专题13 概率与统计-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用）

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专题13 概率与统计
一、单选题
1．投篮测试每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投中的概率为0.4，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（       ）
A．0.712 B．0.352 C．0.288 D．0.064
【答案】B
【解析】
【分析】
根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
该同学通过测试的概率，
故选：B
2．2022年北京冬奥会成功举办．中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中正确的是（       ）

A．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降
B．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加
C．2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等
D．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图表分别判断各选项.
【详解】
对于A，2016年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加，2018年至2021年同比增长率逐年下降，故A错误；
对于B，由条形图可知，2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故B正确；
对于C，由条形图可知，2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是2015年滑雪人次为万，2020年滑雪人次为万，同比增长基数差距大，同比增长人数不相等，故C错误；
对于D，由统计图可知，2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的增长率约为，故D错误，
故选：B.
3．2021年秋季河南省在高一推行新教材，为此河南省某市教育部门组织高中教师在暑假期间进行培训，培训后统一举行测试．随机抽取100名教师的测试成绩（满分100分）进行统计，得到如图所示的频率分布折线图，则下列说法正确（       ）

A．这100名教师的测试成绩的极差是20分
B．这100名教师的测试成绩的众数是90分
C．这100名教师的测试成绩的中位数是87.5分
D．这100名教师中测试成绩不低于90分的人数占比超过50%
【答案】C
【解析】
【分析】
根据频率分布折线图及其样本的数字特征即可解决.
【详解】
这100名教师的测试成绩的最高分和最低分都无法确定，则极差也不确定，选项不正确；
由图可知，这100名教师的测试成绩的众数为分，选项不正确；
设这100名教师测试成绩的中位数为，则，
解得，选项正确；
这100名教师中测试分数不低于90分的人数占100％=30％，选项不正确.
故选：.
4．“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品．2021年前三个季度的收人情况如图所示，已知直播间每个季度的总收入都比上一季度的总收入翻一番，则下列说法正确的是（       ）

A．该直播间第三季度服装收入低于前两个季度的服装收入之和．
B．该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的．
C．该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的．
D．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用条形统计图求解判断.
【详解】
设第一季度的总收入为，则第二季度的总收入为，第三季度的总收入为.
对于选项A，第一、二季度服装收入和为，第三季度服装收入为，故A错误；
对于选项B，第一季度化妆品收入为，第三季度化妆品收入为，第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的，故B错误；
对于选项C，第二季度的化妆品收入为，第三季度的化妆品收入为，第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的，故C正确；
对于选项D，第三季度总收入是第一季度总收入的倍，故D错误.
故选：C．
5．由表中三个样本点通过最小二乘法计算得到变量､之间的线性回归方程为：，且当时，的预报值，则（       ）

12

13

27
25

A．6 B． C．7 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可得，利用线性回归方程过样本中心可得，即得.
【详解】
由题可得，
∴，，又，
∴，
∴.
故选：D.
6．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，它是以直角三角形ABC两条直角边AC，BC为直径向外做两个半圆，以斜边AB为直径向内做半圆，三个阴影区域分别标记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．在此图内任取一点，此点取自Ⅰ区域的概率记为P（Ⅰ），取自Ⅱ区域的概率记为P（Ⅱ），取自Ⅲ区域的概率记为P（Ⅲ），则（       ）


A．P（Ⅰ）=P（Ⅱ）+P（Ⅲ）
B．P（Ⅰ）>P（Ⅱ）+P（Ⅲ）
C．P（Ⅰ）20>15>10，故众数位于区间，所以众数的估计值为.
故答案为：35
53．中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”［“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方］发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
将三药分别记为A、B、C，三方记为a，b，c，先求得两人选取药方包含基本事件个数，再求得两人选取药方完全不同包含基本事件个数，根据古典概率概率公式，即可得答案.
【详解】
将三药分别记为A、B、C，三方记为a，b，c，
选择一药一方的基本事件有{A，a}，{A，b}，{A，c}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{C，a}，{C，b}，{C，c}，
所以两人选取药方包含基本事件个数，
两人选取药方完全不同包含基本事件个数，
所以两人选取药方完全不同的概率.
故答案为：
54．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.
【答案】##0.6
【解析】
【分析】
利用条件概率公式即可得到结果.
【详解】
设“甲同学被选出”记为事件，“乙同学被选出”记为事件，
则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率.
故答案为：
55．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，由题可知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式即得.
【详解】
如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，
B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，
即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.
故答案为：
56．若某种水果的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为__________.（附：若，则，）
【答案】
【解析】
【分析】
分析可得，，利用原则结合参考数据可求得结果.
【详解】
由题意可得，，则，，
所以，
.
故答案为：.
57．某大学为了解喜欢看篮球赛是否与性别有关，随机调查了部分学生，在被调查的学生中，男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看篮球赛的人数占男生人数的，女生喜欢看篮球赛的人数占女生人数的.若被调查的男生人数为n，且有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，则n的最小值为______.
【答案】12
【解析】
【分析】
根据题意作出列联表，利用卡方公式直接计算，结合独立性检验的思想即可得出结果.
【详解】
由题意得到如下列联表：

喜欢看篮球赛
不喜欢看篮球赛
总计
男生


n
女生



总计
n



所以.
因为有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，
所以，即，.
又，，为整数，所以n的最小值为12.
故答案为：12
58．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对，再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对的个数m，最后再根据m来估计的值．假如统计结果是，那么的估计值为______．
【答案】3.2
【解析】
【分析】
表示的点构成一个正方形区域，x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对表示的点构成图中阴影部分，分别求出其面积，由几何概型概率公式求得其概率后可得．
【详解】
表示的点构成一个正方形区域，如图正方形（不含边界），x、y两数能与1构成钝角三角形满足条件，表示的点构成的区域是图中阴暗部分（不含边界），
因此所求概率为，．
故答案为：3.2

59．为了监控某种食品的生产包装过程， 检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.
附：若随机变量X服从正态分布，则.
【答案】19
【解析】
【分析】
根据正态分布的性质求出在之外的概率，从而得到，根据二项分布的期望公式得到不等式，解得即可；
【详解】
解：依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为；
故答案为：19
60．有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布，且，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据正态分布概率的对称性求出，再由独立重复试验的概率公式即可求解.
【详解】
由生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布，
可得正态分布曲线对称轴为，
所以，
所以恰好有3个尺寸在区间的概率为，
故答案为：.
四、解答题
61．无土栽培由于具有许多优点，在果蔬种植行业得到大力推广，无土栽培的类型主要有水培､岩棉培和基质培三大类.某农科院为了研究某种草苺最适合的无土栽培方式，种植了400株这种草苺进行试验，其中水培､岩棉培､基质培的株数分别为200，100，100.草苺成熟后，按照栽培方式用分层抽样的方法抽取了40株作为样本，统计其单株产量，数据如下：
方式
株数
单株产量（）
水培
岩棉培
基质培

x
4
3

5
3
z

4
2
2

1
y
0

(1)求x，y，z的值；
(2)若从这40株草苺中随机抽取2株，求这2株中恰有1株的单株产量不小于150的概率；
(3)以这40株草莓的不同单株产量的频率代替每一株草莓的产量为对应数值的概率，若从这400株草莓中随机抽取3株，用X表示单株产量在内的株数，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)x，y，z的值分别为10，1，5；
(2)；
(3)分布列答案见解析，数学期望：.
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样的性质进行求解即可；
（2）根据古典概型公式进行求解即可；
（3）根据二项分布的性质进行求解即可.
(1)
根据分层抽样可知，水培､岩棉培､基质培分别抽取的株数为20，10，10，
由，解得，
由，解得，
由，解得，
故x，y，z的值分别为10，1，5；
(2)
记“这2株中恰有1株的单株产量不小于150g”为事件A，
由表可知，单株产量不小于150g的共有株，
所以.
(3)
依题意可知，单株产量在内的概率为，
X的所有可能取值为0，1，2，3，则，
则，，
，，
其分布列如下：
X
0
1
2
3
P





所以.
62．十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，生产一件该款芯片有三道工序，每道工序的生产互不影响，这三道工序的次品率分别为，，．
(1)①求生产一件该芯片的次品率．
②试产100件该芯片，估计次品件数的期望．
(2)某手机生产厂商将该款芯片投入到某新款手机上使用，并对部分芯片做了技术改良，推出了两种型号的手机，甲型号手机采用没有改良的芯片，乙型号手机采用改良了的芯片，现对使用这两种型号的手机用户进行回访，就他们对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用甲型号手机的有30人，其中对开机速度满意的有15人；使用乙型号手机的有70人，其中对开机速度满意的有55人．完成下列列联表，并判断是否有99.%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度的满意度有关．

甲型号
乙型号
合计
满意



不满意



合计




附：，．

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】(1)①；②15件
(2)列联表见解析，有99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度满意度有关
【解析】
【分析】
（1）①根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得；
②依题意生产的100件该款芯片中次品的件数，则，根据二项分布的期望公式计算可得；
（2）依题意填写列联表，计算出卡方，再与参考值比较即可判断；
(1)
解：①因为生产一件芯片为次品的对立事件为“芯片在三道工序中都为合格品”，
所以．
②生产的100件该款芯片中次品的件数，则，
所以，所以估计试产的100件该芯片中次品有15件．
(2)
解：列联表如下：

甲型号
乙型号
合计
满意
15
55
70
不满意
15
15
30
合计
30
70
100

因为，
所以有99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度满意度有关．
63．近年来，国民经济的增长和社会结构的变化推动宠物饲养成为很多人精神消费的主要方式，使得近几年中国宠物市场规模逐年增长，下表为2016～2020年中国宠物市场规模y（单位：千亿元），其中2016～2020年对应的年份代码x依次为1～5．
年份代码x
1
2
3
4
5
宠物市场规模y/千亿元
1.22
1.34
1.78
2.21
2.95

(1)由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测2022年中国宠物市场规模．
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】(1)说明见解析
(2)，市场规模为3.632千亿元
【解析】
【分析】
（1）根据参考数据、参考公式计算相关系数，即可得出结论；
（2）根据参考数据计算，再由直线过求出，即可得出回归直线方程，代入可预测2022年中国宠物市场规模.
(1)
由题意得，，，，，
，
∴．
因为y与x的相关系数近似为0.971，趋近于1，说明y与x的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系；
(2)
由（1）得，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
2022年对应的年份代码为7，代入，
得，
所以预测2022年中国宠物市场规模为3.632千亿元．
64．2021年7月，中共中央办公厅､国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称“双减”政策）.某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.

(1)求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；
(2)从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】
【分析】
（1）先由统计图得到参与课后服务次数分别为2，3，4，5的人数，再利用平均数的计算公式求解即可；
（2）先写出X的所有可能取值，再求出每个取值对应的概率，列出分布列，利用数学期望的公式计算即可.
(1)
由统计图可知，25名教师中，参与课后服务2次的有4人，参与课后服务3次的有5人，参与课后服务4次的有10人，参与课后服务5次的有6人，
所以这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数为.
(2)
由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





所以X的数学期望.
65．血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性（即样本携带病毒）的概率均为.现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
(1)若，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列；
(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p的取值范围，
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意知，，利用二项分布的概率计算公式即可求解；
（2）方案一中，期望为4；方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，计算出Y的取值对应的概率，然后根据期望公式求出，从而即可求解.
(1)
解：由题意知，，
则；；
；；
.
则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P






(2)
解：方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4；
方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，
每组两个样本化验呈阴性的概率为，设，
则；；.
所以，
若方案二比方案一更“优”，则，解得，
即，解得.
所以当时，方案二比方案一更“优”.
66．足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.
(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望.
(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为，乙队每名球员射进点球的概率为.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.
【答案】(1)分布列见解析，期望为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据题意，即可计算分布列及期望；
（2）“甲VS乙：3:0”记为事件， “甲VS乙：3:1”记为事件，此两互斥事件的和即为所求事件，分别计算两事件的概率，求和即得解.
(1)
依题意，，的可能取值为：0,1,2,3，
；
.
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





.
(2)
记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A.
依题意知：在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数比为:“甲VS乙：3:0”记为事件，或“甲VS乙：3:1”记为事件，则，且与互斥.
依题意有：，

，
.
67．根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不影响.
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，甲比乙闯关成功的可能性大
【解析】
【分析】
（1）可分析出“乙闯关”属于独立重复实验，直接求概率；
（2）直接求出甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，再求出甲闯关成功的概率，比较甲、乙闯关成功的概率，即可下结论.
(1)
记乙闯关成功为事件A，
所以.
(2)
由题意知随机变量X是所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P





所以.
所以甲闯关成功的概率为，
因为，
所以甲比乙闯关成功的可能性大.
68．某工厂生产一种产品，由第一､第二两道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A，B两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产品的等级：两道工序的加工结果均为A级时，产品为一等品；两道工序恰有一道.工序加工结果为B级时，产品为二等品；其余均为三等品.每一道工序加工结果为A级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示：
表一
工序
第一工序
第二工序
概率
0.8
0.6

表二
等级
一等品
二等品
三等品
利润
50
20
10

(1)用（万元）表示一件产品的利润，求的分布列和均值；
(2)工厂对于原来的生产线进行技术升级，计划通过增加检测成本对第二工序进行改良，假如在改良过程中，每件产品检测成本增加万元（即每件产品利润相应减少万元）时，第二工序加工结果为A级的概率增加，问该改良方案对一件产品的利润的均值是否会产生影响？并说明理由.
【答案】(1)分布列答案见解析，
(2)该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意的可能取值为50，20，10，分别求出其概率得分布列，再由期望公式计算出期望；
（2）设改良后一件产品的利润为，同（1）求出的各可能取值的概率，计算出期望，由期望函数与比较可得结论．
(1)
由题意可知，的可能取值为50，20，10，
产品为一等品的概率为0.8×0.6=0.48，
产品为二等品的概率为0.8×0.4+0.2×0.6=0.44，
产品为三等品的概率为1-0.48-0.44=0.08，
所以的分布列为

50
20
10

0.48
0.44
0.08

.
(2)
改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由如下：
由题意可知，改良过程中，每件产品检测成本增加万元时，第二工序加工结果为级的概率增加，
设改良后一件产品的利润为，则可能的取值为，，，
所以一等品的概率为，
二等品的概率为，
三等品的概率为，
所以
，
因为在上单调递增，故当时，取到最大值为40，
又因为，
所以该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响.
69．微信小程序“党史知识竞赛”中的“答题竞赛”板块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛.甲，乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记-1分.设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为，乙单位全部答对的概率为，甲，乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响.
(1)经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望；
(2)若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率.
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)
【解析】
【分析】
（1）理解题意，列出随机变量X所有可能的取值，然后相互独立事件的性质求解即可.
（2）通过列举法列出3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的所有情况，然后利用小问（1）中所得的结果进行计算.
(1)
由题意X的取值可能为，0，1，
则，
，
，
那么X的分布列为：
X

0
1
P




.
(2)
第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）：
；；；，
所以.
70．为弘扬中国传统文化，某电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易､中､难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次.四轮答题得分总和不低于10分进入决赛.选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：

容易题
中等题
难题
答对概率
0.6
0.5
0.3
答对得分
3
4
5

(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；
(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题､两个中等题､一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为，求随机变量的数学期望.
【答案】(1)选择容易题进行答题，理由见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案：即都选择容易题，都选择难题，选择一个容易题、一个难题，分别求出总得分不低于10分的概率，即可判断；
（2）依题意的可能取值为、、、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列，再求出数学期望即可；
(1)
解：依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案：
方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为；
方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为；
方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为；
因为，所以后两轮应该选择容易题进行答题；
(2)
解：依题意的可能取值为、、、、、，
则，，
，，
，，
所以的分布列为：















所以
71．北京时间2022年2月6日，中国女足在0-2落后的情况下，最终以3-2逆转绝杀韩国女足，时隔16年再次问鼎亚洲之巅，成为亚洲唯一一支亚洲杯九冠王球队，为此全民又掀起了足球热潮．为了响应习总书记关于深化足球体制改革，大力发展青少年足球，落实到每个地区每一所学校的号召，哈三中成立了校足球队，其中守门员2人，前锋4人，中场10人，后卫6人，其中每个前锋射门的平均命中率都是，每个中场球员射门的平均命中率都是，每个后卫射门的平均命中率都是，且每位队员射门是否命中相互独立．
(1)为了备战一场友谊赛，现从前锋、中场、后卫中各随机选一人组成一个射门训练小组，该小组每个人射门一次为一轮训练，若该小组三人均射进则奖励3个哈三中百年校庆纪念版校徽，若只有两人射进则奖励1个校徽，其他情况不奖励，设随机变量表示该小组一轮训练所得的校徽数，求的分布列及数学期望；
(2)为了强化队员们的射门能力，现从前锋、中场、后卫队员中随机选3人进行射门特训，求这3个人里中场球员的人数比前锋人数多的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望是
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先由题意可知，再根据题意分别求概率，列分布列和数学期望；
（2）首先列举3个人里中场球员的人数比前锋人数多的事件，再求概率.
(1)
由条件可知，
，，
；
分布列如下：

0
1
3





；
(2)
设事件是3人中有3人是中场，，
事件是3人中有2人都是中场，，
事件是3人中1人是中场，2人是后卫，,
所以3个人里中场球员的人数比前锋人数多的概率
.
72．某企业有生产能力相同的甲、乙两条生产线，生产成本相同的同一种产品.为保障产品质量，质检部门分别从这两条生产线上各随机抽取100件产品，并检测其某项质量指标值.根据该质量指标值对应的产品等级，统计得到甲、乙生产线的样本频数分布表如下：
质量指标值






等级
次品
二等品
一等品
二等品
三等品
次品
甲生产线（件）
2
19
40
24
14
1
乙生产线（件）
2
16
50
12
19
1

(1)根据样本频数分布表，估计乙生产线的该质量指标值的中位数；
(2)该企业为了守法经营，将所有次品销毁，每销毁一件次品的费用为10元.已知一、二、三等品的售价分别为120元/件、90元/件、60元/件.为响应政府拉闸限电的号召，企业计划关停一条生产线.视频率为概率，若您是企业的决策者，根据生产线效益的差异情况，您应关停哪条生产线，并说明理由.
【答案】(1)；
(2)应关停甲生产线，详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据样本频数分布表可得，即得；
（2）分别计算两个生产线生产一件产品的平均收入，即可.
(1)
∵乙生产线抽取了100件产品，由样本频数分布表可知，质量指标值位于前两组的频数为18，前三组的频数为68，
∴中位数位于第三组，设乙生产线的该质量指标值的中位数为x，则
，
解得，
∴乙生产线的该质量指标值的中位数为；
(2)
由题可得甲生产线生产次品的概率为，一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
设甲生产线生产一件产品的收入为X，则
（元），
乙生产线生产次品的概率为，一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
设乙生产线生产一件产品的收入为Y，则
（元）（元），
∴甲生产线生产一件产品的平均收入低于乙生产线生产一件产品的平均收入，应关停甲生产线.
73．2021年10月12日中华人民共和国主席习近平在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“＇万物各得其和以生，各得其养以成.＇生物多样性使地球充满生机，也是人类生存和发展的基础.保护生物多样性有助于维护地球家园，促进人类可持续发展.”中国大力推进生物多样性保护和恢复，完善政策法规，改善生态环境质量，划定生态保护红线，建立国家公园体系，实施长江十年禁渔，不断加大监管和执法力度，积极履行国际公约义务，全社会生物多样性保护意识不断增强，参与度不断提升，生物多样性下降势头得到基本控制，生态系统稳定性明显增强.某兴趣小组在开展昆虫研究时，设计了如下实验：在一个不透明的密封盒子中装有蝴蝶、蜜蜂等多种昆虫共2n(n≥4，n∈N)只.现在盒子上开一小孔，每次只能飞出一只昆虫，且任意一只昆虫都等可能地飞出.
(1)若盒子中共有8只昆虫，从中任意飞出2只昆虫时，飞出的恰好有1只是蜜蜂的概率为，
①求蜜蜂的只数；
②从盒子中任意飞出3只昆虫，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与期望;
(2)若盒子中的昆虫有一半是蝴蝶时，求“从盒子中任意飞出2只昆虫，至少有1只蝴蝶飞出”的概率最大值.
【答案】(1)①蜜蜂共有4只，②分布列见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）①设盒子中蜜蜂的只数为x()，则由题意可得，从而可求出，②由题意可得随机变量X的取值为0，1，2，3，然后求出各自对应的概率，从而可得分布列和数学期望，
（2）记“任意飞出两只昆虫，至少有1只是蝴蝶”为事件B，则可得，化简后可求得其最大值
(1)
①记“从盒子中先后任意飞出两只昆虫，恰有1只蜜蜂”为事件A，设盒子中蜜蜂的只数为x()，则，解得，故蜜蜂共有4只，
②随机变量X的取值为0，1，2，3




故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





E(X)=
(2)
记“任意飞出两只昆虫，至少有1只是蝴蝶”为事件B，则事件为“任意飞出两只昆虫，其中没有蝴蝶”：
，
当时，.
74．为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：
男生
81
84
86
86
88
91
女生
72
80
84
88
92
97

(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
(2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取学生，成绩为89分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小.（只需写出结论）
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，；
(3).
【解析】
【分析】
（1）由古典概型的列举法求男生成绩高于女生成绩的概率.
（2）由题设，成绩优秀人数可取且服从分布，应用二项分布的概率求法求各可能值的概率，即可写出分布列，进而求期望即可.
（3）应用方差公式求出、、，进而比较它们的大小关系.
(1)
设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A，
由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有种组合，
其中男生成绩高于女生，，，，.
所以事件A有17种组合 ，因此；
(2)
由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（>90分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为.
因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数可取且 ,
，，，
所以随机变量的分布列

0
1
2
3






数学期望.
(3)
男生的平均成绩为，则；
女生的平均成绩为，则；
由于从参加活动的男生中抽取成绩为89分的学生组成新的男生样本，
所以，则；
所以.
75．某单位组织“新型冠状病毒”相关知识抢答竞赛，甲，乙两人分别代表各自科室参加，竞赛共有五道题目，对于每道题规定；抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜，比赛结束，若每次出题甲，乙两人抢到答题机会的概率都是，甲，乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人每道题是否回答正确均相互独立.
(1)求甲先得1分的概率；
(2)求甲获胜的概率；
(3)若将抢答5道题改为抢答3道题，先得3分获胜改为先得2分获胜，其余条件不变，则规则的修改对甲是否有利，请说明理由？
【答案】(1)
(2)
(3)对甲更有利，理由见解析
【解析】
【分析】
考虑甲先得1分分为甲抢到答题并且答对，或者是乙抢到并且答错两种情况，分别计算概率即可；
可以将甲答对看做一次独立实验，考虑甲胜利需要几次这样的独立实验即可；
与(2)相同，只是次数会变少.
(1)
设每道题的抢答中，记甲得1分为事件.
发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，
∴，
∴ 甲率先得1分的概率为.
(2)
由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率分别为，，
设两人共抢答了道题比赛结束，且甲获胜.
根据比赛规则，的所有可能取值分别为3，4，5，
则，
，
，
则甲获胜的概率.
(3)
由（1）（2）知改变规则后甲获胜的概率

，
∴甲获胜的概率变大了，对甲更有利.
76．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品；当时，产品为三级品．现用两种新工艺（分别称为A工艺和B工艺）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）．
A工艺的频数分布表：
指标值分组




频数
10
30
40
20

B工艺的频数分布表：
指标值分组





频数
5
10
15
40
30

(1)若从B工艺产品中有放回地随机抽取4件，记“抽出的B工艺产品中至多有2件二级品”为事件C，求事件C的概率；
(2)若两种新产品的利润率y与质量指标值k满足如下关系：（其中），应用统计知识，请你说明最好投资哪种工艺？
【答案】(1)
(2)答案详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用对立事件的概率公式来求得事件的概率.
（2）分别求得，利用差比较法，对进行分类讨论来进行说明.
(1)
抽中二级品的概率，没抽中二级品的概率，
所以抽出的工艺产品中至多2件二级品的概率．
(2)
的分布列为：
y
t

P
0.6
0.4

则，
的分布列为：
y
t


P
0.7
0.25
0.05

则，
所以，
当时，，从长期来看，投资工艺的产品平均利润率较大，最好投资工艺；
当时，，从长期来看，投资工艺和工艺的产品平均利润率相等，投资工艺或工艺均可；
当时，，从长期来看，投资工艺的产品平均利润率较大，最好投资工艺．
77．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至20日在北京举行.践行“绿色奥运､科技奥运､人文奥运”理念，举办一届“有特色､高水平”的奥运会，是中国向世界的庄严承诺.为宣传北京冬奥会，某市开展了冬奥知识竞答活动.从参与的市民中随机抽取100人，统计他们的竞答成绩得到下面的列联表（单位：人）.

成绩合格
成绩不合格
合计
男性
40

50
女性

20

合计




(1)完成列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关？
(2)将频率视为概率，从该市所有参与冬奥知识竞答的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中成绩合格的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.
参考公式：

0.10
0.05
0.010
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879

【答案】(1)列联表答案见解析，有95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关
(2)期望，方差
【解析】
【分析】
（1）根据已知数据可得列联表，计算后可得结论；
（2）由题意得，由二项分布的期望公式和方差公式计算可得．
(1)
完成列联表（单位：人）：

成绩合格
成绩不合格
合计
男性
40
10
50
女性
30
20
50
合计
70
30
100

由列联表，的观测值，
∴有95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关.
(2)
从参与的市民中随机抽取100人，有70人竞答成绩合格，所以成绩合格的频率为0.7，将频率视为概率，从该市所有参与活动的市民中随机抽取一人，恰好抽到成绩合格的市民的概率为0.7，
由题意知，
∴随机变量X的数学期望，
方差.
78．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64.

(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；
(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
参考数据：若，则，，.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【解析】
【分析】
（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．
（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量的所有可能的取值，计算出每个对应的概率，列分布列，求期望即可．
（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到，再根据其对称性处理即可．
(1)
解：这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即
(2)
解：结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组中在，这一区间内的车辆数，即，所以的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以，，，，，
所以的分布列为：

0
1
2
3
4







所以．
(3)
由（1）得，
，
所以，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，
由，，得，
所以估计在在之间通过的车辆数为辆．
79．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p（0