专题18 圆锥曲线中的求范围及最值问题-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用）

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专题18 圆锥曲线中的求范围及最值问题
一、单选题
1．已知双曲线的左，右焦点分别为，点，若C的右支上的任意一点M满足，则C的离心率的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
2．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（       ）
A． B．2 C． D．4
3．双曲线：的离心率为，点是的下焦点，若点为上支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知点M为抛物线上的动点，过点M向圆引切线，切点分别为P，Q，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．1
6．已知是双曲线的左右焦点，点在双曲线的右支上，点是平面内一定点，若对任何实数，直线与双曲线至多有一个公共点，则的最小值（       ）
A． B． C． D．
7．已知A､B是椭圆（）长轴的两端点，P､Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为，（），若椭圆的离心率为，则的最小值为（       ）
A．2 B． C．1 D．
8．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线：焦点为，是抛物线上一点，且点到抛物线的准线的距离为3，点在抛物线上运动，则点到直线：的最小距离是（        ）
A． B． C．1 D．
10．已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的一条渐近线为直线，的右顶点坐标为．若点是双曲线右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（       ）
A． B．
C． D．
12．直线与椭圆相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
13．设抛物线的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（       ）
A． B． C． D．
14．已知、为椭圆的左、右焦点，M为上的点，则面积的最大值为（       ）
A． B．2 C． D．4
15．已知点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
16．由双曲线上一点P向其渐近线作垂线，垂足分别为S，T，则四边形OSPT的周长的最小值为（       ）．
A．2 B．4 C． D．8
17．已知，P分别是抛物线上的一个定点和动点，是另一个定点，点P到直线的距离为d，则的最小值为（       ）
A．2 B． C． D．
18．已知抛物线的焦点到准线距离为2，点是抛物线上的动点，，点为动点，且，且，则的最小值为（       ）
A．8 B．9 C．11 D．12
19．已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（       ）
A．10 B．9 C．8 D．2
20．已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
21．已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（       ）
A． B．1 C． D．
22．已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为上的动点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
23．已知双曲线：的一条渐近线的方程为，且过点，椭圆：的焦距与双曲线的焦距相同，且椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交于，两点，若点，则下列说法中正确的有（       ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的实轴长为
C．点的横坐标的取值范围为
D．点的横坐标的取值范围为
24．已知点，是抛物线上的两个不同的点，为坐标原点，焦点为，则（     ）
A．焦点的坐标为 B．若，则过定点
C．若直线过点，则 D．若直线过点，则的最小值为16
25．已知抛物线的焦点为F，设直线与抛物线C交于A，B两点，当直线l经过点F时，.设圆F为以点F为圆心，OF为半径的圆（O为坐标原点），则下列说法正确的是（     ）
A．抛物线的C的方程为
B．直线l截圆F的弦长的最小值为
C．直线l截圆F的弦长的最大值为2
D．当时，取到最小值
26．已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（       ）
A．椭圆的长轴长为
B．椭圆的离心率
C．△的周长为
D．的取值范围为
27．已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（       ）
A．的实轴长为6
B．的渐近线为
C．的最小值为
D．的最小值为
28．已知椭圆（）的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点．若的最大值为5，则下列说法正确的是（       ）
A．椭圆的短轴长为
B．当取最大值时，
C．离心率为
D．的最小值为2
29．已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（       ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为时，的最大值为
C．存在点使得
D．的最小值为1
30．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（       ）
A．弦的中点轨迹是圆
B．直线的交点在定圆上
C．线段长的最大值为
D．的最小值
三、填空题
31．双曲线为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围_______．
32．已知抛物线，其焦点为点，点是拋物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.
33．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
34．过抛物线的焦点作两条相互垂直的直线、，若 和分别交该抛物线于、和、两点，则的最小值为_______．
35．已知，，O为坐标原点，若在抛物线上存在点N，使得，则的取值范围是___________.
36．已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为___________.
37．已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上任意一点，过作的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点Q.抛物线上有一点M，它在x轴上的射影为点H，则的最小值是________.
38．已知P是椭圆上的动点，且不在坐标轴上，，是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的角平分线上一点，且，则的取值范围是______．
39．设点是椭圆：上的动点，点是圆：上的动点，且直线与圆相切，则的最小值是______.
40．直线经过抛物线的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，过原点的直线经过弦的中点D，并且与抛物线交于点E（异于原点），则的取值范围是___________.
41．如图，椭圆的左、右焦点分别为、，过点、分别作弦、．若，则的最小值为______．

42．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是______．
43．过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则线段长度的最小值为__________.
44．已知抛物线的方程为，圆C：，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足，则的最小值是______.
45．已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的动点（不在轴上），是原点，是的重心，则直线斜率的最大值是___．
46．已知点是曲线上任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，点是曲线上任意一点，则的最小值为___________.
47．已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是___________.

48．曲线C上任意一点P到点的距离比到y轴的距离大1，A，B是曲线C上异于坐标原点O的两点，直线OA，OB的斜率之积为，若直线AB与圆交于点E，F，则的最小值是___________.
四、解答题
49．如图，已知椭圆的左顶点为，焦距为，过点的直线交椭于点M，N，直线BO与线段AM、线段AN分别交于点P，Q，其中O为坐标原点．记△OMN，△APQ的面积分别为，．

(1)求椭圆的方程；
(2)求的最大值．
50．平面直角坐标系中，已知直线与抛物线相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设A，B，P为抛物线C上的三个点，若直线与l平行，线段的中点为M，点N在x轴上且，求面积的取值范围．
51．已知椭圆的离心率为，椭圆的中心到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的右焦点且斜率为的直线和椭圆交于两点，对于椭圆上任意一点，若，求的最大值.
52．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q为椭圆C上任意两点，且点P，，Q三点共线，若三角形的周长为8，离心率.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C外切于矩形，求矩形面积的最大值.
53．已知抛物线，点，过点M的直线与抛物线C交于点，，且.过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为N.
(1)证明：点N的纵坐标为定值；
(2)若点N的横坐标为1，点D为抛物线C夹在点A，B之间部分上的任意一点（不与点A，B重合），过点D作抛物线的切线与直线NA､直线NB分别交于P，Q两点，求△NPQ面积的最大值，并求出△NPQ的面积取最大值时点D的坐标.
54．已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，椭圆C的左、右焦点分别为，且到直线的距离为，若直线l与C有且只有一个公共点P，且点P不在x轴上，过点作l的垂线，垂足为Q，
(1)求椭圆C的方程；
(2)求面积的最大值．
55．已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，直线过点与抛物线相交于，两点（点位于第一象限）.
(1)求证：为定值；
(2)过点作的平行线与抛物线相交于另一点，求点横坐标的取值范围.
56．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点为，，直线与椭圆交于，两点．已知周长的最大值为，且当，时，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设的面积为，若，求的取值范围．
57．在平面直角坐标系中，一条动直线l与双曲线的左支、右支分别交于点A，B，与双曲线的上支交于点C，D，点C在A，D之间．
(1)证明：；
(2)若C，D为AB的三等分点，求直线l与点的距离的最小值．
58．已知椭圆： 的离心率为，长轴的右端点为．
(1)求的方程；
(2)直线与椭圆分别相交于两点，且，点不在直线上.
①试证明直线过一定点，并求出此定点；
②从点作垂足为，点，写出的最小值（结论不要求证明）．
59．已知抛物线C：，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切点．
(1)若点N的纵坐标为，求证：直线AB恒过定点；
(2)若，求△ABN面积的最大值（结果用m表示）．
60．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3，
(1)求抛物线C的方程和点A的坐标；
(2)设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若，求斜率k的取值范围．
61．如图，平行四边形的顶点在曲线：上，顶点在曲线：上，直线方程为.

(1)用表示；
(2)求直线在轴上的截距的最大值.
62．已知抛物线的准线为，点在上，且到的距离与到原点的距离相等.
(1)求的方程；
(2)是上异于原点的四个动点，且，若，垂足分别为，求的最大值.
63．已知椭圆：（）过点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆上的点（）的直线与，轴的交点分别为，，且，过原点的直线与平行，且与交于，两点，求面积的最大值.
64．已知椭圆，其右焦点为，点M在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围.
65．已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线的垂线，交曲线于点（异于点），求面积的最大值.
66．在直角坐标系中，抛物线与直线交于P，Q两点，且.抛物线C的准线与x轴点交于点M，G是以M为圆心，为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求面积的取值范围.
67．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设是椭圆C上第一象限的点，直线过P且与椭圆C有且仅有一个公共点.
①求直线的方程（用，表示）；
②设O为坐标原点，直线分别与x轴，y轴相交于点M，N，求面积的最小值.
68．已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线分别交于，求四边形面积的最大值.
69．已知曲线由和两部分组成，所在椭圆的离心率为，上、下顶点分别为，右焦点为与轴相交于点，四边形的面积为.
(1)求的值；
(2)若直线与相交于两点，，点在上，求面积的最大值.
70．已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上不同于，的一点，直线，与直线分别交于点．若，求点横坐标的取值范围．
71．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，在椭圆E上任取一点P，的周长为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点P关于原点的对称点为Q，过右焦点F2作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A、B两点，求的取值范围．
72．已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为8．
(1)求抛物线M的方程；
(2)若点Q在C上，QA，QB为M的两条切线，A，B是切点（A在B的上方），求面积的最小值．
73．设椭圆，点，为E的左、右焦点，椭圆的离心率，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)M是直线上任意一点，过M作椭圆E的两条切线MA，MB，（A，B为切点）．
①求证：；
②求面积的最小值．
74．点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)记点P的轨迹为曲线C，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，原点O到l的距离为，求的取值范围．
75．点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)记点P的轨迹为曲线C，直线l与x轴的交点M，直线PF与曲线C的另一个交点为Q．求四边形OPMQ面积的最大值．（O为坐标原点）
76．已知椭圆C：经过点，其右顶点为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为.求面积的最大值.
77．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点.
(1)证明：以为直径的圆与直线相切；
(2)设（1）中的切点为为坐标原点，直线与的另一个交点为，求面积的最小值.
78．已知椭圆的左右焦点分别为，，其离心率，过左焦点的直线l与椭圆交于A，B两点，且的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图过原点的直线与椭圆C交于E，F两点（点E在第一象限），过点E作x轴的垂线，垂足为点G，设直线与椭圆的另一个交点为H，连接得到直线，交x轴于点M，交y轴于点N，记、的面积分别为，，求的最小值.
79．已知点在曲线上.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过原点的直线与（1）中的曲线交于、两点，求的最大值与最小值.
80．椭圆，A，B为其左右顶点，G点坐标为，c为椭圆的半焦距，且有，椭圆E的离心率.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H在直线上，求面积的最大值.
81．已知椭圆C：（，）的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点P（2，1）．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为，，且，当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程．
82．如图，圆与抛物线相交于点、、、，且．

(1)若抛物线的焦点为，为其准线上一点，是坐标原点，，求抛物线的方程；
(2)设与相交于点，与组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积为，求点的坐标及的最大值．
83．已知曲线C上任一点到点的距离比它到直线的距离小2．经过点的直线l与曲线C交于A，B两点．
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C在点A，B处的切线交于点P，求面积的最小值．
84．已知椭圆的右焦点为F，过点F且不垂直于x轴的直线交C于两点，分别过作平行于x轴的两条直线，设分别与直线交于点，点R是的中点.
(1)求证：；
(2)若与x轴交于点D（异于点R），求的取值范围.
85．已知是抛物线上一点，是轴上的点，以为圆心且过点的圆与轴分别交于点、，且当圆与轴相切时，到抛物线焦点的距离为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设线段、长度分别为、，求的取值范围．
86．已知曲线上任一点到点的距离等于该点到直线的距离．经过点的直线与曲线交于、两点．
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线在点、处的切线交于点，求面积的最小值．
87．已知双曲线C：的左右顶点分别为，，两条准线之间的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值．
88．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线1与抛物线C相交于A､B两点，过A､B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P.求面积的最小值.
89．已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A， B两点，且ABF1的周长为4.
(1)求Γ的方程；
(2)若AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，直线AN与BM交于点C，求ABC面积的最大值．
90．已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为.

(1)求抛物线的方程；
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求面积的最小值.
91．已知抛物线的焦点为F，A，B是该抛物线上不重合的两个动点，O为坐标原点，当A点的横坐标为4时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)以AB为直径的圆经过点，点A，B都不与点P重合，求的最小值．
92．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)P为椭圆C的右顶点，设直线与椭圆C交于异于点P的两点，且，求的最大值.
93．已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于，求的取值范围.
94．在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆：相切，另外，椭圆：的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于C，D两点．且．
(1)求圆的方程与椭圆的方程；
(2)经过圆上一点P作椭圆的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆相交于M，N两点（异于点P），求△OAB的面积的取值范围．
95．如图，已知椭圆内切于矩形ABCD，对角线AC，BD的斜率之积为，过右焦点的弦交椭圆于M，N两点，直线NO交椭圆于另一点P．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，且，求面积的最大值．