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专题04 立体几何综合题-备战2022年天津高考数学真题模拟题分类汇编
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专题04 立体几何综合题-备战2022年天津高考数学真题模拟题分类汇编1.(2021•天津)如图,在棱长为2的正方体中,,分别为棱,的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求二面角的正弦值. 2.(2020•天津)如图,在三棱柱中,平面,,,,点,分别在棱和棱上,且,,为棱的中点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的正弦值;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值. 3.(2021•宝坻区一模)如图所示,正方形所在平面与梯形所在平面垂直,,,,.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)在线段上是否存在一点,使得二面角的余弦值为,若存在求出的值,若不存在,请说明理由. 4.(2021•河东区一模)在滨海文化中心内有天津滨海科技馆,其建筑有鲜明的后工业风格,如图1所示,截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合,如图2所示,长方体中,,,圆台下底圆心为的中点,直径为2,圆与直线交于,,圆台上底的圆心在上,直径为1.(1)求与平面所成角的正弦值;(2)求二面角的余弦值;(3)圆台上底圆周上是否存在一点使得,若存在,求点到直线的距离,若不存在则说明理由. 5.(2021•和平区一模)如图,在四棱柱中,已知侧棱底面,侧面是正方形,与交于点,,,,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)若点在线段上,且,求二面角的正弦值. 6.(2021•南开区一模)如图,四棱锥中,平面,,,.(1)求与平面所成角的正弦值;(2)求二面角的正弦值;(3)设为上一点,且,若平面,求的长. 7.(2021•红桥区一模)如图所示,直角梯形中,,,,四边形为矩形,,平面平面.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 8.(2021•河北区一模)如图,在四棱锥中,底面是正方形,,,是棱的中点,是棱上一点,.(Ⅰ)若是棱的中点,求证:平面;(Ⅱ)若是棱的中点,求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)若二面角的余弦值为,求的长. 9.(2021•天津模拟)如图,在三棱锥中,底面,,点,,分别为棱,,的中点,是线段的中点,,.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)已知点在棱上,且直线与直线所成角的余弦值为,求线段的长. 10.(2021•天津一模)如图,在多面体中,平面,是平行四边形,且,,,.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值;(3)若点在棱上,直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长. 11.(2021•河西区一模)如图,已知三棱柱,平面平面,,,,,分别是,的中点.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.(Ⅲ)求二面角的正弦值. 12.(2021•南开区二模)如图所示,在三棱柱中,侧棱底面,且底面是边长为2的正三角形,侧棱长为1,是的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角的大小. 13.(2021•红桥区二模)如图,在四棱锥中,面,,且,,,,,为的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求平面与平面所成二面角的余弦值. 14.(2021•和平区二模)如图,在四棱锥和四棱柱组合而成的几何体中,侧棱平面,底面是边长为2的正方形,与交于点,,点是棱上一点,,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求二面角的正弦值;(Ⅲ)若直线平面,求直线和所成角的余弦值. 15.(2021•天津二模)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,BC=AD=1且CD=,E为AD的中点,F是棱PA的中点,PA=2,PE⊥底面ABCD,AD⊥CD.(Ⅰ)证明:BF∥平面PCD;(Ⅱ)求二面角P﹣BD﹣F的正弦值;(Ⅲ)在线段PC(不含端点)上是否存在一点M,使得直线BM和平面BDF所成角的正弦值为?若存在,求出此时PM的长;若不存在,说明理由. 16.(2021•河北区二模)如图,在直三棱柱中,底面为等边三角形.点为的中点,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角的正弦值. 17.(2021•天津模拟)如图,在三棱柱中,平面,,,侧棱,是的中点.(1)求证:;(2)求直线与所成角的余弦值;(3)求二面角的正弦值. 18.(2021•天津二模)如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,点为的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的正弦值;(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使直线与平面所成的角正弦值为,若存在求出的长,若不存在说明理由. 19.(2021•河东区二模)如图,在直三棱柱中,,,,,点是的中点,(1)求证:;(2)求证:平面;(3)求二面角正切值的大小. 20.(2021•河西区二模)如图,在三棱柱中,平面,,,,分别为,,,的中点,,.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)求直线与平面所成角的正弦值. 21.(2021•滨海新区校级三模)如图,在多面体中,四边形是正方形,平面,,,.(Ⅰ)求证:平面.(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值.(Ⅲ)若点是线段上的一个动点,试确定点的位置,使得二面角的余弦值为. 22.(2021•南开区校级三模)如图,在三棱柱中,平面,,,,分别是,的中点(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱上是否存在一点,使得平面与平面所成二面角为?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 23.(2021•河西区三模)如图,在四棱锥中,平面,,,,,为中点,点在线段上,且.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角的正弦值. 24.(2021•天津三模)在如图所示的几何体中,四边形是菱形,是矩形,平面平面,,,,为的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)在线段上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由. 25.(2021•宝坻区校级二模)如图,在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)若为棱上一点,且满足,求二面角的余弦值. 26.(2021•南开区校级模拟)如图,在四棱锥中,侧棱底面,底面为长方形,且,,是棱的中点,过点作于点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求二面角的余弦值. 27.(2021•天津模拟)如图,已知平面平面,直线平面,且.(1)求证:平面;(2)若,平面;(ⅰ)求二面角的余弦值;(ⅱ)在直线(除、两点外)上是否存在一,使得直线与平面所成角的余弦值为,若存在,求的值;如不存在,请说明理由. 28.(2021•南开区校级模拟)如图1,在中,,分别为,的中点,为的中点,,.将沿折起到△的位置,使得平面平面,如图2.(Ⅰ)求证:.(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值.(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线和所成角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 29.(2021•南开区校级模拟)如图,已知三棱柱中,侧棱与底面垂直,且,,、分别是、的中点,点在线段上,且.(Ⅰ)求证:不论取何值,总有;(Ⅱ)当时,求平面与平面所成锐二面角的余弦值;(Ⅲ)当直线与平面所成角的正弦值为时,求实数的值. 30.(2021•北辰区模拟)如图,在三棱柱中,四边形为矩形,且,平面平面,.(1)证明:平面.(2)求异面直线与所成角的余弦值.(3)线段上是否存在一点,使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在,求出的值:若不存在,请说明理由. 31.(2021•和平区模拟)如图,在四棱锥中,平面,,,,.过点做四棱锥的截面,分别交,,于点,,,已知,为的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值.