查补易混易错点02 不等式-【查漏补缺】2022年高考数学（文）三轮冲刺过关

查补易混易错点02 不等式

高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握不等式的相关性质，理解比较两数(式)大小的理论依据，特别要重视不等式性质的灵活运用.

高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题.

高考对线性规划的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用线性规划求最值和求取值范围的问题.

高考五星高频考点，2019年~2021年高考全国卷基本在第5题进行考查.

易错点1　不能正确应用不等式性质

【突破点】　在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．

易错点2　忽视基本不等式应用的条件

【突破点】　(1)利用基本不等式a＋b≥2以及变式ab≤等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件．

(2)对形如y＝ax＋(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，同号．

易错点3　解不等式时转化不等价

【突破点】　 如求函数f(x)·≥0可转化为f(x)·>0或f(x)·＝0，否则易出错．

易错点4　解含参数的不等式时分类讨论不当

【突破点】　解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．

易错点5　不等式恒成立问题处理不当

【突破点】　 应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立问题，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，可化为f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．

易错题6 利用同向相加求范围出错

【突破点】  利用同向相加求变量或式子的取值范围,是最常用的方法,但如果多次使用不等式的可加性,变量或式子中的等号可能不会同时取到,会导致范围扩大.

易错题7  解分数不等式忽略分母不为零

【突破点】  解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件,防止出现增解,如.

易错题8  连续使用均值不等式忽略等号能否同时成立

【突破点】 连续使用均值不等式求最值或范围,要注意判断每个等号成立的条件,检验等号能否同时成立.

易错题9  混淆单变量与双变量

【突破点】(1) 恒成立的最小值大于零；

(2)恒成立；

(3) 使得成立的最大值大于零；

(4) 使得恒成立；

【真题演练】

1．（2021·山东·高考真题）不等式组表示的区域（阴影部分）是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

用特殊点进行验证和边界的虚实线进行排除可得答案.

【详解】

将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，

将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除AC；

不包括边界，用虚线表示，包括边界，用实线表示，

故选：D.

2．（2021·湖南·高考真题）若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，或代入特殊值判断选项.

【详解】

A.根据不等式的性质可知，A正确；

B.若，，，可知B不正确；

C.若，，，故C不正确；

D. 若，，，故D不正确.

故选：A

3．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（       ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果

【详解】

解：因为，所以，

因为奇函数是定义在上的单调函数，

所以，

所以，即，

所以，即，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：B

4．（2021·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.

【详解】

画出满足约束条件的可行域，

如下图所示：

目标函数化为，

由，解得，设，

当直线过点时，

取得最小值为.

故选：B.

5．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

【详解】

对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．

6．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.

【详解】

法1：由基本不等式有，

同理，，

故，

故不可能均大于.

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为2，

故选：C.

法2：不妨设，则，

由排列不等式可得：

，

而，

故不可能均大于.

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为2，

故选：C.

【点睛】

思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.

7．（2021·全国·高考真题（文））若满足约束条件则的最小值为（       ）

A．18 B．10 C．6 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.

【详解】

由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,

转换目标函数为，

上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，

此时.

故选：C.

8．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】

两次利用基本不等式即可求出.

【详解】

，

，

当且仅当且，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

【模拟题演练】

1．（2022·陕西陕西·二模（文））已知x，y满足不等式组，且目标函数的最大值为180，则实数m的值为（       ）

A．60 B．75 C．50 D．80

【答案】A

【解析】

【分析】

画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，根据最大值列方程，从而求得的值.

【详解】

作出不等式组对应的平面区域，如图：

由可得：，平移直线；

由图象可知当直线，经过点时，直线的截距最小，

此时z最大，，

解得.

故选：A

2．（2022·江西·芦溪中学高三期末（文））设满足约束条件，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

作出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.

【详解】

作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中，

目标函数，即表示斜率为-1纵截距为z的平行直线系，

画直线，平移直线到直线，当直线过点A时，其纵截距最大，z最大，，

所以的最大值为4.

故选：D

3．（2022·甘肃平凉·二模（文））不等式组表示的可行域的面积为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．8

【答案】C

【解析】

【分析】

作出不等式组表示的可行域即可得结果.

【详解】

作出不等式组表示的可行域，由图可知，可行域的面积为，

故选：C.

4．（2022·四川宜宾·二模（文））若满足则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入目标函数即可得解.

【详解】

解：由实数满足作出可行域如图所示：

令，则，

联立，得，

由图可知当直线过点时，取得最大值，为.

故选：D.

5．（2022·陕西咸阳·二模（文））若，且，则下列结论中正确的是（       ）

A．的最小值是 B．的最大值是

C．的最小值是 D．的最大值是

【答案】D

【解析】

【分析】

根据、、，利用基本不等式依次求解最值即可.

【详解】

对于A，（当且仅当时取等号），，A错误；

对于B，（当且仅当时取等号），，B错误；

对于C，（当且仅当时取等号），，C错误；

对于D，（当且仅当时取等号），，D正确.

故选：D.

6．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（       ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

利用乘“1”法及基本不等式计算可得；

【详解】

解：因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号；

故选：C

7．（2022·全国·模拟预测（文））如果满足约束条件，则的最小值为（       ）

A．-3 B．8 C．9 D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式组先画出可行域，再根据目标函数中z的几何意义求最小值.

【详解】

由约束条件作出可行域如图，

联立 ，解得，

由目标函数得，

可知当直线经过点时，

其纵截距最大，最小，最小值为.

故选：D.

8．（2022·安徽安庆·二模（文））如图，在中，点在边上，且.过点的直线分别交射线、于不同的两点、.若，，则（       ）

A．有最小值 B．有最小值

C．有最大值 D．有最大值

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三点共线的结论可得出，再将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】

先证明结论：设为与、、不在同一直线外的一点，三点、、共线且.

若三点、、共线，可设，其中，

则，所以，，

设，则，

所以，三点、、共线且.

若且，则，

所以，，可得，故三点、、共线，

即三点、、共线且.

所以，三点、、共线且.

本题中，连接，

则，

因为、、三点共线，所以，由题意可知且，

于是，

当且仅当时，取到最小值.

故选：B.

9．（2022·全国·模拟预测（文））已知，条件，条件，则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

利用基本不等式证明充分性，利用特殊值证明必要性不成立，即可判断；

【详解】

解：因，由，得：，则，当且仅当时取等号，因此推得出，即充分性成立，

取，满足，但，即推不出，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，

故选 ：A

10．（2022·四川师范大学附属中学二模（文））已知O为坐标原点，点M的坐标为，点N的坐标满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

作出可行域，利用数量积的坐标表示得，令，利用直线纵截距的几何意义求解最小值.

【详解】

作出可行域如图所示，由题意，，令，由图可知，当直线过点A时，取最小值，联立 ，得，所以的最小值为.

故选：D

11．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数的一个极值点为1，若，则的最小值为（       ）

A．10 B．9 C．8 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可得，则，所以，化简后利用基本不等式可求得结果

【详解】

对求导得，

因为函数的一个极值点为1，

所以，

所以，

因为，

所以，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为9.

故选：B.

12．（2022·浙江温州·二模）已知正数a，b和实数t满足，若存在最大值，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

，分，和三种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.

【详解】

解：，

①当，即时，，则的最大值为1，符合题意；

②当，即时，

则，

所以，所以，当且仅当时取等号，

此时有最小值，无最大值，与题意矛盾；

③当，即时，

则，

当，即时，

，所以，

不妨设，则，即，

故，此时无最大值，与题意矛盾；

当，即时，

，所以，当且仅当时取等号，

此时有最大值，符合题意；

当，即时，

恒不成立，不符题意，

综上所述，若存在最大值，.

故选：C.

13．（2022·山西临汾·二模（文））已知正数a，b满足，则的最小值为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值.

【详解】

因为正数a，b满足，则

，当且仅当即时取等. 则的最小值为.

故答案为：.

14．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知，，.则的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据，即可得到，结合条件可建立关于的不等式，解关于的不等式即可得出的最小值,进而得出结果.

【详解】

因为，，

所以，当且仅当时等号成立，

即，

解得或（舍去）

所以的取值范围为.

故答案为：

15．（2022·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．

【答案】11

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得解.

【详解】

解：如图所示，画出可行域，

联立，解得，即，

由，得，

由图可知当直线经过点时，z取得最大值，最大值为11．

故答案为：11.

16．（2022·安徽安庆·二模（文））若，满足，且的最大值为14，则实数的值是___________.

【答案】2

【解析】

【分析】

画出可行域，依据线性规划的方法去求实数的值即可.

【详解】

画出表示的可行域如图

由得，则；

由得，则；

联立得，则

当直线经过点时，在y轴截距最大，即取最大值14，

则，所以

故答案为：2

17．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）在中，点F为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为___________.

【答案】12

【解析】

【分析】

由题得，且，再利用基本不等式求解.

【详解】

解：∵，且点F在线段上，则，且，

则，

当且仅当时等号成立.

所以的最小值为12.

故答案为：12

18．（2022·重庆·高三阶段练习）已知，且，则的最小值为__________.

【答案】2

【解析】

【分析】

由为，转化，结合均值不等式，即得解

【详解】

因为，所以

=2，

当且仅当，即，即时，等号成立.

故答案为：2

19．（2022·湖南·一模）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为_________．

【答案】1

【解析】

【分析】

由得，代入，变形后根据基本不等式即可求的最大值以及此时的条件，根据此条件即可求的最大值.

【详解】

由得，

故，当且仅当，即时取得最大值，

此时，

则，当时取得最大值

故答案为：1.

20．（2022·全国·高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为_______.

【答案】##

【解析】

【分析】

由题意，，故，结合均值不等式，即得解

【详解】

∵，且满足，

∴，

=，

当且仅当时，的最小值为.

故答案为：