专题07 导数综合题-备战2022年天津高考数学真题模拟题分类汇编

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专题07 导数综合题-备战2022年天津高考数学真题模拟题分类汇编
1．（2021•天津）已知，函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）证明函数存在唯一的极值点；
（3）若，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）见解析（3），
【详解】（1）解：因为，所以，而，
所以在，处的切线方程为；
（2）证明：令，则，
令，则，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，当时，，
作出图象

所以当时，与仅有一个交点，令，
则，且，
当时，，，为增函数；
当时，，，为减函数；
所以时的极大值点，故仅有一个极值点；
（3）解：由（2）知，
此时，，
所以，
令，
若存在，使对任意的恒成立，
则等价于存在，使得，即，
而，，
当时，，为单调减函数，
当时，，为单调增函数，
所以（1），故，
所以实数的取值范围，．
2．（2020•天津）已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（ⅱ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，，，且，有．
【答案】（1）（2）函数在上单调递减，在上单调递增，是极小值点，极小值为，无极大值；（3）见解析
【详解】当时，，
故，
（1），
（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，即．
，，
，
令，解得，
当，，
当，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
是极小值点，极小值为（1），无极大值
证明：（Ⅱ）由，则，
对任意的，，，且，令，，
则，
，
，①
令，，
当时，，
在单调递增，
当，（1），即，
，，，
，②，
由（Ⅰ）可知当时，（1）
即，③，
由①②③可得，
当时，对任意的，，，且，有．
3．（2021•宝坻区一模）已知，．
（1）求在处的切线方程及极值；
（2）若不等式对任意成立，求的最大整数解．
（3）的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：．
【答案】（1），，无极大值；（2）9；（3）见解析
【详解】（1），定义域是，
，（1），（1），
故切线方程是：，即；
，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
，无极大值；
（2）若不等式对任意成立，
则，，
令，则，在递增，
且（3），（4），故存在，使得，即，
故在递减，在，递增，且，
故的最大整数解为9；
（3）证明：，
，得：，
当时，，，时，，
故在递减，在，递增，
而要使有2个零点，要满足，
即，解得：，
，，令，由，
，即，
，而要证，
只需证明，即证，即证，
由，，只需证明，
令，则，
，
故在递增，（1），
故在递增，（1），
．
4．（2021•河东区一模）已知函数．
（1）当时，函数的单调区间；
（2）当时，证明：在上恒成立；
（3）证明：当时，．
【答案】（1）在递增，在，递减，在，递增（2）见解析（3）见解析
【详解】（1）时，，，
，
令，解得：，
时，，递增，
，时，，递减，
，时，，递增；
即在递增，在，递减，在，递增；
（2）时，，，
，
故在递增，则（1），
时，在上恒成立；
（3）证明：由（2）可知在恒成立，
所以在恒成立，
下面证，即证2 ，
设，，
设，，
易知在恒成立，
所以在单调递增，
所以，
所以在单调递增，
所以，
所以，即当时，．
法二：，即，
令，则原不等式等价于，
则，令，，递减，
，，递减，又，
故，原结论成立．
5．（2021•宝坻区校级二模）已知函数，．
（Ⅰ）当时，直线与相切于点，，
（ⅰ）求的极值，并写出直线的方程；
（ⅱ）若对任意的都有，，求的最大值；
（Ⅱ）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：．
【答案】（1）的极小值是，没有极大值；（2）的最大值是（3）见解析
【详解】（Ⅰ）时，，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在，递增，
故的极小值是，没有极大值，
又，，
故直线的方程为，即；
对任意都有，
即恒成立，由，故，故，
由知在，单调递增，
故，可得，即，
当时，的最小值是（e），故的最大值是；
（Ⅱ）证明：要证，只需证明即可，
由题意，是方程的两个不相等的实数根，
，，消去，整理得：，
不妨设，令，则，
故只需证明当时，，即证明，
设，则，
于是在单调递增，从而（1），
故，故．




6．（2021•南开区一模）已知曲线与轴交于点，曲线在点处的切线方程为，且（1）．
（1）求的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）设，若存在实数，，，，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）见解析（3），，．
【详解】（1）曲线与轴交于点，，
曲线在点处的切线斜率，可得切线方程为，
（1），，解得．
，即．
（2）函数，
，
时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增．
是函数的极大值点，．
（3）设，，，则，，．
，
．
若存在实数，，，，使成立，
等价于：成立，，．
即，，．
令，，，则，．
，，，，（1）．
，
①时，，可得：函数在，上单调递减，（1），可得：，又，
解得：．
②时，，可得：函数在，上单调递增，（1），可得：，又，
解得：．
③时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．
可得：（a）；
由（2）可知：（a）则上单调递减，
．
，（1），．
而．
不等式无解．
综上可得：的取值范围是，，．
7．（2021•红桥区一模）已知函数，．
（Ⅰ）若，求曲线在点，（e）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间和极值；
（Ⅲ）若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）见解析（3）
【详解】（Ⅰ），（e），
，
则（e）．
所以在点，（e）处的切线方程为即．
（Ⅱ）因为，
所以，．
①当时，因为，所以，
函数的单调增区间是，无单调减区间，无极值
②当时，令，解得，
当时，；当，，
所以函数的单调减区间是，单调增区间是，，
在区间上的极小值为，无极大值．
（Ⅲ）因为对于任意，，都有成立，所以，
即问题转化为对于，恒成立，
即对于，恒成立，
令，则，
令，，，则，
所以在区间，上单调递增，
故（e），进而，
所以在区间，上单调递增，
函数，
要使对于，恒成立，只要，
所以，即实数的取值范围是．
8．（2021•河北区一模）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）已知函数，若，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）在递增，在递减（3），
【详解】（Ⅰ），定义域是，
（1），，（1），
故切线方程为，即；
（Ⅱ）由（Ⅰ），
令，解得，令，解得，
故在递增，在递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得的极大值是（e），
即的最大值是（e），
，，
令，解得或，
若，，，不等式恒成立，
则，时，恒成立，
①当即时，在，上单调递增，
此时（1），令，得；
②当时，即时，在，递减，在，递增，
此时，
令，解得，不符合题意；
③当即时，在，递减，
故（e），
令，解得，（舍
综上，实数的取值范围是，．
9．（2021•天津模拟）已知函数，为正整数，．
（1）若在处的切线垂直于直线，求实数的值；
（2）当时，设函数，，证明：仅有1个零点；
（3）当时，证明：．
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析
【详解】（1）由题意，在处的切线斜率等于，
而，所以（1），解得；
（2）证明：要证明仅有一个零点，需证明，仅有一个实根，
因为，
当时，，所以，故在上单调递增，
因为，
所以存在使得，即有一个零点，
当时，令，
又因为，，
所以存在，使得，
所以当时，，即，故单调递减，
当时，，即，故单调递增，
又，，
所以在上无零点．
综上所述，函数在内只有一个零点；
（3）证明：当时，，
要证，只需证，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，所以，
那么要证上述的，
只需证，
令，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
故当时，取得最小值，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
故．
10．（2021•天津一模）已知函数，，．
（1）若曲线在点，（1）处的切线与轴垂直，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，，证明：．
【答案】（1）（2）在上单调递减，在，上单调递增（3）见解析
【详解】（1），（1），
因为曲线在点，（1）处的切线与轴垂直，
故，解得．
（2）解：，，
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得，
令，解得，
故在上单调递减，在，上单调递增．
（3）证明：方程，即在上有两个不相等的实数根，，
不妨设，则，两式相减得，
所以，
要证，只需证，
因为，所以，
即需证，
整理得，即证，
令，，
令，，
所以在上单调递增，
所以（1），
所以，得证．
11．（2021•河西区一模）已知函数（其中是实数）．
（Ⅰ）若，求曲线在，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）见解析（3）
【详解】由得：，
则，所以（1），又（1）．
所以曲线在点，（1）处的切线方程为．
（Ⅱ）因为，所以定义域为，，
若，则，当且仅当，时，，
若，得，
当，，时，，
当，时，，
所以，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
时，的单调递减区间为；单调递增区间为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若有两个极值点，则，且，．
所以，，，
由得，．
，
令，，所以在上单调递减．
由的范围是，得．
又，，，，又，
故实数的取值范围．
12．（2021•南开区二模）已知函数，为自然对数的底数），．
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的值；
（Ⅲ）若直线是曲线的一条切线．求证：对任意实数，都有．
【答案】（1）递减区间是，递增区间是，（2）（3）见解析
【详解】（Ⅰ）时，，，
由题意得：，，
，
令，解得：，，，的变化如下：



，


0


递减
极小值
递增
的递减区间是，递增区间是，；
（Ⅱ）若恒成立，则，
①时，显然成立，
②时，问题转化为在恒成立，
令，则，
令，则，在递增，
故，故，在递增，
而，故，
③时，问题转化为在恒成立，
同理可得，
综上：；
（Ⅲ）证明：直线是曲线的一条切线，设切点是，，
，
，解得：，
故，
要证，
即证，
即证，，
即证，
令，即证，，
令，，
故在单调递增，
，即，
即证得．
13．（2021•红桥区二模）已知函数且，
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）当时，在单调递增（2），
【详解】（Ⅰ），
当时，，在单调递增；
当时，由得：；
由得：，在单调递减，
在单调递增
综上：当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）由题意：当时，不等式，
即．
即在恒成立，
令，则，
令，则，
在单调递增
又，所以，有唯一零点
所以，，即（※）
当时，即，单调递减；
，时，即，单调递增，所以为在定义域内的最小值．
令则方程（※）等价于
又易知单调递增，所以，，
所以，的最小值
所以，即，
所以实数的取值范围是，．
14．（2021•和平区二模）已知函数，，，其中，．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，
（ⅰ）若，时，，求的取值范围；
（ⅱ）直线与曲线相切于点，，与曲线相切于点，，证明：．
【答案】（1）见解析（2），（3）见解析
【详解】（Ⅰ）当时，，则，
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
在单调递减，在单调递增；
（Ⅱ）当时，，
若，时，，即，
设，则，
在，单调递增，
，则，
故实数的取值范围为，；
证明：依题意知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，由，知直线的斜率满足，
且，
点，与点，分别满足，
消去得，，即是方程的根，
设，，则是函数的零点，，设，则，
令，解得，令，解得，
在单调递增，在单调递减，
（2），即，
在单调递减，
又，
函数在内有且仅有一个零点，于是，且随增大而增大，故．
15．（2021•天津二模）已知函数．．
（Ⅰ）令，讨论的单调性并求极值；
（Ⅱ）令，若有两个零点；
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若方程有两个实根，，且，证明：．
【答案】（1）见解析（2）时，函数有两个零点（3）见解析
【详解】（Ⅰ）因为，
所以，，，
，，的变化如下：


2


负
0
正

单调递减
极小值
单调递增
所以单调递减区间为，单调递增区间为，
极小值为（2），无极大值；
（Ⅱ），
，
①当时，，单调递增，不可能有两个零点，
②当时，令，得，单调递减，
令，得，单调递增，
所以（a），
要使有两个零点，即使（a），得，
又因为（1），所以在存在唯一一个零点，
且，，
所以在上存在唯一一个零点，符合题意；
综上，当时，函数有两个零点；
法二：有两个零点，
等价于时，有两个实根（1），
令，则，
当时，，单调递减，且，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
（e），，，，，
要使（1）有两个实数根，即使（e），
综上，当时，函数有两个零点．
证明：有两个实根，
令，有两个零点，，，，
所以
所以（1），
（2）
要证，只需证，
即证，所以只需证．
由（1）（2）可得，
只需证，设，令，则，
所以只需证，即证，
令，，则，
，（1）．即当时，成立，
所以，即，
即．
16．（2021•河北区二模）已知函数，其中．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当，时，都有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切，并说明理由．
【答案】见解析
【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，，
（1）当时，恒成立，函数在上单调递增，
（2）当时，令，得，
当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数，
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
（1）当时，即时，函数在区间，上为增函数，
所以在区间，上，（1），显然函数在区间，上恒大于零；
（2）当时，即时，函数在，上为减函数，
在，上为增函数，所以，
依题意有，解得，所以；
（3）当时，即时，在区间，上为减函数，
所以（2），
依题意有，解得，所以，
综上所述，当时，函数在区间，上恒大于零．
（Ⅲ）设切点为，，则切线斜率，
切线方程为，
因为切线过点，则，
即，①
令，
则，
（1）当时，在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减，
所以函数的最大值为（1），
故方程无解，即不存在满足①式，
因此当时，切线的条数为0；
（2）当时，在区间上，，单调递减，
在区间上，，单调递增，
所以函数的最小值为（1），
取，则，
故在上存在唯一零点，取，
则，
设，，则，
当时，恒成立，
所以在单调递增，（1）恒成立，所以，
故在上存在唯一零点，
因此当时，过点存在两条切线；
（3）当时，，显然不存在过点的切线，
综上所述，当时，过点存在两条切线；
当时，不存在过点的切线．
17．（2021•天津模拟）已知函数，，其中．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）求的最小值；
（3）记为的导函数，设函数的图象与轴有且仅有一个公共点，求的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）
【详解】（1）易知函数的定义域为，且，
所以，
因为，所以曲线在点，（1）处的切线方程为．
（2）由（1）得，令，得，，
所以，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以是的极小值点；
又当时，，当时，，当时，，
所以只能在内取得最小值，因为是在内的极小值点，也是最小值点，
所以（1）．
（3）由（1）及题意，得，，
因为（1）且曲线与轴有且仅有一个公共点，
所以函数有且仅有1个零点，且这个零点为1，
且；
①当时，，函数在上单调递增，且（1），
所以符合函数有且仅有1个零点，且这个零点为1；
②当时，令，，
，
所以在上，函数单调递增，
因为，（1），
所以，使得，即，
所以在上，即，
所以单调递减；在，上，
因为，所以在，上也有，
所以在，上，即，所以单调递增，
所以，
令，
则，
所以在区间上单调递减，所以（1），
所以，即，
因为且为常数，
显然当时，，当时，，
所以函数在区间和，上各有一个零点；
③当时，，，
所以，令，，
所以，
所以在上，单调递增，
因为（1），故在上，即，所以在区间上单调递减，
在上，即，所以在区间上单调递增，
所以（1），符合题意，
故所求的取值范围是．
18．（2021•天津二模）设函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，，求证：，，，恒有．
（Ⅲ）函数有两个零点，，，求证．
【答案】（1）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增（2）见解析（3）见解析
【详解】（Ⅰ），
因为时，由，解得，由，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（Ⅱ）证明：由题意，，，，
，因为，，
所以，在，单调递减，
，只需即可，
，，
令，，
由已知，所以，在单调递增且（1），
所以，所以，单调递增，，，
所以恒有．
证明：由题意，有两个零点，，，
则有①，②，
由②①，得，
由（Ⅰ）可知在区间上单调递增，
要证，只需证，因为，
即需证，只需证，
整理得：，
即证，令，不妨设，只需证，
易得，所以函数在区间上单调递增，
所以（1），故有．
19．（2021•天津模拟）已知实数，设函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．
注：为自然对数的底数．

【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为（2），
【详解】（1）当时，，，
，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（1），得，
当时，，等价于，
令，则，
设，，
则，
当，时，，
则，
记，，
则
，
列表讨论：


，
1




0



单调递减
极小值（1）
单调递增
（1），
．
当时，，
令，，，
则，
故在，上单调递增，，
由得（1），
，，
由知对任意，，，，，
即对任意，，均有，
综上所述，所求的的取值范围是，．
20．（2021•河西区二模）已知函数，其中．
（1）求的单调区间；
（2）当时，斜率为的直线与函数的图象交于两点，，，，其中，证明：；
（3）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）不存在
【详解】（1）解：，，
当时，，即在上是增函数．
当时，时，，在上为增函数；，时，，在，上为减函数．
综上所述，当时，的增区间为；当时，的单调增区间为，的单调减区间为，；
（2）当时，，
，
．
要证，即证，
，即证．
令，即证．
令，由（1）知，在上单调递减，
（1），即，则．①
令，则，
在上单调递增，则（1），即．②
综①②得：，即；
（3）解：由已知一即为，，
即，．
令，，
则，
当时，，故在上为增函数，
由（1），则，矛盾．
当时，由，解得，由，解得，
故在上是减函数，在，上是增函数，
．
即讨论恒成立，求的最小值，
令，则，
当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减，
当时，，
，，
又（1），（2），
不存在整数使成立．
综上所述，不存在满足条件的整数．
21．（2021•滨海新区校级三模）已知函数，其中是自然对数的底数，是函数的导数．
（Ⅰ）若，，
（ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程．
（ⅱ）当时，判断函数在区间，上零点的个数．
（Ⅱ）若，，当时，求证：若，且，则．
【答案】（1）（2）当时，在区间，上无零点；当时，在区间，上仅有一个零点（3）见解析
【详解】（ⅰ）当，，时，，
则（1），，所以（1），
故切点坐标为，切线的斜率为0，
故切线方程为；
由可得，，
令，解得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以当时，取得极小值即最小值，
①当时，无零点；
②当时，在区间，上单调递减，且，
所以是在，上的唯一零点；
③当时，在区间上单调递减，且
又（1），，
所以在区间，上仅有一个零点．
综上所述，当时，在区间，上无零点；
当时，在区间，上仅有一个零点；
（Ⅱ）证明：当，，当时，，
令，，不妨设，，
令

，
其中，
因为，
所以当时，，
故若，且，则．
22．（2021•南开区校级三模）已知函数的极大值为，其中为自然对数的底数．
（1）求实数的值；
（2）若函数，对任意，恒成立．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
【答案】（1）（2）（3）见解析
【详解】（1），，
当时，，递增；当时，，递减；
所以的极大值为（e），
故；
（2）根据题意，任意，，即，
化简得，令，，
，
令，，设，，只需，，
当时，当时，，所以，不成立；
当时，显然成立；
当时，由，当，递减，，递增，
的最小值为，
由，得，
综上；
证明：要证，只需证明，
化简得，只需证，
设，，
由，当时，递减；时，递增；
所以（1），
由，在递增，故，得，
又由，所以，
所以成立，
故原命题成立．
23．（2021•河西区三模）已知函数，，，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求，，的值；
（3）若恒成立，求的最大值．
【答案】（1）见解析（2），，．（3）
【详解】（Ⅰ），则．
令，得，所以在上单调递增．
令，得，所以在上单调递减．
（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为．
依题意，，．
于是与抛物线切于点，
由得．
所以，，．
（Ⅲ）设，则恒成立．
易得．
（1）当时，
因为，所以此时在上单调递增．
①若，则当时满足条件，此时；
②若，取且，
此时，所以不恒成立．
不满足条件；
（2）当时，
令，得．由，得；
由，得．
所以在，上单调递减，在，上单调递增．
要使得“恒成立”，必须有：
“当时，”成立．
所以．则．
令，，则．
令，得．由，得；
由，得．所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，．
从而，当，时，的最大值为．
综上，的最大值为．
24．（2021•天津三模）已知函数，，
（Ⅰ）当，时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当，时，若方程有两个不同的实数解，，求证：．
【答案】（1）（2）（3）见解析
【详解】（Ⅰ）当时，时，，当时，，
，当时，，
曲线在处的切线方程为；
（Ⅱ）当时，对，，都成立，则对，，恒成立，
令，则．令，则，
当，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，
，，
的取值范围为；
（Ⅲ）当，时，由，得，
方程有两个不同的实数解，，
令，则，，令，则，
当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，
，，又，（1），
，，
只要证明，就能得到，即只要证明，
令，则，
在上单调递减，则，
，，
，，即，证毕．
25．（2021•南开区校级模拟）已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意，，，，，恒有成立，试求的取值范围．
【答案】（1）（2）见解析（3），
【详解】当时，，，（1），
在处的切线斜率（1），
在处的切线方程为．
函数的定义域为，
，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数的上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
恒成立，即恒成立，
不妨设，因为当，时，在，上单调递减，
则，可得，
设，
对于任意的，，，，，，恒成立，
在，上单调递增，
在，上恒成立，
在，上恒成立，
即在，上恒成立，
当，时，，
只需在，上恒成立，
即在，上恒成立，
设，则（2），
，故实数的取值范围为，．
26．（2021•天津模拟）已知函数，．
（1）当时，求函数的单减区间；
（2）若存在极小值，求实数的取值范围；
（3）设是的极小值点，且，证明：．
【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
【详解】（1）时，，的定义域是，
，
令，，
在递增，而（1），即，
故时，，时，，
故在递减；
（2）函数，．
，．
令，
则，
在上是增函数．
又当时，，当时，．
当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点；
当时，的值域为，必存在，使．
当时，，，单调递减；
当，时，，，单调递增；
存在极小值点．
综上可知实数的取值范围是．
证明：（3）由（1）知，即．
，
．
由，得．
令，由题意在区间上单调递减．
又（1），由，得，
令，，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，函数取最小值（1），
，即，即，
，，
，
．
27．（2021•天津校级模拟）已知函数．
（Ⅰ）当时，试求函数图线过点的切线方程；
（Ⅱ）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；
（Ⅲ）若函数有两个极值点、，且不等式恒成立，试求实数的取值范围．
【答案】（1）（2），或（3），
【详解】（Ⅰ）当时，，，
则（1），（1），
所以切线方程为，
即为．
（Ⅱ）时，，，
若关于的方程有唯一实数解，
即有唯一实数解，，
令，，
则，
令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在，递减，在递增，
故，（1），
故，或；
（Ⅲ），
令，得，
当△且，即时，由，得，，
由，得或；
由，得，
故若函数在上有两个极值点，可得，
由，得，则，，，
由，可得，，

，
令，
，
由，则，，，
又，则，即在递减，
即有，即，
即有实数的取值范围为，．
28．（2021•天津校级模拟）已知函数．
（Ⅰ）对于，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，令，求的最大值；
（Ⅲ）求证：．
【答案】（1）（2）0（3）见解析
【详解】（Ⅰ），，
，，
令，
令，，
在递减，
，
，在递减，
（1），
；
（Ⅱ）时，，，
，
令，解得：，令，解得：，
在递增，在递减，
的最大值是（1）；
证明：（Ⅲ）构造函数，
则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以，当时，取得极大值，也是最大值，
所以，，即，当时，．
令，
则，即，
，，，
，，
以上个不等式相加得：，
即．
29．（2021•北辰区模拟）已知，其中为自然对数的底数．
（1）当时，求函数在点，（2）处的切线的方程；
（2）当时，求函数在，上的最小值；
（3）求证：．
【答案】（1）（2）（3）见解析
【详解】（1）时，，，
（2），（2），
函数在点，（2）处的切线的方程为：，
化为：．
（2）当时，，
．
可得函数在上单调递减，在上单调递增．
①当，即时，函数在，上单调递减，．
②当，函数在，上单调递增，．
③当，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增，
（2）．
（3）证明：由（2）可得：时，（2），，，．
，
．


30．（2021•和平区模拟）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）对于任意，．
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析
【详解】的定义域为，
函数的导数为，
则（1），（1），
所以在处的切线方程为，
即；
（2）证明：（ⅰ）可化为，
设，则，
当时，，递增；当时，，递减，
故（1），
设，则，
当时，，递减，当，时，，递增．
故，
因为，所以，
所以；
（ⅱ）由，可得，
令，，可得，
即，所以，则，
所以．