2022年天津中考数学终极押题密卷(word版含答案)

这是一份2022年天津中考数学终极押题密卷(word版含答案)，共40页。
2022年天津中考数学终极押题密卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2022•河西区一模）计算8+（2﹣5）的结果等于（　　）
A．﹣8 B．11 C．5 D．2
2．（3分）（2005•丽水）tan45°的值等于（　　）
A．12 B．22 C．32 D．1
3．（3分）（2021•惠民县二模）截止北京时间2021年3月5日，中国电影《你好，李焕英》票房收入已经突破48亿元．将4800000000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.48×1010 B．4.8×109 C．4.8×108 D．48×108
4．（3分）（2022•南开区一模）下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022•河西区一模）如图，是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）（2021•东丽区二模）估算6的值是在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．（3分）（2021•河北区一模）方程组x-y=12x+y=5的解是（　　）
A．x=2y=1 B．x=-1y=2 C．x=-2y=-1 D．x=2y=-1
8．（3分）（2022•南开区一模）方程组x-2y=12x-y=-4的解是（　　）
A．x=3y=2 B．x=3y=-2 C．x=-3y=-2 D．x=-3y=2
9．（3分）（2019•天津）方程组3x+2y=76x-2y=11的解是（　　）
A．x=-1y=5 B．x=1y=2 C．x=3y=-1 D．x=2y=12
10．（3分）（2021•东丽区二模）若点A（x1，﹣5），B（x2，﹣3），C（x3，3）都在反比例函数y=15x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3
11．（3分）（2021•河北区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝8，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是（　　）

A．2 B．41-4 C．3 D．313-4
12．（3分）（2022•南开区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），对称轴在y轴右侧，则下列结论：①a＜0；②抛物线经过（1，0）；③方程ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根；④﹣3＜a+b＜3．正确的有（　　）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2022•河西区一模）计算（5x3y）2的结果等于 　 　．
14．（3分）（2021•东丽区二模）计算（y+2）（y﹣2）的结果等于　 　．
15．（3分）（2021•河北区一模）从一副没有“大小王”的扑克牌中随机地抽取一张，点数为“5”的概率是　 　．
16．（3分）（2022•南开区一模）已知一次函数y＝﹣x﹣2的图象向上平移b个单位后经过第一象限，请你写出一个符合条件的b的值为 　 　．
17．（3分）（2022•河西区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E分别是边CA，CB的中点，∠CAB的平分线与DE交于点F，则CF的长为 　 　．

18．（3分）（2021•东丽区二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）AB的长等于　 　；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在△ABC的内部画出点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：1：3，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．

三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2021•东西湖区模拟）解不等式组x+3＞2①2x+1≤5②．
请结合解题过程，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．

20．（8分）（2022•南开区一模）某校组织学生参加“希望工程”捐书活动．为了解学生所捐书本数情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为　 　，图①中m的值为　 　；
（Ⅱ）求统计的这组学生所捐书本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这组学生所捐书本数的样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校所捐书本数不低于3本的学生人数．

21．（10分）（2017•天津）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；
（2）如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．

22．（10分）（2021•东丽区二模）A，B两市相距150km，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，tanα＝1.627，tanβ＝1.373．已知风景区是以C为圆心，45km为半径的圆形区域．为了开发旅游，有关部门设计、修建连接A，B两市的高速公路，问高速公路AB是否穿过风景区，请说明理由．

23．（10分）（2021•河北区一模）已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上，下面的图象反映的过程是：小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家．图中x表示时间（单位是分钟），y表示到小明家的距离（单位是千米）．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
小明离开家的时间/min
5
10
15
30
45
小明离家的距离/km
13
　 　
　 　
1
　 　
（Ⅱ）填空：
（i）小明在文化宫停留了 　 　min；
（ii）小明从家到体育场的速度为 　 　km/min；
（iii）小明从文化宫回家的平均速度为 　 　km/min；
（iv）当小明距家的距离为0.6km时，他离开家的时间为 　 　min．
（Ⅲ）当0≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数解析式．

24．（10分）（2022•南开区一模）将一个矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点A（5，0），C（0，2），点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合）．
（Ⅰ）如图①，当∠COP＝60°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）沿OP折叠该纸片，点C的对应点为C'，设CP＝t．
①如图②，若点C'在第四象限，PC'与OA交于点D，试用含有t的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后重叠部分的面积为S，当34≤S≤136时，直接写出t的取值范围．

25．（10分）（2022•河西区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，a），若DE＝2DC，求a的值；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点，且取MN的中点记为P．当a为何值时，FP+DP的最小值为17，并求此时点M，N的坐标．

2022年天津中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2022•河西区一模）计算8+（2﹣5）的结果等于（　　）
A．﹣8 B．11 C．5 D．2
【考点】有理数的加减混合运算．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】根据有理数的计算方法计算即可．
【解答】解：8+（2﹣5）＝8﹣3＝5，
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的方法是解题的关键．
2．（3分）（2005•丽水）tan45°的值等于（　　）
A．12 B．22 C．32 D．1
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：tan45°＝1．
故选：D．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°=12，cos30°=32，tan30°=33，cot30°=3；
sin45°=22，cos45°=22，tan45°＝1，cot45°＝1；
sin60°=32，cos60°=12，tan60°=3，cot60°=33．
3．（3分）（2021•惠民县二模）截止北京时间2021年3月5日，中国电影《你好，李焕英》票房收入已经突破48亿元．将4800000000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.48×1010 B．4.8×109 C．4.8×108 D．48×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4800000000＝4.8×109．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2022•南开区一模）下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的定义，能熟记中心对称图形的定义是解题关键．
5．（3分）（2022•河西区一模）如图，是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看上下各一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
6．（3分）（2021•东丽区二模）估算6的值是在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【考点】估算无理数的大小．
【分析】直接利用估算无理数的方法得出4＜6＜9，进而得出答案．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴6的值是在2和3之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估计出6最接近的有理数是解题关键．
7．（3分）（2021•河北区一模）方程组x-y=12x+y=5的解是（　　）
A．x=2y=1 B．x=-1y=2 C．x=-2y=-1 D．x=2y=-1
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：x-y=1①2x+y=5②，
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
则方程组的解为x=2y=1，
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．（3分）（2022•南开区一模）方程组x-2y=12x-y=-4的解是（　　）
A．x=3y=2 B．x=3y=-2 C．x=-3y=-2 D．x=-3y=2
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组．
【解答】解：x-2y=1①2x-y=-4②，
①×2，得：2x﹣4y＝2③，
②﹣③，得：3y＝﹣6，
解得：y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①，可得：x﹣2×（﹣2）＝1，
解得：x＝﹣3，
∴方程组的解为x=-3y=-2，
故选：C．
【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握消元法（加减消元法和代入消元法）解二元一次方程组的步骤是解题关键．
9．（3分）（2019•天津）方程组3x+2y=76x-2y=11的解是（　　）
A．x=-1y=5 B．x=1y=2 C．x=3y=-1 D．x=2y=12
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用．
【分析】运用加减消元法解答即可．
【解答】解：3x+2y=7①6x-2y=11②，
①+②得，x＝2，
把x＝2代入①得，6+2y＝7，解得y=12，
故原方程组的解为：x=2y=12．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的基本解法是解答本题的关键．
10．（3分）（2021•东丽区二模）若点A（x1，﹣5），B（x2，﹣3），C（x3，3）都在反比例函数y=15x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【分析】将点A（x1，﹣5），B（x2，﹣3），C（x3，3）分别代入反比例函数y=15x，求得x1，x2，x3，的值后，再来比较一下它们的大小．
【解答】解：∵点A（x1，﹣5），B（x2，﹣3），C（x3，3）都在反比例函数y=15x的图象上，
∴x1＝3，x2＝﹣5，x3＝5，
∴x2＜x1＜x3，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．
11．（3分）（2021•河北区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝8，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是（　　）

A．2 B．41-4 C．3 D．313-4
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】作图题；几何变换；应用意识．
【分析】由题知点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，连接AD交圆于点F'，此时AF'值最小，求出AF值即可．
【解答】解：由题知CD＝DF＝DB，
∴点F在以D为圆心，以BD为半径的圆的一段弧上，作⊙D，连接AD交圆于F'，此时AF值最小，
∵AC＝5，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴CD=12BC=12×8＝4，
AD=AC2+CD2=52+42=41，
∴AF'＝AD﹣DF'＝AD﹣CD=41-4，
即AF最小值为41-4，
故选：B．

【点评】本题主要考查图形的翻折变换，勾股定理等知识，构造圆找到AF最小时的位置是解题的关键．
12．（3分）（2022•南开区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），对称轴在y轴右侧，则下列结论：①a＜0；②抛物线经过（1，0）；③方程ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根；④﹣3＜a+b＜3．正确的有（　　）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．③④
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】①由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），对称轴在y轴右侧，即可判断开口向下，结论①正确；
②由抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧，即可得出当x＝1时y＞0，结论①错误；
②过点（0，1）作x轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根，结论③正确；
④由当x＝1时y＞0，可得出a+b＞﹣c，由抛物线与y轴交于点（0，3）可得出c＝3，进而即可得出a+b＞﹣3，由抛物线过点（﹣1，0）可得出a+b＝2a+c，结合a＜0、c＝3可得出a+b＜3，综上可得出﹣3＜a+b＜3，结论④正确．此题得解．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），对称轴在y轴右侧，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，结论①正确；
②∵抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧，
∴当x＝1时y＞0，结论②错误；
③∵顶点的纵坐标大于3，
∴过点（0，1）作x轴的平行线与抛物线有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根，结论③正确；
④∵当x＝1时y＝a+b+c＞0，
∴a+b＞﹣c．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（0，3），
∴c＝3，
∴a+b＞﹣3．
∵当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∴a+b＝2a+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴a+b＜c＝3，
∴﹣3＜a+b＜3，结论④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2022•河西区一模）计算（5x3y）2的结果等于 　25x6y2　．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则求出即可．
【解答】解：原式＝52x3×2y1×2＝25x6y2．
故答案为：25x6y2．
【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方法则，能灵活运用积的乘方和幂的乘方法则进行计算是解此题的关键，注意：（am）n＝amn，（ab）n＝anbn．
14．（3分）（2021•东丽区二模）计算（y+2）（y﹣2）的结果等于　y2﹣4　．
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据平方差公式求解即可．
【解答】解：（y+2）（y﹣2）
＝y2﹣4．
故答案为：y2﹣4．
【点评】此题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．
15．（3分）（2021•河北区一模）从一副没有“大小王”的扑克牌中随机地抽取一张，点数为“5”的概率是　113　．
【考点】概率公式．
【分析】随机地抽取一张，总共有52种情况，其中点数是5有四种情况．根据概率公式进行求解．
【解答】解：点数为“5”的概率是452=113．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．
16．（3分）（2022•南开区一模）已知一次函数y＝﹣x﹣2的图象向上平移b个单位后经过第一象限，请你写出一个符合条件的b的值为 　b＝5（答案不唯一）　．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式，由题意得到关于b的不等式，解不等式即可求得b的取值范围．
【解答】解：一次函数y＝﹣x﹣2的图象向上平移b个单位后得到y＝﹣x﹣2+b，
∵经过第一象限，
∴﹣2+b＞0，
∴b＞2，
故b＝5（答案不唯一），
故答案为：b＝5（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，根据题意得到b的不等式是解题的关键．
17．（3分）（2022•河西区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E分别是边CA，CB的中点，∠CAB的平分线与DE交于点F，则CF的长为 　655　．

【考点】三角形中位线定理；角平分线的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】延长CF交AB于G，过G作GH⊥BC于H，根据勾股定理求出AB，根据三角形的中位线定理得到DE∥AB，AD＝CD，根据直角三角形的性质得到∠AFC＝90°，根据全等三角形的性质得到AG＝AC，CF＝GF，求出BG，根据相似三角形的性质和勾股定理计算即可．
【解答】解：延长CF交AB于G，过G作GH⊥BC于H，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=10，
∵点D，E分别是边CA，CB的中点，
∴DE∥AB，AD＝CD，
∴∠AFD＝∠FAB，
∵AF是∠CAB的平分线，
∴∠CAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∴AD＝DF＝CD，
∴∠AFC＝90°，
在△ACF和△AGF中，
∠CAF=∠GAFAF=AF∠AFC=∠AFG，
∴△ACF≌△AGF（ASA），
∴AG＝AC＝6，CF＝GF，
∴BG＝4，
∵∠C＝90°，GH⊥BC，
∴AC∥GH，
∴△BGH∽△BAC，
∴BGAB=GHAC=BHHC，即410=GH6=BH8，
解得：GH=125，BH=165，
∴CH＝BC﹣BH=245，
∴CG=GH2+CH2=1255，
∴CF=12CG=655，
故答案为：655．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．（3分）（2021•东丽区二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）AB的长等于　17　；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在△ABC的内部画出点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：1：3，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　AC与网格相交得到D，E，取格点F，连接FB，并延长，与网格相交得M，N，G，连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P　．

【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理得出AB即可；
（Ⅱ）根据平行四边形的面积公式和三角形面积公式解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）AB=42+12=17，

故答案为：17；
（Ⅱ）如图，AC与网格相交得到D，E，取格点F，连接FB，并延长，与网格相交得M，N，G，连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，则点P即为所求，
由图可知，AE：CD：DE＝1：1：3，且AC∥FN，
∴平行四边形ABME，CDNB，DEMG的高相等，
∴S▱ABME：S▱CDNB：S▱DEMG＝1：1：3，
∵S△PAB=12S▱ABME，S△PBC=12S▱CDNB，S△PCA=S△PNG=12S△DGN=12S▱DEMG，
∴S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：1：3．
故答案为：AC与网格相交得到D，E，取格点F，连接FB，并延长，与网格相交得M，N，G，连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P．
【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理和面积公式解答．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2021•东西湖区模拟）解不等式组x+3＞2①2x+1≤5②．
请结合解题过程，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　x＞﹣1　；
（Ⅱ）解不等式②，得　x≤2　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣1＜x≤2　．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x＞﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如下：

（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故答案为：x＞﹣1，x≤2，﹣1＜x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（8分）（2022•南开区一模）某校组织学生参加“希望工程”捐书活动．为了解学生所捐书本数情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为　50　，图①中m的值为　16　；
（Ⅱ）求统计的这组学生所捐书本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这组学生所捐书本数的样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校所捐书本数不低于3本的学生人数．

【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】（1）计算各组频数的和即可求出本次接受调查的学生人数，根据各组频率之和等于单位“1”即可确定m的值；
（2）根据平均数、众数、中位数的意义和计算方法，分别求出结果即可；
（3）用该校学生总数乘以样本中所捐书本数不低于3本的学生所占的百分比，即可求出答案．
【解答】解：（1）5+8+12+15+10＝50（人），
1﹣（10%+24%+30%+20%）＝16%，即m＝16，
故答案为：50，16；

（2）1×10%+2×16%+3×24%+4×30%+5×20%＝3.34（本），
捐4本的出现次数最多，因此众数是4本，
将这50个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数分别是3，4，因此中位数是3.5本，
答：这组数据的平均数是3.34本，众数是4本，中位数是3.5本；

（3）1200×（1﹣10%﹣16%）＝888（人），
答：该校所捐书本数不低于3本的学生大约有888人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，掌握两个统计图中数量之间的关系，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提．
21．（10分）（2017•天津）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；
（2）如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．

【考点】切线的性质．
【分析】（1）根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得∠TAB＝90°，根据三角形内角和得∠T的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数；
（2）如图②，连接AD，根据等边对等角得：∠BCE＝∠BEC＝65°，利用同圆的半径相等知：OA＝OD，同理∠ODA＝∠OAD＝65°，由此可得结论．
【解答】解：（1）如图①，连接AC，
∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，
∵∠ABT＝50°，
∴∠T＝90°﹣∠ABT＝40°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝40°，
∴∠CDB＝∠CAB＝40°；

（2）如图②，连接AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，
∴∠BCE＝∠BEC＝65°，
∴∠BAD＝∠BCD＝65°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝65°，
∵∠ADC＝∠ABC＝50°，
∴∠CDO＝∠ODA﹣∠ADC＝65°﹣50°＝15°．


【点评】本题考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．
22．（10分）（2021•东丽区二模）A，B两市相距150km，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，tanα＝1.627，tanβ＝1.373．已知风景区是以C为圆心，45km为半径的圆形区域．为了开发旅游，有关部门设计、修建连接A，B两市的高速公路，问高速公路AB是否穿过风景区，请说明理由．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】首先过C作CD⊥AB于D，由题意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，即可得在Rt△ACD中，AD＝CD•tanα，在Rt△BCD中，BD＝CD•tanβ，继而可得CD•tanα+CD•tanβ＝AB，则可求得CD的长，即可知连接AB高速公路是否穿过风景区．
【解答】解：AB不穿过风景区．理由如下：
如图，过C作CD⊥AB于点D，
根据题意得，∠ACD＝α，∠BCD＝β，
在Rt△ACD中，tanα=ADCD，即AD＝CD•tanα，
在Rt△BCD中，tanβ=BDCD，即BD＝CD•tanβ，
∵AD+DB＝AB，
∴CD•tanα+CD•tanβ＝AB，
∴CD=ABtanα+tanβ=1501.627+1.373=1503=50（km）．
∵CD＝50＞45，
∴高速公路AB不穿过风景区．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
23．（10分）（2021•河北区一模）已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上，下面的图象反映的过程是：小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家．图中x表示时间（单位是分钟），y表示到小明家的距离（单位是千米）．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
小明离开家的时间/min
5
10
15
30
45
小明离家的距离/km
13
　23　
　1　
1
　0.5　
（Ⅱ）填空：
（i）小明在文化宫停留了 　25　min；
（ii）小明从家到体育场的速度为 　115　km/min；
（iii）小明从文化宫回家的平均速度为 　160　km/min；
（iv）当小明距家的距离为0.6km时，他离开家的时间为 　9或42　min．
（Ⅲ）当0≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数解析式．

【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（Ⅰ）由函数图象中的数据进行计算，即可求解；
（Ⅱ）由函数图象中的数据及图中体现的数量关系，进行分析计算即可求解；
（Ⅲ）．
【解答】解：（Ⅰ）由函数图象得：
当0≤x≤15时，y=115x，
∴当x＝10时，y=23；当x＝15时，y＝1；
当15＜x≤30时，y＝1，
当30＜x≤45时，y＝kx+b，将（30，1）、（45，0.5）代入得：k=-130，b＝2，
∴当30＜x≤45时，y=-130x+2，
当45＜x≤70时，y＝0.5，
当x＝45时，y＝0.5；
当30＜x≤45时，y＝kx+b，将（70，0.5）、（100，0）代入得：k=-160，b=53，
∴当70＜x≤100时，y=-160x+53，
故答案为：23；1；0.5；
（Ⅱ）由函数图象结合题意得：
当0≤x≤15时，小明早上从家跑步去体育场，
15＜x≤30时，在体育场锻炼，
30＜x≤45时，从体育场走到文化宫，
45＜x≤70时，文化宫看书画展览，
70＜x≤100时，散步回家．
∴（i）小明在文化宫停留了70﹣45＝25min；
（ii）小明从家到体育场的速度为115km/min；
（iii）小明从文化宫回家的平均速度为0.5÷（100﹣70）=160km/min；
（iv）当y＝0.6时，0.6=115x或0.6=-130x+2，
解得x＝9或x＝42，
∴当小明距家的距离为0.6km时，他离开家的时间为9或42 min．
故答案为：25；115；160；9或42；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得：当0≤x≤45时，y关于x的函数解析式为y=115x(0≤x≤15)1(15＜x≤30)-130x+2(30＜x≤45)．

【点评】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
24．（10分）（2022•南开区一模）将一个矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点A（5，0），C（0，2），点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合）．
（Ⅰ）如图①，当∠COP＝60°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）沿OP折叠该纸片，点C的对应点为C'，设CP＝t．
①如图②，若点C'在第四象限，PC'与OA交于点D，试用含有t的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后重叠部分的面积为S，当34≤S≤136时，直接写出t的取值范围．

【考点】四边形综合题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形．
【分析】（Ⅰ）解Rt△POC求得结果；
（Ⅱ）①先证明折叠部分的三角形是等腰三角形，设OD＝PD＝x，在Rt△C′OD中用勾股定理列出方程，表示出OD，进而得出结论；
②当0＜t≤2时，重合部分面积是△POC的面积，底是t，高是OC，面积随t的增大而增大，根据面积的最大和最小，求得对应的t的值，当2＜t≤5时，随着t的增大，面积仍是增大的，故根据①中的面积等于136，求得对应的t的值，进而求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）∵四边形AOCB是矩形，
∴∠BCO＝90°，
∴PC＝OC•tan∠CPO＝2•tan60°＝23，
∴P（23，2）；
（Ⅱ）①∵四边形AOCB是矩形，
∴OA∥BC，
∴∠CPO＝∠POD，
由折叠可得，
∠CPO＝∠DPO，PC′＝PC＝t，OC′＝OC＝2，
∴∠POD＝∠DPO，
∴OD＝PD，
设OD＝PD＝x，则DC′＝t﹣x，
在Rt△DOC′中，由勾股定理得，
OD2﹣C′D2＝C′O2，
∴x2﹣（t﹣x）2＝4，
∴x=t2+42t，
∴重合部分S△POD=12OD⋅OC=12⋅t2+42t×2=t2+42t（2＜t＜5）；
②当0＜t≤2时，
当12×2t=34时，
∴t=34，
当12×2t=136时，
t=136（舍去），
∴当34≤t≤2时，34≤S≤136，
当2＜t＜5时，
t2+42t=136，
∴t1=43（舍去），t2＝3，
∵t2+42t=12(t+2t)，
当t＞2时，t2+42t随t的值增大而增大，
∴2≤t≤3，
综上所述34≤t≤3，
【点评】本题考查了矩形性质，等腰三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数等知识，解决问题的关键是弄清函数的变化趋势．
25．（10分）（2022•河西区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，a），若DE＝2DC，求a的值；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点，且取MN的中点记为P．当a为何值时，FP+DP的最小值为17，并求此时点M，N的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（Ⅰ）根据抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），可得：c＝﹣1，由a＝1，可得抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，故抛物线的顶点坐标为D（1，﹣2）；
（Ⅱ）由DE＝2DC得：DE2＝4CD2，如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，运用勾股定理可得：DE2＝4a2+4a+2，DC2＝a2+1，建立方程求解即可得出答案；
（Ⅲ）当满足条件的点P落在F′D′上时，FP+DP最小，此时，FP+DP＝FD′=17．过点D′作D′K⊥y轴于点K，利用勾股定理求出a，再运用待定系数法求得直线FD′的解析式为y＝﹣4x+52，进而求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
故抛物线的顶点坐标为D（1，﹣2）；
（Ⅱ）当a＞0时，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∴y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
∴抛物线顶点D（1，﹣a﹣1），对称轴为直线x＝1，
由DE＝2DC得：DE2＝4CD2，
如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，
在Rt△DEH中，DH＝1，EH＝a﹣（﹣a﹣1）＝2a+1，
∴DE2＝EH2+DH2＝（2a+1）2+12＝4a2+4a+2，
在Rt△DCH中，DH＝1，CH＝﹣1﹣（﹣a﹣1）＝a，
∴DC2＝CH2+DH2＝a2+12＝a2+1，
∴4a2+4a+2＝4（a2+1），
解得：a=12；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，由题意MN的中点P（m+32，-12），
如图2，作点D（1，﹣a﹣1）关于直线y=-12的对称点D′（1，a），
当满足条件的点P落在线段FD′上时，FP+DP最小，
此时，FP+DP＝FD′=17．
过点D′作D′K⊥y轴于点K，
在Rt△FD′K中，D′K＝1，FK＝﹣a+1﹣a＝1﹣2a，
∴FD′2＝FK2+D′K2＝（1﹣2a）2+1，
又FD′2＝17，
∴（1﹣2a）2+1＝17，
解得：a1=-32，a2=52（舍去），
当a=-32时，1﹣a＝1﹣（-32）=52，
∴点F的坐标为（0，52），点D′的坐标为（1，-32），
设直线FD′的解析式为y＝kx+b，
则b=52k+b=-32，
解得：k=-4b=52，
∴直线FD′的解析式为y＝﹣4x+52，
当y=-12时，﹣4x+52=-12，
解得：x=34，
∴m=-34，m+3=-34+3=94，
∴当a=-32时，FP+DP的最小值为17，此时点M的坐标为（-34，0），点N的坐标为（94，﹣1）．


【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

考点卡片
1．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
4．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
5．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
6．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用x=ay=b的形式表示．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
9．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
10．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
11．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
13．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
15．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=-b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
16．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
17．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
18．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=12BC．

21．四边形综合题
四边形综合题．
22．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
23．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
24．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
25．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=12； cos30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cos45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cos60°=12； tan60°=3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
26．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
27．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
28．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
29．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
30．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
31．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
32．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
33．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．