2022年南京中考数学终极押题密卷2

这是一份2022年南京中考数学终极押题密卷2，共36页。试卷主要包含了计算，+1的结果是　 　等内容，欢迎下载使用。
2022年南京中考数学终极押题密卷2
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021•秦淮区一模）4的算术平方根是（　　）
A．±4 B．4 C．±2 D．2
2．（2分）（2021•玄武区二模）计算（﹣a）3•（﹣a2）的结果是（　　）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
3．（2分）（2021•南京二模）下列整数中，与12最接近的是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2分）（2021•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+1的图象向左平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是（　　）
A．y＝2x+2 B．y＝2x+3 C．y＝2x D．y＝2x﹣1
5．（2分）（2021•秦淮区一模）关于一次函数y＝kx+b，有下列命题：
甲：图象过点（3，4）；乙：b＜0；丙：k＝2；丁：图象过点（1，2）．
若上述四个命题中只有一个假命题，则该命题是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2分）（2021•玄武区二模）某聊天软件规定：若任意连续5天，好友双方的每日聊天记录的条数不低于100，则双方可以获得“星形”标识．甲、乙两位好友连续5天在该软件上聊天，下列选项中，一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是（　　）
A．中位数为110条，极差为20条
B．中位数为110条，众数为112条
C．中位数为106条，平均数为102条
D．平均数为110条，方差为10条2
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2017•南京）计算：|﹣3|＝　 　；(−3)2=　 　．
8．（2分）（2021•鼓楼区二模）如果反比例函数y=kx的图象经过点（﹣3，2），那么也经过点（﹣2，　 　）．
9．（2分）（2021•秦淮区一模）分解因式a2﹣1的结果是　 　．
10．（2分）（2021•玄武区二模）分解因式（x+3）（x+1）+1的结果是　 　．
11．（2分）（2021•南京二模）设x1，x2是⼀元⼆次⽅程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2＝　 　．
12．（2分）（2021•鼓楼区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，顺次连接AB、BC、CD、DA的中点得到四边形EFGH，那么四边形EFGH的面积为 　 　．

13．（2分）（2021•秦淮区一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝46°，AD=CD，则
∠DAB＝　 　°．

14．（2分）（2021•玄武区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交BC边于点N，垂足为M，若BN＝6，CN＝4，则MN的长为　 　．

15．（2分）（2021•南京二模）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AFEF的值为　 　．

16．（2分）（2021•鼓楼区二模）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝　 　°．

三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2018•南京）计算（m+2−5m−2）÷m−32m−4．
18．（7分）（2021•玄武区二模）先化简，再求值：a2−b2a2+ab÷（a﹣2b+b2a），其中a﹣b=2．
19．（7分）（2021•南京二模）某校开展了一次数学竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为：
74，71，73，74，79，76，77，76，76，73，72，75．
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是　 　分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是　 　分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．

20．（8分）（2021•鼓楼区二模）某学校七、八、九年级分别有1000、1200和1400名学生，为了了解学生对校服的满意度，随机抽取七、八年级各100名学生，九年级200名学生，进行综合评价（打分为整数，满分100分），下面给出了一些信息．
信息一：七年级打分成绩的频数分布表：
分组
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
6
16
18
28
32
信息二：七年级学生打分在80≤x＜90这一组的分数统计表：
分数
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
人数
2
3
1
0
2
2
6
2
7
3
信息三：九年级学生打分的统计表：
分数
62
63
64
66
67
68
69
71
72
73
74
76
77
78
人数
1
2
1
2
3
1
4
4
3
9
1
1
3
3
分数
80
81
82
83
84
86
88
89
90
92
93
95
96
98
人数
5
17
9
15
20
18
16
12
20
10
4
5
5
6
信息四：三个年级打分成绩的平均数、中位数、众数如表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
82
a
88
八年级
86
84.5
86
九年级
84
b
c
（1）表中a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　；
（2）此次调查中，满意度较高的是哪一个年级，请说明理由；
（3）如果全校3600名学生全部参与打分，你估计打分在85分以上（含85分）的约有多少人？
21．（8分）（2021•秦淮区一模）某初中学校共有2000名学生．为增强学生安全防护意识，该校提出“预防千万条，口罩第一条”的倡议﹣﹣提倡在上学和放学途中佩戴口罩．学校数学兴趣小组采取简单随机抽样的方法，抽取了部分学生，了解其在上学和放学途中佩戴口罩的情况．
收集数据
（1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案：
方案一：从初一年级随机抽取8个班级共300名学生进行调查；
方案二：分别从三个年级随机抽取各100名学生进行调查；
方案三：随机抽取300名女生进行调查．
其中抽取的样本具有代表性的方案是　 　．
整理数据
数学兴趣小组采取（1）中的具有代表性的方案进行了一周的调查，根据调查，将数据绘制成条形统计图：

（2）估计全校周五上学途中佩戴口罩的学生人数是多少？
分析数据
（3）比较这一周抽样学生上学、放学途中佩戴口罩的情况，写出一条正确的结论．
22．（8分）（2021•玄武区二模）如图，某海域有两个海岛A，B，海岛B位于海岛A的正南方向，这两个海岛之间有暗礁，灯塔C位于海岛A的南偏东47.5°方向，海岛B的北偏东70°方向，一艘海轮从海岛B出发，沿正南方向航行32海里到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上．求海岛A，B之间的距离．
（参考数据：tan37°≈0.75，tan47.5°≈1.10，tan70°≈2.75）

23．（8分）（2021•南京二模）如图，港口B位于港口A北偏东37°的方向，两港口距离为30海⾥．在港口A处测得一艘军舰在北偏东45°方向的C处，在港⼝B处测得该军舰在北偏东51°方向．求该军舰距港口B的距离BC．（结果保留整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）

24．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝　 　，方程的另一个根为 　 　；
（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；
（3）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值．
25．（8分）（2021•秦淮区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．分别延长BA、AB、CA、AC至点D、E、F、G，使得AD＝AF＝BC，BE＝8，CG＝6．
（1）经过D、E、G三点作⊙O；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：点F在⊙O上；
（3）⊙O的半径长为　 　．

26．（10分）（2021•玄武区二模）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，经过A，C的⊙O与BC边另一个公共点为D，与AB边另一个公共点为E，连接CE．
（1）如图①，若∠ACB＝90°，AC＝EC，求⊙O的半径；
（2）如图②，作∠BEF＝∠ACE，交BC边于点F．求证：直线EF与⊙O相切．

27．（9分）（2021•南京二模）（1）如图①，AB＝AC，点P为BC上一点，∠BAP＝30°，∠PAC＝45°，求BPCP的值；
（2）如图②，AB＝AC，DB＝DC，点P为BC上一点，求证=sin∠BAPsin∠BDP=sin∠CAPsin∠CDP；
（3）如图③，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接EF与DO相交于点I，连接AI并延长交BC于点G．求证BG＝CG．

2022年南京中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021•秦淮区一模）4的算术平方根是（　　）
A．±4 B．4 C．±2 D．2
【考点】算术平方根．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2，
故选：D．
【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根与平方根的定义，本题属于基础题型．
2．（2分）（2021•玄武区二模）计算（﹣a）3•（﹣a2）的结果是（　　）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：（﹣a）3•（﹣a2）＝（﹣a3）•（﹣a2）＝a5．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（2分）（2021•南京二模）下列整数中，与12最接近的是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感．
【分析】求出3＜12＜4，再得出选项即可．
【解答】解：∵9＜12＜16，
∴3＜12＜4，
又∵3.52＝12.25＞12，
∴与12最接近的是3．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出12接近的整数是解题关键．
4．（2分）（2021•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+1的图象向左平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是（　　）
A．y＝2x+2 B．y＝2x+3 C．y＝2x D．y＝2x﹣1
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的图象；正比例函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将一次函数y＝2x+1的图象向左平移1个单位，所得图象的解析式为y＝2（x+1）+1，即y＝2x+3．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．（2分）（2021•秦淮区一模）关于一次函数y＝kx+b，有下列命题：
甲：图象过点（3，4）；乙：b＜0；丙：k＝2；丁：图象过点（1，2）．
若上述四个命题中只有一个假命题，则该命题是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】命题与定理．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【分析】若一次函数同时经过（3，4），（1，2）两点，则k＝1，b＝1，此时可判断乙、丙都是假命题，不满足题意；若一次函数经过（3，4），当k＝2，b＝﹣2＜0，满足题意．
【解答】解：若一次函数同时经过（3，4），（1，2），则3k+b＝4，k+b＝2，解得k＝1，b＝1，此时乙、丙都是假命题，
所以一次函数不经过（3，4），（1，2），
若一次函数经过（3，4），则3k+b＝4，当k＝2时，b＝﹣2＜0，此时甲、乙、丙为真命题，丁为假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题于定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
6．（2分）（2021•玄武区二模）某聊天软件规定：若任意连续5天，好友双方的每日聊天记录的条数不低于100，则双方可以获得“星形”标识．甲、乙两位好友连续5天在该软件上聊天，下列选项中，一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是（　　）
A．中位数为110条，极差为20条
B．中位数为110条，众数为112条
C．中位数为106条，平均数为102条
D．平均数为110条，方差为10条2
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数；极差．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．
【解答】解：A、B、C三个选项中，最小的数都可能小于100，故不一定能判断甲、乙获得“星形”标识；
D选项中，设5个数分别为x1，x2，x3，x4，x5．
则S2=15[（x1﹣110）2+（x2﹣110）2+（x3﹣110）2+（x4﹣110）2+（x5﹣110）2]，
若x1，x2，x3，x4，x5中有一个数小于或等于100，则S2≥(100−110)25=20，
∴若S2＝10，则x1，x2，x3，x4，x5中每一个数都大于100，
∴一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是D，
故选：D．
【点评】本题主要了进行简单的合情推理．解答此题应结合题意，根据平均数与方差的计算方法进行解答．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2017•南京）计算：|﹣3|＝　3　；(−3)2=　3　．
【考点】二次根式的性质与化简；绝对值．
【分析】根据绝对值的性质，二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：|﹣3|＝3，(−3)2=32=3，
故答案为：3，3．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质是解题关键．
8．（2分）（2021•鼓楼区二模）如果反比例函数y=kx的图象经过点（﹣3，2），那么也经过点（﹣2，　3　）．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】将（﹣3，2）代入反比例函数解析式求得k的值，再将x＝﹣2代入求得y的值，结论可得．
【解答】解：将（﹣3，2）代入反比例函数y=kx得：k＝﹣6．
∴反比例函数解析式为：y=−6x．
当x＝﹣2时，y＝3．
∴反比例函数也经过点（﹣2，3）．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数解析式．待定系数法是求函数解析式中未知系数的常用方法．
9．（2分）（2021•秦淮区一模）分解因式a2﹣1的结果是　（a﹣1）（a+1）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（a﹣1）（a+1）．
故答案为：（a﹣1）（a+1）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
10．（2分）（2021•玄武区二模）分解因式（x+3）（x+1）+1的结果是　（x+2）2　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2+4x+4
＝（x+2）2．
故答案为：（x+2）2．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解本题的关键．
11．（2分）（2021•南京二模）设x1，x2是⼀元⼆次⽅程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2＝　﹣7　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，然后利用整体代入的方法计算x1x2﹣x1﹣x2值．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，
所以x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣4﹣3＝﹣7．
故答案为﹣7．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
12．（2分）（2021•鼓楼区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，顺次连接AB、BC、CD、DA的中点得到四边形EFGH，那么四边形EFGH的面积为 　24　．

【考点】中点四边形；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据矩形的性质推出BE＝AF，BE∥AF得到平行四边形BHFA，推出AB∥HF，AB＝HF，同理得到BC＝EG，BC∥EG，推出HF⊥EG，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：连接HF、EG，
∵矩形ABCD，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∵H、F分别为边DA、BC的中点，
∴AH＝BF，
∴四边形BFHA是平行四边形，
∴AB＝HF，AB∥HF，
同理BC＝EG，BC∥EG，
∵AB⊥BC，
∴HF⊥EG，
∴四边形EFGH的面积是12EG×HF=12×6×8＝24．
故答案为：24．

【点评】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出HF、EG的长和HF⊥EG是解此题的关键．
13．（2分）（2021•秦淮区一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝46°，AD=CD，则
∠DAB＝　68　°．

【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据圆周角定理及已知可求得∠B的度数，从而可求得∠ADC的度数，再根据三角形内角和公式即可求得∠DAC的度数，从而可得出∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝46°，
∴∠B＝44°．
∴∠ADC＝180°﹣44°＝136°．
∵AD=CD，
∴AD＝DC．
∴∠DAC＝∠DCA=180°−136°2=22°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝22°+46°＝68°．
故答案是：68．

【点评】本题利用了圆周角定理，三角形的内角和定理，直径对的圆周角是直角求解．
14．（2分）（2021•玄武区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交BC边于点N，垂足为M，若BN＝6，CN＝4，则MN的长为　21　．

【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】如图，连接AN，过点N作NE⊥AC于E，设AB＝2x，则AC＝2x，根据等角的余弦列式可得CE和AE的长，利用勾股定理列方程可得x的值，最后根据勾股定理计算可得MN的长．
【解答】解：如图，连接AN，过点N作NE⊥AC于E，

设AB＝2x，则AC＝2x，
∵AB的垂直平分线MN交BC边于点N，
∴AN＝BN＝6，BM＝x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴cos∠B＝cos∠C，
∴BMBN=CECN，即x6=CE4，
∴CE=23x，
∴AE＝2x−23x=43x，
由勾股定理得：EN2＝AN2﹣AE2＝CN2﹣CE2，
∴62﹣（43x）2＝42﹣（23x）2，
解得：x=±15（负值舍去），
∴MN=BN2−BM2=62−(15)2=21，
故答案为：21．
【点评】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质，勾股定理以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
15．（2分）（2021•南京二模）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AFEF的值为　43　．

【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】过E点作EH∥AC交BD于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到EHCD=34，由于AD＝CD，则EHAD=34，然后利用EH∥AD，根据平行线分线段成比例定理得AFEF的值．
【解答】解：过E点作EH∥AC交BD于H，如图，
∵EH∥CD，
∴EHCD=BEBC，
∵BE＝3EC，
∴EHCD=3EC4EC=34，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴EHAD=34，
∵EH∥AD，
∴AFEF=ADEH=43．
故答案为43．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
16．（2分）（2021•鼓楼区二模）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝　100　°．

【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）即可解决．
【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
∴AM＝A'M，AN＝A″N，
此时△AMN的周长最小值等于A'A″的长，
∵BA＝BA′，NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝130°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝50°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×50°＝100°．
故答案为：100．

【点评】本题考查轴对称变换、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2018•南京）计算（m+2−5m−2）÷m−32m−4．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式．
【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式＝（m2−4m−2−5m−2）÷m−32(m−2)
=(m+3)(m−3)m−2•2(m−2)m−3
＝2（m+3）
＝2m+6．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
18．（7分）（2021•玄武区二模）先化简，再求值：a2−b2a2+ab÷（a﹣2b+b2a），其中a﹣b=2．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a﹣b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：a2−b2a2+ab÷（a﹣2b+b2a）
=(a+b)(a−b)a(a+b)÷（a2−2aba+b2a）
=a−ba÷a2−2ab+b2a
=a−ba⋅a(a−b)2
=1a−b，
当a﹣b=2时，原式=12=22．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（7分）（2021•南京二模）某校开展了一次数学竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为：
74，71，73，74，79，76，77，76，76，73，72，75．
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是　76　分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是　78　分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．

【考点】频数（率）分布直方图；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）计算出第2组60～70组的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；
（3）样本估计总体，样本中80分以上的占20+450，因此估计总体1500人的20+450是80分以上的人数．
【解答】解：（1）第2组60～70组的人数为：50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），
补全频数分布直方图如图所示：


（2）第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，
抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为（77+79）÷2＝78（分），因此中位数是78，
故答案为：76，78；

（3）1500×20+450=720（人），
答：估计该校参赛学⽣成绩不低于80分的人数有720人．
【点评】本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键．
20．（8分）（2021•鼓楼区二模）某学校七、八、九年级分别有1000、1200和1400名学生，为了了解学生对校服的满意度，随机抽取七、八年级各100名学生，九年级200名学生，进行综合评价（打分为整数，满分100分），下面给出了一些信息．
信息一：七年级打分成绩的频数分布表：
分组
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
6
16
18
28
32
信息二：七年级学生打分在80≤x＜90这一组的分数统计表：
分数
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
人数
2
3
1
0
2
2
6
2
7
3
信息三：九年级学生打分的统计表：
分数
62
63
64
66
67
68
69
71
72
73
74
76
77
78
人数
1
2
1
2
3
1
4
4
3
9
1
1
3
3
分数
80
81
82
83
84
86
88
89
90
92
93
95
96
98
人数
5
17
9
15
20
18
16
12
20
10
4
5
5
6
信息四：三个年级打分成绩的平均数、中位数、众数如表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
82
a
88
八年级
86
84.5
86
九年级
84
b
c
（1）表中a＝　85.5　；b＝　84　；c＝　84和90　；
（2）此次调查中，满意度较高的是哪一个年级，请说明理由；
（3）如果全校3600名学生全部参与打分，你估计打分在85分以上（含85分）的约有多少人？
【考点】众数；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数；中位数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得；
（2）可从平均数及中位数比较得出答案（答案不唯一，合理均可）；
（3）用七、八、九年级人数乘以样本中七、八、九年级打分在85分以上（含85分）的学生人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）七年级学生打分成绩的中位数a＝（85+86）÷2＝85.5，
九年级学生打分成绩的中位数b＝（84+84）÷2＝84，
九年级学生打分成绩的众数c＝84和90；
故答案为：85.5，84，84和90；
（2）满意度较高的是七年级，
理由：七年级的中位数大于八、九年级的中位数，超过一半的学生打分超过85分，
∴满意度较高的是七年级；
（3）1000×52100+1200×12+1400×96200=1792（人）．
答：估计打分在85分以上（含85分）的约有1792人．
【点评】本题主要考查平均数、中位数、众数及频数分布表，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数的概念及样本估计总体思想的运用．
21．（8分）（2021•秦淮区一模）某初中学校共有2000名学生．为增强学生安全防护意识，该校提出“预防千万条，口罩第一条”的倡议﹣﹣提倡在上学和放学途中佩戴口罩．学校数学兴趣小组采取简单随机抽样的方法，抽取了部分学生，了解其在上学和放学途中佩戴口罩的情况．
收集数据
（1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案：
方案一：从初一年级随机抽取8个班级共300名学生进行调查；
方案二：分别从三个年级随机抽取各100名学生进行调查；
方案三：随机抽取300名女生进行调查．
其中抽取的样本具有代表性的方案是　方案二　．
整理数据
数学兴趣小组采取（1）中的具有代表性的方案进行了一周的调查，根据调查，将数据绘制成条形统计图：

（2）估计全校周五上学途中佩戴口罩的学生人数是多少？
分析数据
（3）比较这一周抽样学生上学、放学途中佩戴口罩的情况，写出一条正确的结论．
【考点】条形统计图；抽样调查的可靠性；用样本估计总体．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【分析】（1）根据题意和选取样本要具有代表性，可以判断哪个方案最合理；
（2）根据统计图中的数据和题意，可以计算出全校周五上学途中佩戴口罩的学生人数是多少；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以写出正确的结论，注意本题答案不唯一．
【解答】解：（1）由题意可得，
其中抽取的样本具有代表性的方案是方案二，
故答案为：方案二；
（2）2000×222300=1480（名），
即估计全校周五上学途中佩戴口罩的学生有1480名；
（3）答案不唯一，例如，
结论1：这一周上学途中佩戴口罩的人数（单位：名）分别是240、210、201、213、222，由多变少再变多，说明上学途中学生在周初和周末安全防护意识较强，在周中时安全防护意识较弱．
结论2：这一周放学途中佩戴口罩的人数（单位：名）分别是125、130、146、180、202，逐渐增加，说明在放学途中，越接近周末学生的安全防护意识越强．
结论3：这一周上学途中平均每天佩戴口罩的人数约为217名，放学途中平均每天佩戴口罩的人数约为157名，217＞157说明学生在上学途中安全防护意识较好，同时需要加强放学途中的安全防护措施．
结论4：这一周上学途中佩戴口罩人数与放学途中佩戴口罩人数之差分别是115、80、55、33、20，说明学生在上学途中安全防护意识较好，同时需要加强放学途中的安全防护措施．
【点评】本题考查条形统计图、抽样调查、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（8分）（2021•玄武区二模）如图，某海域有两个海岛A，B，海岛B位于海岛A的正南方向，这两个海岛之间有暗礁，灯塔C位于海岛A的南偏东47.5°方向，海岛B的北偏东70°方向，一艘海轮从海岛B出发，沿正南方向航行32海里到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上．求海岛A，B之间的距离．
（参考数据：tan37°≈0.75，tan47.5°≈1.10，tan70°≈2.75）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】过点C作CE⊥AD于E，在Rt△DEC和在Rt△BCE中，根据三角函数的定义分别用CE表示出DE、BE的长度，结合BD＝DE﹣BE求出CE，再在Rt△ACE中，根据三角函数的定义求出AE，根据线段的和差即可求出AB．
【解答】解：过点C作CE⊥AD于E，
在Rt△DEC中，∠CDE＝37°，
∴tan37°=CEDE，即DE=CEtan37°，
在Rt△BCE中，∠CBE＝70°，
∴tan70°=CEBE，即BE=CEtan70°，
∵BD＝DE﹣BE，
∴CEtan37°−CEtan70°=32，
解得CE≈33，
∴BE=CEtan70°≈332.75=12，
在Rt△ACE中，∠CAE＝47.5°，
∴tan47.5°=CEAE，
即AE=CEtan47.5°≈30，
∴AB＝AE+BE＝30+12＝42，
答：海岛A，B之间的距离约为42海里．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线，把航海中的实际问题转化为解直角三角形的问题是解题的关键．
23．（8分）（2021•南京二模）如图，港口B位于港口A北偏东37°的方向，两港口距离为30海⾥．在港口A处测得一艘军舰在北偏东45°方向的C处，在港⼝B处测得该军舰在北偏东51°方向．求该军舰距港口B的距离BC．（结果保留整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】过B作BD⊥CF于D，过B作BE⊥AF于F，在RtABE中，∠ABE＝37°，在Rt△CBD中，∠BCD＝51°，在Rt△CAF中，∠CAF＝45°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过B作BD⊥CF于D，过B作BE⊥AF于F，
在RtABE中，∠ABE＝37°，
∵sin37°=AEAB，
∴AE＝AB•sin37°＝30sin37°（海⾥），
∵cos37°=BEAB，
∴BE＝AB•cos37°＝30cos37°（海⾥），
设CD＝x海里，
在Rt△CBD中，∠BCD＝51°，tan51°=BDCD，
∴BD＝CD•tan51°≈tan51°x，
∴EF＝BD＝tan51°x，
∴AF＝tan51°x+30sin37°，CF＝x+30cos37°，
在Rt△CAF中，∠CAF＝45°，
∵tan45°=CFAF，
∴1=x+30cos37°tan51°x+30sin37°，
解得：x=30cos37°−30sin37°tan51°−1，
∴CD=30cos37°−30sin37°tan51°−1（海⾥），
在Rt△CBD中，∠BCD＝51°，
∵cos51°=CDBC，
∴BC=CDcos51°≈41（海⾥），
答：该军舰距港口B的距离BC为41海里．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝　1　，方程的另一个根为 　x＝0　；
（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；
（3）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值．
【考点】根与系数的关系；一元一次方程的解．
【专题】计算题；方程思想；一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力．
【分析】（1）两个方程的根相同，把（1）中的方程解出来的根代入题干的方程中求m即可；
（2）两个方程里面含有两个未知数，解决方法是消元；
（3）利用题干和（3）中的两个方程消去里面的x，得到m和n的关系式，从而构造出新的函数关系，求最小值．
【解答】解：（1）解2（x﹣1）﹣4＝0得：x＝3，
将x＝3代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：m＝1，
将m＝1代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：x＝3或x＝0，
∴另一个解为x＝0，
故答案为1；x＝0．

（2）由2（x﹣m）﹣4＝0得：x＝2+m，
将x＝2+m代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+m﹣1）（2+m﹣2）＝m+1，
解得：m＝1或m＝﹣1，
答：m的值为1或﹣1．

（3）由2（x﹣n）﹣4＝0得：x＝2+n，
将x＝2+n代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+n﹣1）（2+n﹣2）＝m+1，
整理得：m＝n2+n﹣1，
∴m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2≥﹣2，
当n＝﹣1时，m+n有最小值﹣2，
答：m+n的最小值为﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程含参及二次函数最值问题，可将m或n视为新的未知数，利用消元思想，将问题转化为学过的一元问题，属于基础题．
25．（8分）（2021•秦淮区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．分别延长BA、AB、CA、AC至点D、E、F、G，使得AD＝AF＝BC，BE＝8，CG＝6．
（1）经过D、E、G三点作⊙O；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：点F在⊙O上；
（3）⊙O的半径长为　237　．

【考点】作图—复杂作图；勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】（1）作线段EG，DG的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OE为半径作⊙O即可．
（2）想办法证明OF＝OD即可．
（3）求出EF，证明△OEF是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】（1）解：如图，⊙O即为所求作．

（2）连接FD、OD、OE、OF、OG．LM是EG的垂直平分线，
∵AD＝AF，AB＝CG，AC＝BE，
∴AB+BE＝CG+AC，即AG＝AE．
∵LM是EG的垂直平分线，
∴点A在LM上，
∵AF＝AD，LF＝LD，
∴LM是FD的垂直平分线，
∵点O在LM上，
∴OF＝OD．
∴点F在⊙O上．

（3）如图，连接EF．

∵AE＝AG，∠EAG＝90°，
∴∠AGE＝∠AEG＝45°，
∴∠EOF＝2∠EGF＝90°，
∵EF=AF2+AE2=102+142=274，
∴OE＝OF=EF2=237．
故答案为：237．
【点评】本题考查复杂作图，三角形的外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．（10分）（2021•玄武区二模）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，经过A，C的⊙O与BC边另一个公共点为D，与AB边另一个公共点为E，连接CE．
（1）如图①，若∠ACB＝90°，AC＝EC，求⊙O的半径；
（2）如图②，作∠BEF＝∠ACE，交BC边于点F．求证：直线EF与⊙O相切．

【考点】直线与圆的位置关系；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】（1）如图①，连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠CEA＝∠CAE，等量代换得到∠CDA＝∠CAE，推出△ADC∽△BAC，求得CABC=ADAB，在△ABC中，根据勾股定理得到AB=AC2+BC2=10，于是得到AD=152，根据圆周角定理 得到AD是⊙O的直径，于是求得⊙O的半径为154；
（2）连接AO，EO，如图②，设∠BEF＝∠ACE＝x，由圆周角定理得到∠AOE＝2∠ACE＝2x，根据切线的判定定理得到直线EF与⊙O相切．
【解答】（1）解：如图①，连接AD，
∵AC＝CE，
∴∠CEA＝∠CAE，
∵∠CDA＝∠CEA，
∴∠CDA＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠ACD，
∴△ADC∽△BAC，
∴CABC=ADAB，
在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
∴AD=152，
在⊙O中，∠ACD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∴⊙O的半径为154；
（2）证明：连接AO，EO，如图②，
设∠BEF＝∠ACE＝x，
由圆周角定理，∠AOE＝2∠ACE＝2x，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝90°﹣x，
∴∠OEA+∠BEF＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∴OE⊥EF，
∵点E在⊙O上，
∴直线EF与⊙O相切．


【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．（9分）（2021•南京二模）（1）如图①，AB＝AC，点P为BC上一点，∠BAP＝30°，∠PAC＝45°，求BPCP的值；
（2）如图②，AB＝AC，DB＝DC，点P为BC上一点，求证=sin∠BAPsin∠BDP=sin∠CAPsin∠CDP；
（3）如图③，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接EF与DO相交于点I，连接AI并延长交BC于点G．求证BG＝CG．
【考点】圆的综合题．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【分析】（1）方法一：过点P分别作PM⊥AB于点M、PN⊥AC于点N，证Rt△BPM∽Rt△CPN即可得出比例关系；
方法二：过点P作PD∥AB交AC于点D，过点D作DE⊥AP于点E，先证DP＝DC，再根据DE＝DP•sin30°，DE＝DA•sin45°得出BPCP=ADDC=sin30°sin45°=22；
（2）由（1）得，BPCP=sin∠BAPsin∠CAP=sin∠BDPsin∠CDP，即可得出结论；
（3）连接OE、OF，证sin∠ABC＝sin∠IOE，sin∠ACB＝sin∠IOF，过点A作AH⊥BC于H，证AB•sin∠EAI＝AC•sin∠FAI，过点B作BM⊥AG于M，过点C作CN⊥AG延长线于点N，再根据AAS证△BGM≌△CGN，即可得证BG＝CG．
【解答】解：（1）方法一：如图①，过点P分别作PM⊥AB于点M、PN⊥AC于点N，
∵∠BAP＝30°，∠PAC＝45°，∴PM＝AP•sin30°，PN＝AP•sin45°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠PMB＝∠PNC＝90°，
∴Rt△BPM∽Rt△CPN，
∴BPCP=PMPN=AP⋅sin30°AP⋅sin45°=22；
方法二：如图①（二），过点P作PD∥AB交AC于点D，过点D作DE⊥AP于点E，

∵PD∥AB，
∴∠B＝∠DPC，∠DPE＝∠BAP＝30°，BPCP=ADCD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠DPC，
∴DP＝DC，
在Rt△ADE和Rt△PDE中，DE＝DP•sin30°，DE＝DA•sin45°，
∵DP＝DC，
∴DC•sin30°＝DA•sin45°，
∴BPCP=ADDC=sin30°sin45°=22；
（2）证明：∵AB＝AC，DB＝DC，
∴由（1）得，BPCP=sin∠BAPsin∠CAP=sin∠BDPsin∠CDP，
∴sin∠BAPsin∠BDP=sin∠CAPsin∠CDP；
（3）证明：如图③，连接OE、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，
∴OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC，AE＝AF，
∴∠OEB＝∠ODB＝∠ODC＝∠OFC＝90°，
∵∠OEB+∠ABC+∠ODB+∠EOD＝360°，
∴∠ABC+∠EOD＝180°，
∵∠IOE+∠EOD＝180°，
∴∠ABC＝∠IOE，
同理可证，∠ACB＝∠IOF，
∴sin∠ABC＝sin∠IOE，sin∠ACB＝sin∠IOF，
∵AE＝AF，OE＝OF，
由（2）可知，sin∠EAIsin∠FAI=sin∠IOEsin∠IOF，
∵sin∠IOEsin∠IOF=sin∠ABCsin∠ACB，
∴过点A作AH⊥BC于H，
∴sin∠ABC=AHAB，sin∠ACB=AHAC，
∴sin∠ABCsin∠ACB=ACAB，
∵sin∠EAIsin∠FAI=sin∠ABCsin∠ACB，
∴sin∠EAIsin∠FAI=ACAB，
∴AB•sin∠EAI＝AC•sin∠FAI，
过点B作BM⊥AG于M，过点C作CN⊥AG延长线于点N，
在Rt△ABM和Rt△ACN中，BM＝AB•sin∠EAI，CN＝AC•sin∠FAI，
∵AB•sin∠EAI＝AC•sin∠FAI，
∴BM＝CN，
在△BGM和△CGN中，
∠BMG=∠CNG=90°∠BGM=∠CGNBM=CN，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG＝CG．


【点评】本题主要考查圆的综合知识，平行线分线段成比例，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练运用解直角三角形和线段比例关系证线段相等是解题的关键