在同一平面内，不平行，故不正确；
④在正方体中，DE与EF、DF分别为三个面的对角线，DE＝EF＝DF，△DEF是等边三角形，所以DE与EF的夹角是60°，正确．
其中所有正确结论的序号是①②④．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体的展开图．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021•玄武区二模）写出一个负数，使这个数的绝对值大于2： ﹣3 ．
【考点】正数和负数；绝对值．
【专题】实数；数感．
【分析】首先根据一个负数的绝对值大于2，可得这个负数小于﹣2，据此求解即可．
【解答】解：满足绝对值大于2的负数可以是﹣3．
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和运用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
8．（2分）（2021•南京二模）习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上宣告现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫．用科学记数法表示98990000是 9.899×107 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：98990000＝9.899×107．
故答案为：9.899×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（2分）（2021•鼓楼区二模）若8的平方根和立方根分别是a和b，则ab＝ ±42 ．
【考点】立方根；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据平方根和立方根的定义即可求解．
【解答】解：8的平方根：±8=±22．
8的立方根：38=2．
故ab=±42．
故答案为：±42．
【点评】本题考查立方根和平方根的知识，关键在于熟悉其概念．
10．（2分）（2005•河源）计算：（a﹣b）2﹣（a+b）2＝ ﹣4ab ．
【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式展开整理即可．
【解答】解：（a﹣b）2﹣（a+b）2，
＝a2﹣2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2，
＝﹣4ab．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．
11．（2分）（2021•玄武区二模）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，我国某物理研究所已研制出直径为0.5nm的碳纳米管，用科学记数法表示0.5nm是 5×10﹣10 m．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.5nm＝0.5×10﹣9m＝5×10﹣10m，
故答案为：5×10﹣10．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，表示时关键要确定a的值以及n的值．
12．（2分）（2021•南京二模）分解因式x3﹣2x2+x的结果是 x（x﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接提取公因式x，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：x3﹣2x2+x
＝x（x2﹣2x+1）
＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
13．（2分）（2021•鼓楼区二模）若一组数据2，3，4，5，x的方差是2，那么x的值为 1或6 ．
【考点】方差．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念；运算能力．
【分析】根据方差的定义列方程求解即可得出结果．
【解答】解：这组数据的平均数为：15（2+3+4+5+x）=14+x5，
方差是：S2=15[（14+x5−2）2+（14+x5−3）2+（14+x5−4）2+（14+x5−5）2+（14+x5−x）2]＝2，
整理得：x2﹣7x+6＝0，
解得：x1＝1，x2＝6，
∴x的值为1或6，
故答案为：1或6．
【点评】本题考查方差、平均数，解一元二次方程等知识，掌握方差的计算公式是是解题的关键．
14．（2分）（2021•肇源县模拟）已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝ 5 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出β2﹣2β＝1，α+β＝2，α•β＝﹣1，将代数式变形为（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β），整体代入即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴β2﹣2β＝1，α+β＝2，α•β＝﹣1，
∴α2+2β＝（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β）＝22﹣2×（﹣1）﹣1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
15．（2分）（2021•玄武区二模）如图，直线PQ经过正五边形ABCDE的中心O，与AB、CD边分别交于点P、Q，点C1是点C关于直线PQ的对称点，连接CC1，AC1，则∠CC1A的度数为 72 °．
【考点】正多边形和圆；轴对称的性质．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【分析】连接OA，OB，OC，OC1．证明OA＝OB＝OC＝OC1，推出A，B，C，C1四点共圆，即可解决问题．
【解答】解：连接OA，OB，OC，OC1．
∵ABCDE是正五边形，
∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝108°，
∵C，C1关于PQ对称，
∴OC＝OC1，
∴OA＝OB＝OC＝OC1，
∴A，B，C，C1四点共圆，
∴∠ABC+∠CC1A＝180°，
∴∠CC1A＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查正多边形与圆，四点共圆，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是证明OA＝OB＝OC＝OC1，推出A，B，C，C1四点共圆．
16．（2分）（2021•南京二模）已知一次函数y=12x+1的图象与y轴交于点A，将该函数图象绕点A旋转45°，旋转后的图象对应的函数关系式是 y=−13x+1或y＝3x+1 ．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】分两种情况讨论，通过三角形全等，求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得旋转后的图象对应的函数关系式．
【解答】解：如图1，∵一次函数y=12x+1的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，
∴A（0，1），B（﹣2，0），
当直线y=12x+1绕点A顺时针旋转45°后的图象为直线l，
过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，过B作BE⊥FD延长线于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△DBE（AAS），设AF＝a，则DE＝a，
∵点A（0，1），点B（﹣2，0），
∴DF＝BE＝OF＝1+a，EF＝ED+DF＝a+1+a＝OB＝2，
∴a=12，
∴DF＝OF＝1+a=32，
∴D（−32，32），
设直线l的解析式为y＝kx+1，则32=−32k+1，解得k=−13，
∴y=−13x+1；
如图2，直线y=12x+1绕点A逆时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，作DE⊥x轴于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△BDE（AAS），设DF＝b，则DE＝b，
∵点A（0，1），点B（﹣2，0），
∴AF＝BE＝1+b，BO＝BE+OE＝b+1+b＝2，
∴b=12，
∴D（−12，−12），
设直线l的解析式为y＝kx+1，则−12=−12k+1，解得k＝3，
∴y＝3x+1；
综上，旋转后的图象对应的函数关系式是y=−13x+1或y＝3x+1．
故答案为y=−13x+1或y＝3x+1．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，旋转的性质以及一次函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是利用45°角，作辅助线构造等腰直角三角形．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2021•鼓楼区二模）解不等式组x−2(x−1)≥12x−13−5x+12＜1，并写出它的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【解答】解：x−2(x−1)≥1①2x−13−5x+12＜1②，
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
则不等式组的整数解为0，1．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（7分）（2021•秦淮区一模）解不等式组x−3(x−2)≥42x−13＞x−12，并写出它的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用．
【分析】分别解出两个不等式的解集，再表示出其公共部分即可．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
解不等式2x−13＞x−12，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
所以不等式组的整数解为0、1．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
19．（7分）（2021•玄武区二模）一个家具厂有甲、乙两个木料供货商，随机抽取该家具厂向这两个供货商订货后等待交货天数的样本数据，样本容量都为10，并绘制统计图．
（1）扇形统计图中“9天”对应扇形的圆心角度数为 144 °；
（2）根据以上信息，填空：
（3）你认为家具厂从哪一个供货商进货比较好？请说明理由．
【考点】扇形统计图；中位数；众数；方差；总体、个体、样本、样本容量．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】（1）扇形统计图中，“9天”占整体的1﹣10%﹣20%﹣20%﹣10%＝40%，因此所在扇形的圆心角度数为360°的40%；
（2）由扇形统计图中数据求出各组的频数，根据平均，中位数，方差的意义可求解；
（3）根据中位数，众数，方差的意义可得出答案．
【解答】解：（1）360°×（1﹣10%﹣20%﹣20%﹣10%）＝360°×40%＝144°，
故答案为：144；
（2）甲供货商的平均数：110（10×10%×10+10×20%×6+10×20%×7+10×10%×8+10×40%×9）＝8，
甲供货商的中位数：（8+9）÷2＝8.5，
乙供货商的方差：110[（6﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2]＝1.2，
故答案为：8，8.5，1.2；
（3）家具厂从乙供货商进货比较好．
理由：由平均数可知，家具厂向甲、乙两供货商订货后等待天数相当，由甲的方差大于乙的方差可知，家具厂向乙供货商订货后等待天数比较稳定，所以家具厂从乙供货商进货比较好．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差、扇形统计图、频数分布表的意义，理解各个概念的意义是正确解答的前提．
20．（8分）（2021•南京二模）某阅读网站现开通了A、B、C、D这4本书的免费下载权限，每位用户可免费下载其中2本阅读．
（1）求甲用户选择下载的2本书是A、B的概率；
（2）甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的概率是 16 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】（1）画树状图，共有12种等可能的结果，甲用户选择下载的2本书是A、B的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有36种等可能的结果，甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的结果有6种，再由概率公式求解即可；
【解答】解：（1）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲用户选择下载的2本书是A、B的结果有2种，
∴甲用户选择下载的2本书是A、B的概率为212=16；
（2）甲用户选择下载的2本书共有6种结果：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC），分别记为：a、b、c、d、e、f，
乙户选择下载的2本书共有6种结果：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC），
画树状图如图：
共有36种等可能的结果，甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的结果有6种，
即AB、CD，AC、BD，AD、BC，BC、AD，BD、AC，CD，AB，
∴甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的概率为636=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
21．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知△ABC，AB＝AC．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图①中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC异侧；
（2）在图②中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC同侧．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；推理能力．
【分析】（1）分别以B，C为圆心，BA为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，PC即可．
（2）作△ABC的外接圆，在优弧BC上任意取一点P，连接BP，PC即可．
【解答】解：（1）如图1中，∠BPC即为所求作．
（2）如图2中，∠BPC即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（8分）（2021•秦淮区一模）“精准扶贫，暖心助力”．驻村书记通过某平台直播带货，帮助当地百姓脱贫致富．苹果成本价为每千克5元，销售价为每千克8元；蜜桔成本价为每千克6元，销售价为每千克10元．通过直播，两种水果共销售5000kg，苹果的销售量不少于2000kg．
（1）若销售的苹果和蜜桔的总成本为27400元，则销售苹果 2600 kg，销售蜜桔 2400 kg．
（2）当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）设销售苹果x千克，销售蜜桔（5000﹣x）千克，由题意列出关于x的一元一次方程，求解即可；
（2）根据总利润等于两种水果利润之和列出函数解析式，然后根据函数的性质，苹果的销售量不少于2000kg求出最大利润即可．
【解答】解：（1）设销售苹果x千克，销售蜜桔（5000﹣x）千克，
则列方程：5x+6（5000﹣x）＝27400，
解得：x＝2600（千克），
5000﹣2600＝2400（千克），
∴销售苹果2600千克，销售蜜桔2400千克，
故答案为：2600，2400；
（2）设销售苹果a千克，销售蜜桔（5000﹣a）千克，
则利润为：w＝（8﹣5）a+（10﹣6）（5000﹣a）＝﹣a+20000，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
又∵a≥2000，
∴当a＝2000时，利润最大，
最大利润为：w＝﹣2000+20000＝18000（元），
答：当苹果的销量为2000千克时，两种水果的总利润最大，最大利润是18000元．
【点评】本题考查一次函数和一元一次方程的应用，关键是根据题意列出函数解析式．
23．（8分）（2021•玄武区二模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，DE＝BF，连接EF，∠EFB，∠FED的平分线分别交AB，CD边于点M，N，连接ME，NF．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，他猜想：当M为AB的中点时，四边形EMFN是矩形，请补全他的证明思路．
小明的证明思路：
连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形．
要证▱EMFN是矩形，只要证MN＝EF．
故只要证∠FEN＝∠MNE．
由已知条件 EN平分∠FED ，故只要证MN∥AD，
即证四边形AMND为平行四边形，易证 AM∥DN ，
故只要证AM＝DN，易证AM＝BM，故只要证 BM＝DN ，
易证△BMF≌△DNE，即可得证．
【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，∠B＝∠D，求得∠FED＝∠EFB，根据角平分线定义得到∠FEN＝∠DEN=12∠FED，∠EFM＝∠BFM=12∠EFB，求得∠FEN＝∠EFM，∠DEN＝∠BFM，根据平行线的判定定理得到FM∥EN，根据全等三角形的性质FM＝EN，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形，根据矩形的判定定理和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠FED＝∠EFB，
∵EN，FM分别平分∠FED，∠EFB，
∴∠FEN＝∠DEN=12∠FED，∠EFM＝∠BFM=12∠EFB，
∴∠FEN＝∠EFM，∠DEN＝∠BFM，
∴FM∥EN，
在△BFM与△DEN中，
∠B=∠DBF=DE∠DEN=∠BFM，
∴△BFM≌△DEN（ASA），
∴FM＝EN，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形．
要证▱EMFN是矩形，只要证MN＝EF．
故只要证∠FEN＝∠MNE．
由已知条件EN平分∠FED，故只要证MN∥AD，
即证四边形AMND为平行四边形，易证AM∥DN，
故只要证AM＝DN，易证AM＝BM，故只要证BM＝DN，
易证△BMF≌△DNE，即可得证．
故答案为：EN平分∠FED；AM∥DN；BM＝DN．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
24．（8分）（2021•南京二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）当1≤x≤4时，y＜5，直接写出a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】（1）由△＝4a2（a≠0）大于0恒成立得出结论；
（2）现求出抛物线与x轴的交点，对称轴，然后在1≤x≤4范围内分a＞0和a＜0两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．
【解答】（1）证明：∵a≠0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4a）2﹣4a×3a＝16a2﹣12a2＝4a2＞0，
∴不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）令ax2﹣4ax+3a＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴抛物线交x轴于（1，0）和（3，0）两点，
对称轴x=−b2a=−−4a2a=2，
当a＞0时，
∵1≤x≤4，
∴当x＝4时，y最大＝16a﹣16a+3a＝3a＜5，
∴0＜a＜53，
当a＜0时，
∵对称轴x＝2，1≤x≤4，
∴抛物线在顶点处取得最大值，
y最大＝4a﹣8a+3a＝﹣a＜5，
∴a＞﹣5，
∴﹣5＜a＜0，
∴a的取值范围：0＜a＜53或﹣5＜a＜0．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，关键是x在某一范围内的函数最大值的确定．
25．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．
（1）求二次函数的顶点坐标；
（2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．
①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；
②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 0＜m≤4 ．
【考点】二次函数综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标即可．
（2）①根据A，B关于抛物线的对称轴对称，求出a的值，在求出﹣3≤x≤﹣1时，二次函数的最大值，最小值，可得结论．
②分四种情形：当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，当﹣4＜a≤﹣3时，当﹣3＜a≤﹣2时，当a＞﹣2时，分别求出满足条件的m的取值范围，可得结论．
【解答】解：（1）y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4
＝﹣m（x2+4x+4）+4
＝﹣m（x+2）2+4，
∴二次函数的顶点坐标为（﹣2，4）．
（2）①∵点A、B关于对称轴对称a+a+22=−2，
∴a＝﹣3，
当m＝1时，y＝﹣x2﹣4x﹣4+4＝﹣x2﹣4x，
则当x＝﹣3（或x＝﹣1）时，y最小值＝3，
当x＝﹣2时，y最大值＝4，
∴h＝1．
②结论：0＜m≤4，理由如下：
当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，
h＝yb﹣ya
＝﹣m（a+2+2）2+4﹣[﹣m（a+2）2+4]
＝﹣4m（a+3），
∵h＝4，
∴4＝﹣4m（a+3），
∴a=−1m−3≤﹣4，
∵m＞0，
解得m≤1，
当﹣4＜a≤﹣3时，
h＝4﹣ya
＝4﹣[﹣m（a+2）2+4]
＝m（a+2）2，
∴可得a=−2m−2，
∴﹣4＜−2m−2≤﹣3，
解得1＜m≤4，
当﹣3＜a≤﹣2时，
h＝4﹣yb
＝4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]
＝m（a+4）2，
可得a=2m−4，
∴﹣3＜2m−4≤﹣2，
不等式无解．
当a＞﹣2时，
h＝ya﹣yb
＝﹣m（a+2）2+4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]
＝4m（a+3），
可得a=1m−3，
∴1m−3＞﹣2，
∴m＜1，
综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤4．
故答案为：0＜m≤4．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题．
26．（10分）（2021•秦淮区一模）【概念认识】
已知m是实数，若某个函数图象上存在点M（m，m），则称点M是该函数图象上的“固定点”．
【数学理解】
（1）一次函数y＝﹣2x+3的图象上的“固定点”的坐标是 （1，1） ；
（2）求证：反比例函数y=kx（k＞0）的图象上存在2个“固定点”；
（3）将二次函数y＝x2+bx+1（b＜﹣2）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，求b的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】函数思想；应用意识．
【分析】（1）令固定点为（m，m），把（m，m）代入一次函数中，可求得m的值，即可得出点坐标；
（2）令y＝x可得反比例函数解析式x2＝k，解方程得两个x值，即对应2个y值，即得两个固定点；
（3）画出二次函数大致图象，设固定点为（m，m）代入y＝x2+bx+1中，得到m2+（b﹣1）m+1＝0，方程Δ＞0，可得有2个固定点，翻折后图形关于x轴对称，即y＝﹣（x2+bx+1），再有一个固定点便可得3个固定点．即把（m，m）代入y＝﹣（x2+bx+1）中得到关于m的一元二次方程，只需Δ＝0即可求出b的值．
【解答】（1）解：设固定点为（m，m）把（m，m）代入一次函数y＝﹣2x+3中，
得m＝﹣2m+3，
解得m＝1，
∴固定点为（1，1）；
（2）证明：在y=kx（k＞0）中，令y＝x，可得x2＝k．
解得x1=k，x2=−k．
将x1=k代入y=kx中，得y1=k．
将x2=−k代入y=kx中，得y2=−k．
因此反比例函数y=kx（k＞0）的图象上存在2个“固定点”，分别为（k，k）和（−k，−k）．
（3）图象大致如下：
设固定点为（m，m），将（m，m）代入y＝x2+bx+1，
得m2+bm+1＝m，
即m2+（b﹣1）m+1＝0，
△＝（b﹣1）2﹣4＞0，
即原图象（翻折前）有两个“固定点”，
翻折后图形为：y＝﹣（x2+bx+1），
将（m，m）代入：m＝﹣（m2+bm+1），
即﹣m2﹣（b+1）m﹣1＝0，
依题意，只需该方程有一个根即可（对应一个“固定点”，与前两个合成三个），
∴△＝（b+1）2﹣4＝0，
即（b+1）2＝4，
∴b+1＝±4=±2，
①当b+1＝2时，b＝1（不合题意，b＜﹣2舍去），
②当b+1＝﹣2时，b＝﹣3，
综上，b＝﹣3．
【点评】本题主要考查函数图象的性质及综合应用能力，解本题关键要熟练掌握二次函数的性质，代入法求值，解一元二次方程及判断一元二次方程根的情况．
27．（9分）（2021•玄武区二模）【问题情境】
如图①，小区A，B位于一条笔直的道路的同侧，为了方便A，B两个小区居民投放垃圾，现在l上建一个垃圾分类站C，使得C与A，B的距离之比为2：1．
【初步研究】
（1）在线段AB上作出点C，使CACB=2．
如图②，作法如下：
第一步：过点A作射线AM，
以A为圆心，任意长为半径画弧，交AM于点P1；
以P1为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P2；
以P2为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P3；
第二步：连接BP3，作∠AP2C＝∠AP3B，交AB于点C．则点C即为所求．
请证明所作的点C满足CACB=2．
【深入思考】
（2）如图③，点C在线段AB上，点D在直线AB外，且DADB=CACB=2．
求证：DC是∠ADB的平分线．
【问题解决】
（3）如图④，已知点A，B和直线l，点C在线段AB上，且CACB=2．用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（i）在直线AB上作出点E（异于点C），使EAEB=2；
（ii）在直线l上作出点F，使FAFB=2．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）如图③中，过点B作BM∥CD交AD的延长线于M．证明DM＝DB，推出∠M＝∠DBM，由∠ADC＝∠M，∠CDB＝∠DBM，可得∠ADC＝∠CDB．
（3）作法：①作点A关于点B的对称点E．②以CE为直径作圆交直线l于F1，F2．点F1，F2即为所求作．利用（2）中，结论证明∠CFE＝90°，可得结论．
【解答】（1）解：如图②中，
由作法可知，AP2＝2P2P3，∠AP3B＝∠AP2C，
∴CP2∥BP3，
∴ACCB=AP2P2P3=2．
（2）证明：如图③中，过点B作BM∥CD交AD的延长线于M．
∵CD∥BM，
∴ADDM=ACCB=2，
∵ADDB=2，
∴ADDB=ADDM，
∴DM＝DB，
∴∠M＝∠DBM，
∵∠ADC＝∠M，∠CDB＝∠DBM，
∴∠ADC＝∠CDB，
∴CD平分∠ADB．
（3）（i）如图，点E即为所求．
（ii）如图，点F1，F2即为所求作．
作法：①作点A关于点B的对称点E．
②以CE为直径作圆交直线l于F1，F2．
点F1，F2即为所求作．
理由：若F满足FAFB=2，则FAFB=CACB，FAFB=EAEB，
由（2）可知，FC平分∠AFB，
类似地，FE平分∠AFB邻补角，
∴∠CFE＝90°，
即点F在以CE为直径的圆上．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考压轴题供货商
平均数/天
中位数/天
众数/天
方差/天2
甲
①
②
9
1.8
乙
8
8
8
③
供货商
平均数/天
中位数/天
众数/天
方差/天2
甲
① 8
② 8.5
9
1.8
乙
8
8
8
③ 1.2