2022年广东省揭阳市初中学业水平考试第一次模拟考试数学试题（附答案）

 初中学业水平考试第一次模拟考试数学试题

一、单选题

1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） 

A． B． C． D．

2．新型冠状病毒也叫2019－nCOV，该病毒比细胞小得多，大小约为150nm(纳米)，即为0.00000015米，约为一根头发丝直径的千分之一，数据0.00000015米用科学记数法表示为（　　） 

A．0.15×10－7米 B．1.5×10－7米

C．1.5×10－8米 D．0.15×10－8米

3．如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1=25°，则∠2的度数为（　　） 

A．105° B．115° C．125° D．165°

4．下列运算正确的是（　　） 

A． B．

C． D．

5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA的延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为（　　）

A．8 B．16 C．10 D．20

6．方程|4x－8|＋ ＝0，当y＞0时，m的取值范围是(　　) 

A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2

7．如图，在正方体中，沿对角线BD和顶点A所在的平面截出几何体A﹣BCD，则这个几何体的展开图可能是（　　） 

A． B．

C． D．

8．已知二次函数 的顶点为(1，5)，那么关于x的一元二次方程 的根的情况是（　　） 

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

9．为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前5天按原计划的速度生产，5天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产 万支疫苗，则可列方程为（　　） 

A． B．

C． D．

10．如图， 是⊙O的直径， 的平分线交⊙O于点 ，连接 ， ，给出下列四个结论：① ；② 是等腰直角三角形；③ ；④ ．其中正确的结论是（　　） 

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

二、填空题

11．数据：3、5、4、5、2、3的中位数是　     　．

12．分解因式： 　                   　．

13．抛物线 关于x轴对称的抛物线的解析式是　              　． 

14．不等式组 的解集是　          　． 

15．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形叫作莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为　          　．

16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为　     　．

17．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是　     　

三、解答题

18．小颖用下面的方法求出方程 的解． 

请你仿照小颗的方法求出方程 的解．

19．如图，已知点E、C在线段BF上，且BE=CF，CM∥DF，

（1）作图：在BC上方作射线BN，使∠CBN=∠1，交CM的延长线于点A（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，求证：AC=DF．

20．2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1、A2，正面印有雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．

（1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是　     　；

（2）请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．

21．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．

（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；

（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数 的图象交AB于E点，连接DE．若OD=5， ． 

（1）求过点D的反比例函数的解析式；

（2）求 的面积； 

（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形，请直接写出P点的坐标．

23．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，OB与y轴相交于另一点G．

（1）求证：BC是⊙F的切线；

（2）若点A、D的坐标分别为A(0，－1)，D(2，0)，求 的半径；

（3）求证：AF= AD+CD．

24．火炬村在推进美丽乡村建设中，决定建设“火炬幸福广场”，计划铺设相同大小、规格的红色和蓝色地砖，经过调查，获取信息如下表：

若购买红色地砖400块，蓝色地砖600块，需付款8600元；若购买红色地砖1000块，蓝色地砖350块，需付款9900元．

（1）红色地砖和蓝色地砖的单价各多少元？

（2）经过测算，现需要购置地砖1200块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过600块，如何购买花费最少？最少是多少元？请说明理由．

25．如图，已知抛物线 (a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，2)，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q． 

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】B

3．【答案】B

4．【答案】D

5．【答案】B

6．【答案】C

7．【答案】A

8．【答案】A

9．【答案】D

10．【答案】D

11．【答案】3.5

12．【答案】（a-b+2）（a-b-2）

13．【答案】y=-(x－1)2－3

14．【答案】﹣3＜x≤1

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】4

18．【答案】解：令 ，则 ， 

∴

∴t－1=0或t+3=0

∴t=1或t=－3，

检验：t=1>0，符合题意；t=－3<0，不符合题意，

∴ ，

∴x=1．

19．【答案】（1）解：如图，

（2）证明：∵CM∥DF，∴∠MCE=∠F，∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∵

∴△ABC≌△DEF，∴AC=DF．

20．【答案】（1）

（2）解：画树状图如图：

共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个，

∴P（小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片）＝ ．

21．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，

∴AD∥BC，AO＝CO，

∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，

在△AOM和△CON中，

，

∴△AOM≌△CON（AAS），

∴AM＝CN，

∵AM∥CN，

∴四边形ANCM为平行四边形

（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，

由（1）知：AM＝CN，

∴DM＝BN，

∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，

∴平行四边形ANCM为菱形，

∴AM＝AN＝NC＝AD−DM，

∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得

AN2＝AB2＋BN2，

∴（4−DM）2＝22＋DM2，

解得：DM＝

22．【答案】（1）解： 四边形 是矩形， 

， ，

，

设 ， ，

，

，

， ，

，

设过点 的反比例函数的解析式为： ，

，

反比例函数的解析式为： ；

（2）解： 点 是 的中点， 

，

， ，

点在过点 的反比例函数图象上，

，

；

（3）解：存在， ， ， ． 

23．【答案】（1）证明：如图连接EF，

∵AE平分∠BAC，

∴∠FAE=∠CAE，

∵FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA，

∴∠FEA=∠EAC，

∴FE∥AC，

∴∠FEB=∠C=90°，即BC⊥EF

∵EF为圆F的半径，

∴BC是⊙F的切线；

（2）解：连接FD，设⊙F的半径为r，

∵A(0，－1)，D(2，0)，

∴OA=1，OD=2，则OF=r－1

在Rt△ODF中，OF2+OD2=DF2

即(r－1)2+22=r2，

解得，r= ，

即⊙F的半径为 ；

（3）证明：如图，过点F作FR⊥AD于R，

则∠FRC=90°，AR=DR= AD，

∴∠FEC=∠C=CFRC=90°，

∴四边形RCEF是矩形，

∴EF=RC=RD+CD，

∴EF=RD+CD= AD+CD，

∵AF=EF，

∴AF= AD+CD．

24．【答案】（1）解：设红色地砖每块x元，蓝色地砖每块y元，由题意可得：

，

解得 ，

答：红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元；

（2）解：设购买a块蓝砖，则购买(1200－a)块红砖，所需的总费用为w元，

由题意可得：

解得 ，

当 时，

w=0.8×8(1200－a)+10a=3.6a+7680，

∵3.6>0，

∴y随a的增大而增大，

∴当a=400时w有最小值为：3.6×400+7680=9120，

当500≤a≤600时，w=0.8×8(1200－a)+0.9×10a=2.6a+7680，

∵2.6>0，

∴y随a的增大而增大，

∴当a=500时，w有最小值为：2.6×500+7680=8980，

∵8980<9120，

∴购买蓝色地砖500块，红色地砖700块，费用最少，最少费用为8980元．

25．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为 ，  

把点C(0，2)的坐标代入，

得 ，解得

∴抛物线的解析式为 ，

即 ．

（2）解：∵点D与点C关于x轴对称，

∴点D(0，－2)，CD=4，

设直线BD的表达式为 ，把D(0，－2)，B(4，0)代入得，

，

解得 ，

∴直线BD的关系表达式为 ，

设M(m， )，Q(m， )，

∴QM= ，

∴QM∥CD，

∴当QM=CD时，四边形CQMD为平行四边形，

∴ ，

解得m1=2，m2=0(不合舍去)，

故当m=2时，四边形CQMD是平行四边形；

（3）解：在Rt△BOD中，OD=2，OB=4，

∴OB=2OD，

当以点B、M为顶点的三角形与△BOD相似时，分三种情况：

①若∠MBQ=90°时，△QPB∽△QBM，如图1所示，

当△QBM∽△BOD时，△QPB∽△BOD

∴ 即

∴QP=2PB，

∵P(m，0)，

∴QP= ，PB=4－m，

∴ ，

解得，m1=3，m2=4(不合舍去)，

∴m=3，

∴OP=3，PB=4－3=1

∴PQ=2PB=3

∴点Q的坐标为(3，2)；

②若∠MQB=90°时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，

∴Q(－1，0)

③由于点M在直线BD上，因此∠QMB≠90°，

这种情况不存在，

综上所述，点Q的坐标为(3，2)或(－1，0)．