专题17 圆锥曲线中的存在性问题-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用）

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专题17 圆锥曲线中的存在性问题
一、解答题
1．已知在平面直角坐标系中，直线过点，且与抛物线：交于，两点.
（1）求证：；
（2）在轴上是否存在定点，无论直线的斜率为何值，向量与始终共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到两点的距离之和为4.
（1）试判断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程；
（2）已知直线与圆交于､两点，与曲线交于､两点，其中､在第一象限.为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出；不存在，说明理由.
3．设椭圆的离心率，焦距为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的动直线交椭圆于两点，为直线上的一点，是否存在直线与点P，使得恰好为等边三角形，若存在求出的面积，若不存在说明理由．
4．已知点，，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）问在第一象限内曲线上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．已知直线经过椭圆()左顶点和上顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线上存在一点，使得三角形为正三角形，求所在直线的方程.
6．已知椭圆的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线：的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为.
（1）当时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线过焦点，与抛物线交于、两点，若弦长等于的周长，求直线的方程；
（3）由抛物线弧和椭圆弧合成的曲线叫做“抛椭圆”，是否存在以原点为直角顶点，另两个顶点、落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由.
7．已知点，，的周长等于，点满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）是否存在过原点的直线与曲线交于，两点，与圆交于，两点（其中点在线段上），且，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
8．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足（O为坐标原点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
9．如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为，，其中的离心率为.

（1）求，的值.
（2）过点的直线与，分别交于点，（均异于点，），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
10．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线交于，两点，且．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）在轴上是否存在一点，使为正三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．已知椭圆的离心率为，且其左顶点到右焦点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点、在椭圆上，以线段为直径的圆过原点，试问是否存在定点，使得到直线的距离为定值？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说理由.
12．已知椭圆：（）过点，且焦距与长轴之比为.设，为椭圆的左､右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线：相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：直线与的斜率之积为定值；
（3）判断三点，，是否共线，并证明你的结论.
13．已知双曲线：，，，，，五点中恰有三点在上.
(1)求的方程；
(2)设是上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点，使得,若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
14．已知抛物线.
(1)过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）；
(2)过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点､，交直线于两点，求证：为常数
(3)已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
15．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且椭圆过点、，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求点P的坐标；
(3)设直线AP、BQ的斜率分别为、，是否存在常数，使得?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
16．
(1)求双曲线的方程；
(2)若对任意的，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围；
(3)若过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由.
17．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且满足．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在定点Q，使得，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
18．已知抛物线的准线为，直线交于，两点，过点，分别作上的垂线，垂足分别为，.
(1)若梯形的面积为，求实数的值；
(2)是否存在常数，使得成立?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由?
19．已知椭圆的短轴长是2，且离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知，若直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使恒成立，并说明理由．
20．如图，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点.又点 是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，.

(1)求椭圆的方程；
(2)直线交椭圆于､两点，判断是否存在直线，使点恰为的重心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21．已知椭圆的离心率为，圆与轴相切，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，是否存在直线使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
22．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面α相切，两个球分别与平面α相切于点，，丹德林（）利用这个模型证明了平面x与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面α截圆锥得的是焦点在x轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点V到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点Q的坐标为（，0），过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，直线BQ与直线交于点E，试问直线EA是否垂直于直线l？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由.
23．已知点F为抛物线E：的焦点，为E上一点，且．
(1)求抛物线E的方程．
(2)过E上动点A作圆N：的两条切线，分别交E于B，C（不同于点A）两点，是否存在实数t，使得直线BC与圆N相切．若存在，求出实数t的值，不存在，请说明理由．
24．已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点和.试判断是否平分线段（其中为坐标原点），并求当取最小值时点的坐标.
25．如图，椭圆：内切于矩形，其中，与轴平行，直线，的斜率之积为，椭圆的焦距为2.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上的点，满足直线，的斜率之积为，其中为坐标原点.若为线段的中点，则是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.
26．已知过点的动直线与抛物线交于点，抛物线的焦点为，当点横坐标为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)当直线变动时，轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
27．已知椭圆的两个焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．
28．已知双曲线的左顶点为，右焦点为F，点B在C上．当时．不垂直于x轴的直线与双曲线同一支交于P，Q两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线PQ过点F，在x轴上是否存在点N，使得x轴平分？若存在，求出点的N的坐标；若不存在，说明理由．
29．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分別为A、B，右焦点F，且椭圆过点、，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线AP、BQ的斜率分別为、，是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
30．已知椭圆离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，且为的重心，探究面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由
31．已知椭圆的离心率，点A，B，N分别为椭圆的左右顶点和上顶点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点直线与椭圆交于不同的，两点，且直线的斜率依次成等比数列.椭圆上是否存在一点，使得以为邻边的平行四边形的面积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
32．已知椭圆的上顶点为M､右顶点为N.(点O为坐标原点)的面积为1，直线被椭圆C所截得的线段长度为.
（1）椭圆C的标准方程；
（2）试判断椭圆C内是否存在圆，使得圆O的任意一条切线与椭圆C交于A，B两点时，满足为定值？若存在，求出圆O的方程；若不存在，请说明理由.
33．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为4，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

34．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的上､下顶点分别为，，左焦点为F，左顶点为A，椭圆过点，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F且斜率为的动直线l与椭圆C交于P､Q两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得x轴为的平分线？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
35．定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆，它们的长、短半轴长分别为和，若满足，则称为的级相似椭圆.已知椭圆为的2级相似椭圆，且焦点共轴，与的离心率之比为.
（1）求的方程.
（2）已知为上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为.
①证明：在处的切线方程为.
②是否存在一定点到直线的距离为定值?若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由.
36．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得. 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
37．已知椭圆，过的直线与椭圆交于两点，过的直线与椭圆交于两点.

(1)当的斜率是时，用表示出的值；
(2)若直线的倾斜角互补，是否存在实数，使为定值，若存在，求出该定值及，若不存在，说明理由.
38．已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上的一点，的周长为6，过焦点的弦中最短的弦长为3；椭圆的右焦点为抛物线的焦点．
(1)求椭圆与抛物线的方程；
(2)过椭圆的右顶点Q的直线l交抛物线于A、B两点，点O为原点，射线、分别交椭圆于C、D两点，的面积为，以A、C、D、B为顶点的四边形的面积为，问是否存在直线l使得？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由．
39．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，交轴于点.

(1)若直线的倾斜角为时，求的值；
(2)若点在第一象限，满足，求的值；
(3)在轴上是否存在定点，使得是一个确定的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
40．如图，椭圆的左､右焦点分别为､，过右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于M､N两点，动点P､Q分别在直线MN与椭圆C上.已知，的周长为.

(1)求椭圆C的方程；
(2)若线段PQ的中点在y轴上，求三角形的面积；
(3)是否存在以､为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上？若存在，求出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，说明理由.
41．设椭圆过，两点，为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由．
42．已知，分别是双曲线C：(，)的左、右焦点，，P是C上一点，，且.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点O作(O为坐标原点)，垂足为M.则在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
43．已知抛物线，直线交于、两点，且当时，.

(1)求的值；
(2)如图，抛物线在、两点处的切线分别与轴交于、，和交于，.证明：存在实数，使得.
44．设双曲线，点，为双曲线的左､右顶点，点为双曲线上异于顶点的一点，设直线，的斜率分别为，.
(1)证明：；
(2)若过点作不与轴重合的直线与双曲线交于不同两点，，设直线，的斜率分别为，.是否存在常数使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
45．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，过点且斜率不为零的直线交椭圆于不同的两点、，则在轴上是否存在定点，使得平分？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
46．已知椭圆的左右焦点分别是，，右顶点和上顶点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.
47．已知动圆过点（0，1），且与直线：相切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)点一动点，过作曲线E两条切线，，切点分别为，，且，直线与圆相交于，两点，设点到直线距离为．是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
48．如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上．

(1)求点的纵坐标的取值范围；
(2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值．
49．已知椭圆C：经过点，直线与椭圆C交于点M，N，且直线AM，AN斜率之积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C右焦点F的动直线l与椭圆C交于点P，Q（与左右顶点不重合），判断x轴上是否存在点E，使得直线EP，EQ关于x轴对称，若存在，求出点E坐标，若不存在，说明理由，
50．已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：，试问在x轴上是否存在一定点M，使得过M的直线交椭圆于P，Q两点，交l于N，且满足，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
51．已知椭圆的离心率为，点在圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C内一点的直线l的斜率为k，且与椭圆C交于M，N两点，设直线（O为坐标原点）的斜率分别为，若对任意k，存在实数，使得，求实数的取值范围．
52．已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
53．已知椭圆的焦点在轴上，右焦点为，且经过点且与x轴垂直的直线交椭圆于点，左顶点为.
(1)求椭圆的离心率和的面积；
(2)已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否过定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由．
54．在平面直角坐标系中，已知，，.动点与，的距离的和等于18，动点满足.动点的轨迹与轴交于，两点，的横坐标小于的横坐标，是动点的轨迹上异于，的动点，直线与直线交于点，设直线的斜率为，的中点为，点关于直线的对称点为.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)是否存在，使的纵坐标为0？若存在，求出使的纵坐标为0的所有的值；若不存在，请说明理由.
55．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆的离心率等于，抛物线的准线经过椭圆的一个焦点.椭圆与轴交于，两点，的横坐标小于的横坐标，是椭圆上异于，的动点，直线与直线交于点，设直线的斜率为，的中点为，点关于直线的对称点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在，使的纵坐标为0？若存在，求出使的纵坐标为0的所有的值；若不存在，请说明理由.
56．已知双曲线：过点，且的渐近线方程为.

(1)求的方程；
(2)如图，过原点O作互相垂直的直线，分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A，D在x轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.
①求四边形ACBD面积的取值范围；
②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由.
57．已知椭圆的左右焦点分别为，，为的上顶点，且.
(1)求的方程；
(2)过坐标原点作两直线，分别交于，和，两点，直线，的斜率分别为，.是否存在常数，使时，四边形的面积为定值？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.
58．在平面直角坐标系内，已知抛物线的焦点为，为平面直角坐标系内的点，若抛物线上存在点，使得，则称为的一个“垂足点”.
（1）若点有两个“垂足点”为和，求点的坐标；
（2）是否存在点，使得点有且仅有三个不同的“垂足点”，且点也是双曲线上的点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
59．已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点.
(1)证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
(2)设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点.问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点A？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
60．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当轴时，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
②求证：为定值.
61．设椭圆过点，两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，请说明理由.
62．在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点.若以为直径的圆O与以为直径的圆T内切.
(1)证明：为定值，并求点P的轨迹E的方程；
(2)设斜率为的直线l与曲线E相交于C、D两点，问在E上是否存在一点Q，使直线、与y轴所围成的三角形是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由.
63．已知点，在抛物线上，，分别为过点A，B且与抛物线E相切的直线，，相交于点．
条件①：点M在抛物线E的准线上；
条件②：；
条件③：直线AB经过抛物线的焦点F．
(1)在上述三个条件中任选一个作为已知条件，另外两个作为结论，构成命题，并证明该命题成立；
(2)若，直线与抛物线E交于C、D两点，试问：在x轴正半轴上是否存在一点N，使得的外心在抛物线E上？若存在，求N的坐标；若不存在，请说明理由
64．已知椭圆：（）的离心率为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上第一象限内的点，直线过点且与椭圆有且仅有一个公共点．
①求直线的方程（用，）表示；
②设为坐标原点，直线分别与轴，轴相交于点，，试探究的面积是否存在最小值．若存在，求出最小值及相应的点的坐标；若不存在，请说明理由．
65．已知椭圆，若下列四点_________中恰有三点在椭圆C上.
①；②.
(1)从①②中任选一个条件补充在上面的问题中，并求出椭圆C的标准方程；
(2)在（1）的条件下，设直线l不经过点且与椭圆C相交于A，B两点，直线与直线的斜率之和为1，过坐标原点O作，垂足为D（若直线l过原点O，则垂足D视作与原点O重合），证明：存在定点Q，使得为定值.