查补易混易错点04 三角变换及三角函数的性质-【查漏补缺】2022年高考数学（文）三轮冲刺过关

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查补易混易错点04 三角变换及三角函数的性质三角恒等变换是高考的一个重要考点，通常难度不大，主要用于三角函数等价代换，可以化简式子，方便运算.考查主要集中在两角和与差的三角公式、二倍角公式、辅助角公式.三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明中发挥作用，还涉及不少其他方面，如通过三角换元可以将一些代数问题化为三角问题，参数方程的建立又可将解析几何问题中的曲线问题归结为三角问题，是最常见的解题“工具”.利用三角恒等变换公式对三角函数式进行求值、化简和证明，进一步发展了数学运算能力，体现了数学运算核心素养;三角公式众多，方法灵活多变，熟练掌握这些公式，可以加深对诸多公式内在联系的理解，发展学生的逻辑思维能力，体现了逻辑推理核心素养.三角函数是基本初等函数中的一种超越函数.三角函数的图像和性质，在高考中出现的频率较高，需要掌握最基本的正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质，研究方法是先作图像，再通过图像观察总结其性质.形式为的三角函数是考查中的重点，考查方面有周期性、单调性、对称性、最值、图像的平移与伸缩变换、由性质或者图像确定函数的解析式等.了解此函数的物理意义以及参数对函数图像的影响.三角函数是刻画周期现象的重要函数.利用三角函数的图像研究三角函数的性质非常直观，体现了直观想象核心素养;对三角函数性质的研究，体现了逻辑推理核心素养;三角函数在实际问题中的应用，体现了数学建模核心素升.高考五星高频考点，2019年-2021年高考全国卷均在选择、填空题进行考查.易错点1　忽视正、余弦函数的有界性【突破点】　许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性．易错点2　忽视三角函数值对角的范围的限制【突破点】　 在解决三角函数中的求值问题时，不仅要看已知条件中角的范围，更重要的是注意挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围．易错点3　忽视解三角形中的细节问题【突破点】　(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围．(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补的情况．(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切忌出现漏解情况．易错点4　三角函数性质理解不透彻【突破点】　(1)研究奇偶性时，忽视定义域的要求．(2)研究对称性时，忽视y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的对称轴有无穷条、对称中心有无数个．(3)研究周期性时，错将y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的周期写成.易错点5　图象变换方向或变换量把握不准确【突破点】　图象变换若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向．易错题6 不能全面理解三角函数性质致误【突破点】本易错点主要包含以下几个问题：(1)求三角函数值域忽略定义域的限制；(2)确定三角函数的最小正周期，忽略三角变换的等价性；(3)求复合函数的单调性忽略对内函数单调性的判断.易错题7 对平移理解不准确致误【突破点】三角函数图象的左右平移是自变量x发生变化,如ωx→ωx±φ(φ>0)这个变化的实质是x→x±,所以平移的距离并不一定是φ.易错题8 用零点确定的,忽略图象的升降【突破点】确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.【真题演练】1．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．2．（2021·全国·高考真题（文））（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，.故选：D.3．（2021·全国·高考真题（文））若，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.4．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（       ）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．5．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．6．（2021·全国·高考真题）若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．7．（2021·湖南·高考真题）为了得到函数的图象，只需要将的图象（       ）A．向上平移个单位 B．向左平移个单位C．向下平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】根据“左+右-”的平移规律判断选项.【详解】根据平移规律可知，只需向左平移个单位得到.故选：B8．（2021·全国·高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.【答案】【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：，当时，，令可得：，据此有：.故答案为：.【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.9．（2021·江苏·高考真题）已知，且，则的值是_________.【答案】【解析】【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.【详解】，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：. 【好题演练】1．（2022·全国·模拟预测）函数和（，，）的部分图象如图所示，则不等式的解集是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由三角函数的图象求得，根据，得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题图可知，点，,设的最小正周期为T，则，可得，所以，可得，所以，又点在图象上，所以，所以根据五点作图法可得，可得，则，由，可得，即，所以，解得，所以不等式的解集为.故选:B.2．（2022·全国·模拟预测）若，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据，结合正切的倍角公式，即可求解.【详解】由，可得.故选：D.3．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意可确定，结合，从而确定，解得答案.【详解】由的值域为,可得，由可得，所以，解得，所以a的取值范围是，故选:C4．（2022·全国·模拟预测（文））已知在处的切线倾斜角为，则的值为（       ）A．7 B． C．5 D．-3【答案】B【解析】【分析】由导数的几何意义求出切线斜率得出，再由二倍角的正余弦公式及同角三角函数的基本关系化简求值即可.【详解】因为，所以，所以.故选：B5．（2022·全国·模拟预测（文））已知，则它们的大小关系正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由时，判断a,b的大小关系，作出与的图象判断a，c的大小即可.【详解】，故，因为时，，所以，因为中.作出与在同一坐标系中的图象，如图，由数形结合可知在恒成立，所以，所以，故选：A6．（2022·全国·模拟预测（文））函数的部分图像大致为（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性并代入特值即可判断.【详解】由，，故函数是奇函数，则B不符合，当时，时，D不符合，当时，，A不符合，故选：C.7．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A”与1个正五边形组成，其中，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（       ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】在三角形中，由值，可得，即，设的面积为x，由此可知和的面积均为，的面积为x，由此即可求出结果.【详解】如图所示，依题意，在三角形中，，故；所以，设的面积为x，则面积为，同理的面积为，的面积为x，则阴影部分面积与五角形面积的比值为.故选：B．8．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知函数，现有如下说法：①为偶函数；②函数在上单调递增；③，．则上述说法正确的个数为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】对于①，利用奇偶性的定义判断即可，对于②，先求出函数的周期，再判断函数的单调性，然后由对称性判断上的单调性即可，对于③，由函数单调性以及函数的奇偶性判断【详解】解：依题意，，故函数为偶函数，故①正确；因为，所以为函数的一个周期；当时，，故，在上单调递减，即在上单调递减，由对称性和周期性可知，函数在上单调递增，故②正确；结合②中单调性以及函数的奇偶性可知，函数的最大值为，故③错误；故选：C．9．（2022·全国·模拟预测（文））函数的最小正周期和最大值分别为（       ）A．和2 B．和 C．和2 D．和【答案】A【解析】【分析】利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后可求出函数的最小正周期和最大值【详解】，所以函数的最小正周期为，最大值为2，故选：A10．（2022·全国·模拟预测）已知角，的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，角的终边过点，将角的终边顺时针旋转得到角的终边，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先由三角函数的定义求出，，由题知，然后利用两角差的正弦公式即可求出的值.【详解】由题知，点到原点的距离为，，，.故选：C.11．（2022·全国·模拟预测）定义运算：.若，，则___________.【答案】##【解析】【分析】由所给运算法则得到，再根据平方关系得到方程组，解得、，从而求出；【详解】解：由已知，即，化简得，联立，又，解得或（舍去）.所以.故答案为：12．（2022·全国·贵阳一中二模（文））已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为___________.【答案】【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，结合弧长公式进行求解即可.【详解】因为圆锥的母线长为3，所以侧面展开图扇形的半径为3，设该圆锥的底面半径为，所以有，故答案为：13．（2022·全国·贵阳一中二模（文））已知函数的部分图象如图所示，则时，函数的值域为___________.【答案】【解析】【分析】先根据图像求出函数的解析式，再结合求值域即可.【详解】由，，由，，又，解得或，又，，故，，，时，，当时，取得最小值，当时，取得最大值，故值域为.故答案为：.14．（2022·全国·模拟预测）已知，则______.【答案】【解析】【分析】进行弦化切，把代入直接求值.【详解】因为，所以，所以.故答案为：15．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】考察第2、3个正最值点的位置可解.【详解】易知时不满足题意，由Z，得Z，当时，第2个正最值点，解得，第3个正最值点，解得，故；当时，第2个正最值点，解得，第3个正最值点，解得，故.综上，的取值范围是.故答案为：16．（2022·全国·模拟预测（文））若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.【答案】##-0.25【解析】【分析】先根据函数在上单调递减及周期，确定，再根据函数的最大值求解.【详解】因为函数在上单调递减，所以，，则，又因为函数在上的最大值为，所以，即，所以.故答案为：17．（2022·全国·模拟预测）已知，则__________.【答案】【解析】【分析】结合诱导公式化简即可求解.【详解】.故答案为：18．（2022·全国·模拟预测）设是函数的一个极值点，则______.【答案】【解析】【分析】求出导函数，根据是函数的一个极值点得出，将化简为即可得出结果.【详解】因为函数，所以，因为是函数的一个极值点，所以，，所以.故答案为：.