专题03 解三角形综合题-备战2022年天津高考数学真题模拟题分类汇编

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专题03 解三角形综合题-备战2022年天津高考数学真题模拟题分类汇编1．（2021•天津）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）中，，，，，．（2）中，由余弦定理可得．（3）由（2）可得，，，．2．（2020•天津）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）由余弦定理以及，，，则，，；（Ⅱ）由正弦定理，以及，，，可得；（Ⅲ） 由，及，可得，则，，．3．（2021•河东区一模）已知锐角三角形的三个角，，所对的边为，，，在①，②，③，三个条件中任选一个完成下列问题（如果使用多个条件按第一个解法计分）．（1）求；（2），三角形的面积为，求，．【答案】见解析【详解】若选①：（1），由正弦定理得，，，，，，，．（2），，由余弦定理得，，解得．若选②：，由正弦定理得，，，，．下面步骤同①．若选③：，由正弦定理得，，，，．下面步骤同①．4．（2021•和平区一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）因为，，，由余弦定理，可得，可得，解得，或（舍去），即的值为6．（Ⅱ）由正弦定理，可得．（Ⅲ）因为，所以，，．5．（2021•南开区一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为，整理可得，利用正弦定理可得，由余弦定理可得，因为，所以．（2）因为，，，所以由正弦定理，可得，因为，可得为锐角，可得，可得，可得．6．（2021•红桥区一模）已知的内角，，的对边分别为，，，满足．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）若，，求边的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）因为，所以，因为，所以，因为，所以．（Ⅱ）因为，，可得，所以．（Ⅲ）因为，，，由余弦定理，可得，解得．7．（2021•河北区一模）已知的内角，，的对边分别为，，，满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ），由正弦定理可得：，即，，，．（Ⅱ）由，可得，，，．8．（2021•天津模拟）在中，内角，，所对的边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为，即，由正弦定理得，，由余弦定理得，由为三角形内角得；（2）由（1）得，因为，所以，故，由为三角形内角得，故，，所以．9．（2021•天津一模）在中，内角，，的对边分别为，，．已知．（1）求角的大小；（2）若角为钝角，且，，求和的值．【答案】（1），或；（2）【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，因为，所以，由，可得，或．（2）由（1），若角为钝角，可得，因为，，所以由余弦定理，可得，整理解得，可得，所以，可得，可得．10．（2021•河西区一模）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）在中，，故由，可得．由余弦定理有，．（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理，得．（Ⅲ）由（Ⅱ）及，得，，．故．11．（2021•南开区二模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求边的长；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）因为，由正弦定理得，，因为，所以，即，由为三角形内角得，；（Ⅱ）因为，，，由余弦定理得，，所以；（Ⅲ）由余弦定理得，，所以，，，所以．12．（2021•红桥区二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，．（Ⅰ）求边及角的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）由余弦定理，可得，，由正弦定理，可得．，所以．（Ⅱ）由于，，所以，，所以．13．（2021•和平区二模）已知中，角，，的对边分别为，，，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）因为，，，所以由，可得，所以由正弦定理，可得．（Ⅱ）因为，，可得为锐角，所以，可得，，所以．（Ⅲ）因为，所以由，可得．14．（2021•天津二模）中，角，，所对边分别为，，，且，，．（Ⅰ）求边及的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）因为，，可得，由，可得，由，得，，由余弦定理，可得，由正弦定理，可得．（Ⅱ）在中，，由（Ⅰ）可知：，由于，，所以，，所以．15．（2021•河北区二模）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）因为，由正弦定理，得，即，因为，所以，由为锐角，得；（Ⅱ）若，则，，，；（Ⅲ），，由余弦定理，得，所以，的面积．16．（2021•天津模拟）如图，在平面四边形中，，，，，．（1）求边的长；（2）设，求的值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）在中，，，，，由余弦定理，得，即，所以．（2）在中，，，，，由正弦定理，得，所以，所以，所以．17．（2021•天津二模）在中，角，，的对边分别为，，，若且的面积为，．（Ⅰ）求角的大小及；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ），，，，，，，，，，，，．（Ⅱ）由正弦定理可知，，，，，．18．（2021•天津模拟）在中，，，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ），，．由余弦定理，得，，；（Ⅱ）在中，，，由正弦定理有：，，，，为锐角，，．19．（2021•宝坻区校级二模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，．（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）因为在中，，，，所以可得，又，所以．（2）因为在中，，，，所以由，可得．（3）因为，，可得，所以，，所以．20．（2021•滨海新区校级三模）函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期并求当，时，函数的最大值和最小值．（Ⅱ）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且，求的面积．【答案】（Ⅰ）最大值3，最小值；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ），，当，时，，，所以，，故当，即时，函数取得最大值3，当，即时，函数取得最小值；（Ⅱ），即，由为三角形内角，得，由及正弦定理得，由余弦定理，得，所以，故，的面积．21．（2019•河西区三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，，求和的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）．由正弦定理可得：，化为：，化为：，即，，．，．（Ⅱ）由余弦定理可得：，解得．又，解得：．为钝角，为锐角．．．由为锐角，．，．．．22．（2021•河西区三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）设，，（ⅰ）求，（ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，又因为，可得．（Ⅱ）（ⅰ）在中，由余弦定理及，，，有，故．（ⅱ）由，可得，因为，故．因此，，所以．23．（2021•天津三模）在中，内角、、的对边分别为，，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，．求：（ⅰ）边长；（ⅱ）的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得，，，（Ⅱ）（ⅰ）因为，，由余弦定理得，（ⅱ）由，因为为锐角，所以，24．（2021•南开区校级模拟）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，．（1）求和的值；（2）求的值．【答案】（1），；（2）【详解】（1）在三角形中，由，可得，的面积为，可得：，可得，又，解得，，由，可得，由，解得；（2）．25．（2021•天津模拟）已知中，角的对边分别为，，，．（1）求角；（2）若，，求的值．（3）若，，求．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）由正弦定理及得．因为，所以，即，解得或（舍，由为三角形内角得；（2）因为，所以，因为，由余弦定理得，即，所以；（3）由正弦定理得，所以，，故，，所以．26．（2021•天津模拟）设的内角，，所对边分别为，，，且，，．（1）求，的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）①，，，由余弦定理得：，整理得：②，联立①②解得：；（2），为三角形的内角，，，，，由正弦定理得：，，即，为锐角，，则．27．（2021•天津校级模拟）在中，角，，的对边分别是，，，且．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）【详解】（Ⅰ）由正弦定理可得，，从而可得，，即，又为三角形的内角，所以，于是，又亦为三角形内角，因此，．（Ⅱ），，，由可知，，所以，从而，因此，，故的取值范围为．28．（2021•北辰区模拟）在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求的值；（2）若，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值．【答案】（1）；（2）（ⅰ），（ⅱ）【详解】（1）由正弦定理知，，，，化简得，，由余弦定理知，．（2）（ⅰ）由（1）知，，，，由正弦定理知，，，，且，即，，，，．（ⅱ）由（ⅰ）知，，，，，．29．（2021•和平区模拟）已知中，角，，的对边分别为，，，若，且，．（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）由正弦定理，及，可得，即．由余弦定理，，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．由余弦定理，可得．因为，且，所以．于是，．（Ⅲ）由知，且，因此．所以．