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2022年中考数学重难热点专题突破05 方程（组）与不等式（组）
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这是一份2022年中考数学重难热点专题突破05 方程（组）与不等式（组），共35页。
重难点05 方程（组）与不等式（组）中的含参问题
【命题趋势】
含参不等式（组）、方程（组）是各地中考中的常考题型，也是许多同学常常丢分的地方，其实此类问题解决起来并不困难，只要大家熟练掌握数形结合，再认真分析端点值，那么正确答案也便自然出来了。
【满分技巧】
1).一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题；二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决.
2).一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解、一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0. 已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.
3)．分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程.在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
4).不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式（组）有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围. 已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
【限时检测】
A卷（建议用时：60分钟）
1．（2021·山东菏泽市·中考真题）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
2．（2021·广西贺州市·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2021·浙江·模拟预测）已知关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2020·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
6．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·内蒙古·中考模拟）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·扬州市江都区第三中学九年级二模）已知过点的直线不经过第四象限，设，则的取值范围为（ ）
A．＜＜ B．≤＜ C．＜≤ D．≤≤
8．（2021·四川德阳·中考模拟）如果关于的不等式组的整数解仅有、，那么适合这个不等式组的整数、组成的有序数对共有（）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．（2020·山东济南市·中考真题）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
10．（2022·湖北·中考模拟）已知不等式组有解但没有整数解，则a的取值范围为____．
11．（2021·上海中考真题）若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________．
12．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
13．（2021·湖北中考真题）关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
14．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
15．（2021·湖北荆州市·中考真题）若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____________．
16．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
17．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____．
18．（2022·河北中考模拟）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
19．（2021·四川泸州市·中考真题）关于x的不等式组恰好有2个整数解，则实数a的取值范围是_________．
20．（2021·黑龙江中考真题）关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______．
21．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是__________．
22．（2021·重庆·中考模拟）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为_____．
23．（2021·江苏·中考模拟）若关于x的不等式组的所有整数解的和是－7，则m的取值范围是____．
24．（2021·武汉二中广雅中学九年级二模）已知抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，则的取值范围是__．
25.（2021·浙江·九年级期中）若关于x，y的方程是一个二元一次方程，则m的值为_____________．
26．（2021·浙江金华市·中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是____________．
27．（2021·湖南长沙市·中考真题）若关于的方程的一个根为3，则的值为______．
28．（2021·江苏扬州市·中考真题）已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值．
B卷（建议用时：60分钟）
1．（2021·安徽定远·一模）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东菏泽市·中考真题）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖南·中考模拟）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
5.（2021·浙江·中考模拟）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3
6．（2021·四川宜宾市·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
7．（2021·重庆中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
9．（2021·湖北鄂州市·中考模拟）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
10．（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
11．（2021·湖北黄冈市·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可）
12．（2021·湖北随州市·中考真题）已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______．
13．（2020·四川绵阳市·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
14．（2021·辽宁中考真题）不等式组无解，则m的取值范围_________．
15．（2021·四川眉山市·中考真题）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是______．
16．（2021·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为________．
17．（2021·四川成都·三模）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_______．
18．（2021·北京中考真题）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
19．（2021·重庆·中考模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
20．（2022·广东·中考模拟）已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
重难点05 方程（组）与不等式（组）中的含参问题
【命题趋势】
含参不等式（组）、方程（组）是各地中考中的常考题型，也是许多同学常常丢分的地方，其实此类问题解决起来并不困难，只要大家熟练掌握数形结合，再认真分析端点值，那么正确答案也便自然出来了。
【满分技巧】
1).一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题；二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决.
2).一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解、一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0. 已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.
3)．分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程.在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
4).不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式（组）有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围. 已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
【限时检测】
A卷（建议用时：60分钟）
1．（2021·山东菏泽市·中考真题）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】D
【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可．
【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于的方程有实数根，
∴，且 解得，且，
当方程为一元一次方程时，k=1，方程有实根综上，故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．
2．（2021·广西贺州市·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据分式方程有增根可求出，方程去分母后将代入求解即可.
【详解】解：∵分式方程有增根，∴，
去分母，得，将代入，得，解得．故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．
3．（2021·浙江·模拟预测）已知关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解．
【详解】解：去分母得：x-1=m，解得：x=m+1，
根据题意得：m+1=3，解得：m=2，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
4．（2020·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：，
∴，∴，∴，
∵解为非正数，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
5．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
【答案】A
【分析】先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．
【详解】关于x的分式方程得x=，
∵∴解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,故选A．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．
6．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a的不等式，即可求解．
【详解】解：解不等式得，，解不等式得，，
∵该不等式组无实数解，∴，解得：，故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解集的确定，即“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”．
6．（2022·内蒙古·中考模拟）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出不等式的解，求出不等式3（x-1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
【详解】解：解不等式得：，
不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，，，解得：，故选．
【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
7．（2020·扬州市江都区第三中学九年级二模）已知过点的直线不经过第四象限，设，则的取值范围为（ ）
A．＜＜ B．≤＜ C．＜≤ D．≤≤
【答案】B
【分析】根据一次函数图象与系数的关系可得a＞0，b≥0，将点（1，3）代入，得到a+b=3，即b=3-a．由a＞0，b≥0得出不等式组，解不等式组求出a的范围，再根据不等式的性质即可求出S的取值范围．
【详解】∵过点（1，3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第四象限，
∴a＞0，b≥0，a+b=3，∴b=3-a，∴，解得：0＜a≤3，
∴S=a+2b=a+2（3-a）=6-a，∴-3≤-a＜0，∴3≤6-a＜6，即S的取值范围为：3≤S＜6，故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，以及不等式的性质．掌握一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，b≥0时函数的图象不经过第四象限是解题的关键．
8．（2021·四川德阳·中考模拟）如果关于的不等式组的整数解仅有、，那么适合这个不等式组的整数、组成的有序数对共有（）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】求出不等式组的解集，根据已知求出1＜≤2、3≤＜4，求出2＜a≤4、9≤b＜12，即可得出答案．
【解析】解不等式2x−a≥0，得：x≥，解不等式3x−b≤0，得：x≤，
∵不等式组的整数解仅有x＝2、x＝3，则1＜≤2、3≤＜4，
解得：2＜a≤4、9≤b＜12，则a＝3时，b＝9、10、11；当a＝4时，b＝9、10、11；
所以适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对（a，b）共有6个，故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出a、b的值．
9．（2020·山东济南市·中考真题）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
【答案】A
【分析】当x2时，y值随x值的增大而增大，得由抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t，，得，分三种情况讨论，当对称轴在y轴的右侧时，有＞即＜ 当对称轴是y轴时，有 当对称轴在y轴的左侧时，有＞从而可得结论．
【详解】解：当对称轴在y轴的右侧时，
，由①得：＜ 由②得： 由③得：
解得：＜3，当对称轴是y轴时， m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，综上所述，满足条件的m的值为．故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．
10．（2022·湖北·中考模拟）已知不等式组有解但没有整数解，则a的取值范围为____．
【答案】
【分析】解两个不等式求得x的范围，由不等式组有解，但没有整数解可得关于a的不等式组，解之可得答案．
【解析】解不等式，得：，解不等式，得：，
则不等式组的解集为，有解但没有整数解，
，解得：，故答案为．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．（2021·上海中考真题）若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围．
【详解】解：关于x的一元二次方程无解，
∵，，，∴，解得，
∴的取值范围是．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
12．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
【答案】8或9
【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，
因此有，解得，则方程为，解得另一个根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，
因此，根的判别式，解得，则方程为，解得方程的根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
综上，的值为8或9，故答案为：8或9．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．
13．（2021·湖北中考真题）关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
【答案】3
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．
【详解】解：由题意得：，
，，化成整式方程为，解得或，
经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
14．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
【答案】1
【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．
【详解】解（x-3m）（x-m）=0∴x-3m=0或x-m=0解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2解得m=1故答案为：1．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
15．（2021·湖北荆州市·中考真题）若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____________．
【答案】m＞-7且m≠-3
【分析】先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】解：由，得：且x≠2，
∵关于的方程的解是正数，∴且，解得：m＞-7且m≠-3，
故答案是：m＞-7且m≠-3．
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键．
16．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
【答案】
【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值．
【详解】解：，
整理得：
若分式方程的解为整数，
为整数，当时，解得：，经检验：成立；
当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上:，故答案是：．
【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．
17．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____．
【答案】．
【分析】根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：①-②，得
∵∴，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键．
18．（2022·河北中考模拟）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
【答案】a≤-1.
【分析】根据x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【解析】解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，∴4a-3a-1＜0，解得：a＜1，
∵x=2不是这个不等式的解，∴2a-3a-1≥0，解得：a≤-1，∴a≤-1，故答案为：a≤-1．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．
19．（2021·四川泸州市·中考真题）关于x的不等式组恰好有2个整数解，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】首先解每个不等式，根据不等式组只有2个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围．
【详解】解：解①得，解②得，不等式组的解集是．
∵不等式组只有2个整数解，∴整数解是2，3．则,∴故答案是：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．（2021·黑龙江中考真题）关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解．
【详解】解：由关于的一元一次不等式组可得：，
∵不等式组有解，∴，解得：；故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
21．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是__________．
【答案】-1
【详解】解不等式得：，解不等式得：，∴不等式的解集为1≤x＜，
∵不等式组只有2个整数解，∴不等式组的整数解为1、2，∴2＜≤3，解得：-1＜a≤1，
故答案为：-1＜a≤1
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求解不等式组，根据x的整数解得出关于a的不等式组是解题关键．
22．（2021·重庆·中考模拟）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为_____．
【答案】3
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据题意得到关于a的方程，解之可得．
【详解】解：解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，解不等式a﹣x＞﹣1，得：x＜a+1，
∵不等式组的解集为2＜x＜4，∴a+1＝4，即a＝3，故答案为3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
23．（2021·江苏·中考模拟）若关于x的不等式组的所有整数解的和是－7，则m的取值范围是____．
【答案】－3＜m≤－2或2＜m≤3
【分析】先求得不等式的整数解集，再根据题意进行判断.
【详解】由得 ，故不等式的解集为，
不等式的所有整数解的和是-7 当m＜0时，则这两个负整数解一定是-3和-4
由此可得到-3＜m -2 当m＞0时，则2＜m 3 故m的取值范围是－3＜m≤－2或2＜m≤3
【点睛】本题考查不等式的整数解集，解题关键是判断m的取值范围.
24．（2021·武汉二中广雅中学九年级二模）已知抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，则的取值范围是__．
【答案】或．
【分析】联立方程可得，设，从而得出的图象在上与x轴只有一个交点，当△时，求出此时m的值；当△时，要使在之间有且只有一个公共点，则当x=-2时和x=2时y的值异号，从而求出m的取值范围；
【详解】联立可得：，令，
抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，
即的图象在上与x轴只有一个交点，
当△时，即△解得：，
当时，; 当时，，满足题意，
当△时，令，，令，，
，令代入解得：，
此方程的另外一个根为：，故也满足题意，故的取值范围为：或
故答案为: 或.
【点睛】此题考查的是根据二次函数与一次函数的交点问题，求函数中参数的取值范围，掌握把函数的交点问题转化为一元二次方程解的问题是解决此题的关键．
25.（2021·浙江·九年级期中）若关于x，y的方程是一个二元一次方程，则m的值为_____________．
【答案】-1
【分析】根据二元一次方程定义可得：|m|=1，且m-1≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：|m|=1，且m-1≠0，解得：m= -1，故答案为：-1．
【点睛】本题考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
26．（2021·浙江金华市·中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是____________．
【答案】2
【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵是方程的一个解，∴6+2m=10，解得m=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．
27．（2021·湖南长沙市·中考真题）若关于的方程的一个根为3，则的值为______．
【答案】
【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．
28．（2021·江苏扬州市·中考真题）已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值．
【答案】
【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：方程组，把②代入①得：，
解得：，代入①中，解得：，
把，代入方程得，，解得：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
B卷（建议用时：60分钟）
1．（2021·安徽定远·一模）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线经过第一、二、三象限可得，，将（2,1）代入可得k与b的关系式，进而可求得k的取值范围，再由可转化为m与k的关系式进而由k的范围求得m的取值范围即可．
【详解】解：∵直线经过第一、二、三象限，∴，，
∵直线过点（2，1），∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系以及解一元一次不等式的应用．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
2．（2021·山东菏泽市·中考真题）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解不等式组,确定每个不等式的解集,后根据不等式组的解集的意义,确定m的取值范围即可.
【详解】∵，解①得x＞2，解②得x＞m，
∵不等式组的解集为，根据大大取大的原则，∴，故选A.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练根据不等式组的解集确定字母的取值是解题的关键．
3．（2021·湖南·中考模拟）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出m＜4，然后分别取m=2，0，-1，得出整数解的个数，即可求解．
【详解】解不等式2x﹣6+m＜0，得：x，解不等式4x﹣m＞0，得：x，
∵不等式组有解，∴，解得m＜4，
如果m＝2，则不等式组的解集为x＜2，整数解为x＝1，有1个；
如果m＝0，则不等式组的解集为0＜x＜3，整数解为x＝1，2，有2个；
如果m＝﹣1，则不等式组的解集为x，整数解为x＝0，1，2，3，有4个；故选C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．
【详解】解：由关于的分式方程可得：，且，
∵方程的解为非负数，∴，且，解得：且，故选B．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不
等式的解法是解题的关键．
5.（2021·浙江·中考模拟）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，即无解或3（m+2）＝﹣3，
解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．
6．（2021·四川宜宾市·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．
【详解】解：，去分母得：，
∵关于x的分式方程有增根，增根为：x=2，∴，即：m=2，故选C．
【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．
7．（2021·重庆中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将分式方程化为整式方程，得到它的解为,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到且，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到，综合以上结论即可求出a的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．
【详解】解：,两边同时乘以（)，,,
由于该分式方程的解为正数，∴，其中;∴，且；
∵关于y的元一次不等式组有解，由①得：;由②得：;
∴，∴综上可得：,且;
∴满足条件的所有整数a为：；∴它们的和为；故选B．
【点睛】本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a的限制不等式，求出a的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，属于较难的计算问题．
8．（2021·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
【答案】B
【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到解得，再解分式方程得到，根据分式方程的解是正整数，得到，且是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后求和．
【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，
不等式组的解集为：
解分式方程得整理得，
则
分式方程的解是正整数，
，且是2的倍数，，且是2的倍数，
整数a的值为-1, 1, 3, 5, 故选：．
【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
9．（2021·湖北鄂州市·中考模拟）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵x1+x2=4，∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，解得：m=，故选A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=是解题的关键．
10．（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：,解得：且；故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
11．（2021·湖北黄冈市·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式，
解得，则的值可以是0，故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
12．（2021·湖北随州市·中考真题）已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出以及，然后根据条件变形代入求解即可．
【详解】由题意，，，
∵，∴，即：，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本公式，并灵活进行变形是解题关键．
13．（2020·四川绵阳市·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
【答案】≤m≤6
【分析】解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．
【详解】解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，
∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0•x＜13恒成立；
②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，∴m﹣6＜0，即m＜6，
∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞，
∵x＞﹣4都能使x＞成立，∴﹣4≥，∴﹣4m+24≤2m+1，∴m≥，
综上所述，m的取值范围是≤m≤6．故答案为：≤m≤6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．
14．（2021·辽宁中考真题）不等式组无解，则m的取值范围_________．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：解不等式①得：由②式知：
∵不等式组无解∴故答案为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解题的关键．
15．（2021·四川眉山市·中考真题）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】首先解关于的不等式，然后根据只有3个正整数解，来确定关于的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】解：解不等式，得：，
由题意只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，
故：，解得：，故答案是：．
【点睛】本题考查了关于不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于不等式的正整数解的情况来确定关于的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．
16．（2021·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可
【详解】∵，∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1，∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a，
∵不等式组有解但没有整数解，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组并解之是解题的关键．
17．（2021·四川成都·三模）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_______．
【答案】4
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】原不等式组的解集为：，
∵恰有3个整数解，∴，即：，∴正整数a为1,2,3，
∵关于的分式方程，∴整理得：，
∵有正整数解且，∴满足条件的整数的值为：1，3
∴所有满足条件的整数的值之和是4．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组的解以及解分式方程的步骤，是解题的关键．
18．（2021·北京中考真题）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得：，∴，
∵，∴，∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，
∵，∴，解得：，∵，∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
19．（2021·重庆·中考模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
【答案】(1)证明见解析；（2）k≤1；（3）2.
【解析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）由于二次函数的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
解析：（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1；
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．
20．（2022·广东·中考模拟）已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
【答案】(1) k≥﹣1且k≠1且k≠2；(2) x1=0，x2=3；(3)不成立
【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可；
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．
【详解】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数， ∴x≥0且x≠1，
又∵x=≥0，且≠1， ∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，∴k≠2，综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0， ∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），
∵x1、x2是整数，k、m都是整数， ∵x1+x2=3，x1•x2==1﹣， ∴1﹣为整数，∴m=1或﹣1，
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0， x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0， x1=0，x2=3；把m=﹣1,k=m+2=1不符合题意舍去.
（3）|m|≤2不成立，理由是：由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是负整数， ∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，x12+x22═x1x2+k2， （x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2， m2﹣4=1， m2=5， m=±， ∴|m|≤2不成立．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．
重难点05 方程（组）与不等式（组）中的含参问题
【命题趋势】
含参不等式（组）、方程（组）是各地中考中的常考题型，也是许多同学常常丢分的地方，其实此类问题解决起来并不困难，只要大家熟练掌握数形结合，再认真分析端点值，那么正确答案也便自然出来了。
【满分技巧】
1).一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题；二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决.
2).一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解、一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0. 已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.
3)．分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程.在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
4).不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式（组）有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围. 已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
【限时检测】
A卷（建议用时：60分钟）
1．（2021·山东菏泽市·中考真题）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
2．（2021·广西贺州市·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2021·浙江·模拟预测）已知关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2020·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
6．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·内蒙古·中考模拟）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·扬州市江都区第三中学九年级二模）已知过点的直线不经过第四象限，设，则的取值范围为（ ）
A．＜＜ B．≤＜ C．＜≤ D．≤≤
8．（2021·四川德阳·中考模拟）如果关于的不等式组的整数解仅有、，那么适合这个不等式组的整数、组成的有序数对共有（）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．（2020·山东济南市·中考真题）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
10．（2022·湖北·中考模拟）已知不等式组有解但没有整数解，则a的取值范围为____．
11．（2021·上海中考真题）若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________．
12．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
13．（2021·湖北中考真题）关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
14．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
15．（2021·湖北荆州市·中考真题）若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____________．
16．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
17．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____．
18．（2022·河北中考模拟）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
19．（2021·四川泸州市·中考真题）关于x的不等式组恰好有2个整数解，则实数a的取值范围是_________．
20．（2021·黑龙江中考真题）关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______．
21．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是__________．
22．（2021·重庆·中考模拟）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为_____．
23．（2021·江苏·中考模拟）若关于x的不等式组的所有整数解的和是－7，则m的取值范围是____．
24．（2021·武汉二中广雅中学九年级二模）已知抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，则的取值范围是__．
25.（2021·浙江·九年级期中）若关于x，y的方程是一个二元一次方程，则m的值为_____________．
26．（2021·浙江金华市·中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是____________．
27．（2021·湖南长沙市·中考真题）若关于的方程的一个根为3，则的值为______．
28．（2021·江苏扬州市·中考真题）已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值．
B卷（建议用时：60分钟）
1．（2021·安徽定远·一模）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东菏泽市·中考真题）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖南·中考模拟）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
5.（2021·浙江·中考模拟）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3
6．（2021·四川宜宾市·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
7．（2021·重庆中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
9．（2021·湖北鄂州市·中考模拟）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
10．（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
11．（2021·湖北黄冈市·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可）
12．（2021·湖北随州市·中考真题）已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______．
13．（2020·四川绵阳市·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
14．（2021·辽宁中考真题）不等式组无解，则m的取值范围_________．
15．（2021·四川眉山市·中考真题）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是______．
16．（2021·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为________．
17．（2021·四川成都·三模）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_______．
18．（2021·北京中考真题）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
19．（2021·重庆·中考模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
20．（2022·广东·中考模拟）已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
重难点05 方程（组）与不等式（组）中的含参问题
【命题趋势】
含参不等式（组）、方程（组）是各地中考中的常考题型，也是许多同学常常丢分的地方，其实此类问题解决起来并不困难，只要大家熟练掌握数形结合，再认真分析端点值，那么正确答案也便自然出来了。
【满分技巧】
1).一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题；二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决.
2).一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解、一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0. 已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.
3)．分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程.在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
4).不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式（组）有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围. 已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
【限时检测】
A卷（建议用时：60分钟）
1．（2021·山东菏泽市·中考真题）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】D
【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可．
【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于的方程有实数根，
∴，且 解得，且，
当方程为一元一次方程时，k=1，方程有实根综上，故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．
2．（2021·广西贺州市·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据分式方程有增根可求出，方程去分母后将代入求解即可.
【详解】解：∵分式方程有增根，∴，
去分母，得，将代入，得，解得．故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．
3．（2021·浙江·模拟预测）已知关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解．
【详解】解：去分母得：x-1=m，解得：x=m+1，
根据题意得：m+1=3，解得：m=2，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
4．（2020·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：，
∴，∴，∴，
∵解为非正数，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
5．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
【答案】A
【分析】先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．
【详解】关于x的分式方程得x=，
∵∴解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,故选A．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．
6．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a的不等式，即可求解．
【详解】解：解不等式得，，解不等式得，，
∵该不等式组无实数解，∴，解得：，故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解集的确定，即“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”．
6．（2022·内蒙古·中考模拟）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出不等式的解，求出不等式3（x-1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
【详解】解：解不等式得：，
不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，，，解得：，故选．
【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
7．（2020·扬州市江都区第三中学九年级二模）已知过点的直线不经过第四象限，设，则的取值范围为（ ）
A．＜＜ B．≤＜ C．＜≤ D．≤≤
【答案】B
【分析】根据一次函数图象与系数的关系可得a＞0，b≥0，将点（1，3）代入，得到a+b=3，即b=3-a．由a＞0，b≥0得出不等式组，解不等式组求出a的范围，再根据不等式的性质即可求出S的取值范围．
【详解】∵过点（1，3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第四象限，
∴a＞0，b≥0，a+b=3，∴b=3-a，∴，解得：0＜a≤3，
∴S=a+2b=a+2（3-a）=6-a，∴-3≤-a＜0，∴3≤6-a＜6，即S的取值范围为：3≤S＜6，故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，以及不等式的性质．掌握一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，b≥0时函数的图象不经过第四象限是解题的关键．
8．（2021·四川德阳·中考模拟）如果关于的不等式组的整数解仅有、，那么适合这个不等式组的整数、组成的有序数对共有（）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】求出不等式组的解集，根据已知求出1＜≤2、3≤＜4，求出2＜a≤4、9≤b＜12，即可得出答案．
【解析】解不等式2x−a≥0，得：x≥，解不等式3x−b≤0，得：x≤，
∵不等式组的整数解仅有x＝2、x＝3，则1＜≤2、3≤＜4，
解得：2＜a≤4、9≤b＜12，则a＝3时，b＝9、10、11；当a＝4时，b＝9、10、11；
所以适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对（a，b）共有6个，故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出a、b的值．
9．（2020·山东济南市·中考真题）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
【答案】A
【分析】当x2时，y值随x值的增大而增大，得由抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t，，得，分三种情况讨论，当对称轴在y轴的右侧时，有＞即＜ 当对称轴是y轴时，有 当对称轴在y轴的左侧时，有＞从而可得结论．
【详解】解：当对称轴在y轴的右侧时，
，由①得：＜ 由②得： 由③得：
解得：＜3，当对称轴是y轴时， m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，综上所述，满足条件的m的值为．故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．
10．（2022·湖北·中考模拟）已知不等式组有解但没有整数解，则a的取值范围为____．
【答案】
【分析】解两个不等式求得x的范围，由不等式组有解，但没有整数解可得关于a的不等式组，解之可得答案．
【解析】解不等式，得：，解不等式，得：，
则不等式组的解集为，有解但没有整数解，
，解得：，故答案为．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．（2021·上海中考真题）若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围．
【详解】解：关于x的一元二次方程无解，
∵，，，∴，解得，
∴的取值范围是．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
12．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
【答案】8或9
【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，
因此有，解得，则方程为，解得另一个根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，
因此，根的判别式，解得，则方程为，解得方程的根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
综上，的值为8或9，故答案为：8或9．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．
13．（2021·湖北中考真题）关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
【答案】3
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．
【详解】解：由题意得：，
，，化成整式方程为，解得或，
经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
14．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
【答案】1
【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．
【详解】解（x-3m）（x-m）=0∴x-3m=0或x-m=0解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2解得m=1故答案为：1．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
15．（2021·湖北荆州市·中考真题）若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____________．
【答案】m＞-7且m≠-3
【分析】先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】解：由，得：且x≠2，
∵关于的方程的解是正数，∴且，解得：m＞-7且m≠-3，
故答案是：m＞-7且m≠-3．
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键．
16．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
【答案】
【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值．
【详解】解：，
整理得：
若分式方程的解为整数，
为整数，当时，解得：，经检验：成立；
当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上:，故答案是：．
【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．
17．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____．
【答案】．
【分析】根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：①-②，得
∵∴，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键．
18．（2022·河北中考模拟）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
【答案】a≤-1.
【分析】根据x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【解析】解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，∴4a-3a-1＜0，解得：a＜1，
∵x=2不是这个不等式的解，∴2a-3a-1≥0，解得：a≤-1，∴a≤-1，故答案为：a≤-1．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．
19．（2021·四川泸州市·中考真题）关于x的不等式组恰好有2个整数解，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】首先解每个不等式，根据不等式组只有2个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围．
【详解】解：解①得，解②得，不等式组的解集是．
∵不等式组只有2个整数解，∴整数解是2，3．则,∴故答案是：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．（2021·黑龙江中考真题）关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解．
【详解】解：由关于的一元一次不等式组可得：，
∵不等式组有解，∴，解得：；故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
21．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是__________．
【答案】-1
【详解】解不等式得：，解不等式得：，∴不等式的解集为1≤x＜，
∵不等式组只有2个整数解，∴不等式组的整数解为1、2，∴2＜≤3，解得：-1＜a≤1，
故答案为：-1＜a≤1
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求解不等式组，根据x的整数解得出关于a的不等式组是解题关键．
22．（2021·重庆·中考模拟）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为_____．
【答案】3
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据题意得到关于a的方程，解之可得．
【详解】解：解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，解不等式a﹣x＞﹣1，得：x＜a+1，
∵不等式组的解集为2＜x＜4，∴a+1＝4，即a＝3，故答案为3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
23．（2021·江苏·中考模拟）若关于x的不等式组的所有整数解的和是－7，则m的取值范围是____．
【答案】－3＜m≤－2或2＜m≤3
【分析】先求得不等式的整数解集，再根据题意进行判断.
【详解】由得 ，故不等式的解集为，
不等式的所有整数解的和是-7 当m＜0时，则这两个负整数解一定是-3和-4
由此可得到-3＜m -2 当m＞0时，则2＜m 3 故m的取值范围是－3＜m≤－2或2＜m≤3
【点睛】本题考查不等式的整数解集，解题关键是判断m的取值范围.
24．（2021·武汉二中广雅中学九年级二模）已知抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，则的取值范围是__．
【答案】或．
【分析】联立方程可得，设，从而得出的图象在上与x轴只有一个交点，当△时，求出此时m的值；当△时，要使在之间有且只有一个公共点，则当x=-2时和x=2时y的值异号，从而求出m的取值范围；
【详解】联立可得：，令，
抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，
即的图象在上与x轴只有一个交点，
当△时，即△解得：，
当时，; 当时，，满足题意，
当△时，令，，令，，
，令代入解得：，
此方程的另外一个根为：，故也满足题意，故的取值范围为：或
故答案为: 或.
【点睛】此题考查的是根据二次函数与一次函数的交点问题，求函数中参数的取值范围，掌握把函数的交点问题转化为一元二次方程解的问题是解决此题的关键．
25.（2021·浙江·九年级期中）若关于x，y的方程是一个二元一次方程，则m的值为_____________．
【答案】-1
【分析】根据二元一次方程定义可得：|m|=1，且m-1≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：|m|=1，且m-1≠0，解得：m= -1，故答案为：-1．
【点睛】本题考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
26．（2021·浙江金华市·中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是____________．
【答案】2
【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵是方程的一个解，∴6+2m=10，解得m=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．
27．（2021·湖南长沙市·中考真题）若关于的方程的一个根为3，则的值为______．
【答案】
【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．
28．（2021·江苏扬州市·中考真题）已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值．
【答案】
【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：方程组，把②代入①得：，
解得：，代入①中，解得：，
把，代入方程得，，解得：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
B卷（建议用时：60分钟）
1．（2021·安徽定远·一模）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线经过第一、二、三象限可得，，将（2,1）代入可得k与b的关系式，进而可求得k的取值范围，再由可转化为m与k的关系式进而由k的范围求得m的取值范围即可．
【详解】解：∵直线经过第一、二、三象限，∴，，
∵直线过点（2，1），∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系以及解一元一次不等式的应用．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
2．（2021·山东菏泽市·中考真题）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解不等式组,确定每个不等式的解集,后根据不等式组的解集的意义,确定m的取值范围即可.
【详解】∵，解①得x＞2，解②得x＞m，
∵不等式组的解集为，根据大大取大的原则，∴，故选A.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练根据不等式组的解集确定字母的取值是解题的关键．
3．（2021·湖南·中考模拟）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出m＜4，然后分别取m=2，0，-1，得出整数解的个数，即可求解．
【详解】解不等式2x﹣6+m＜0，得：x，解不等式4x﹣m＞0，得：x，
∵不等式组有解，∴，解得m＜4，
如果m＝2，则不等式组的解集为x＜2，整数解为x＝1，有1个；
如果m＝0，则不等式组的解集为0＜x＜3，整数解为x＝1，2，有2个；
如果m＝﹣1，则不等式组的解集为x，整数解为x＝0，1，2，3，有4个；故选C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．
【详解】解：由关于的分式方程可得：，且，
∵方程的解为非负数，∴，且，解得：且，故选B．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不
等式的解法是解题的关键．
5.（2021·浙江·中考模拟）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，即无解或3（m+2）＝﹣3，
解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．
6．（2021·四川宜宾市·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．
【详解】解：，去分母得：，
∵关于x的分式方程有增根，增根为：x=2，∴，即：m=2，故选C．
【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．
7．（2021·重庆中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将分式方程化为整式方程，得到它的解为,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到且，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到，综合以上结论即可求出a的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．
【详解】解：,两边同时乘以（)，,,
由于该分式方程的解为正数，∴，其中;∴，且；
∵关于y的元一次不等式组有解，由①得：;由②得：;
∴，∴综上可得：,且;
∴满足条件的所有整数a为：；∴它们的和为；故选B．
【点睛】本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a的限制不等式，求出a的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，属于较难的计算问题．
8．（2021·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
【答案】B
【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到解得，再解分式方程得到，根据分式方程的解是正整数，得到，且是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后求和．
【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，
不等式组的解集为：
解分式方程得整理得，
则
分式方程的解是正整数，
，且是2的倍数，，且是2的倍数，
整数a的值为-1, 1, 3, 5, 故选：．
【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
9．（2021·湖北鄂州市·中考模拟）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵x1+x2=4，∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，解得：m=，故选A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=是解题的关键．
10．（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：,解得：且；故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
11．（2021·湖北黄冈市·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式，
解得，则的值可以是0，故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
12．（2021·湖北随州市·中考真题）已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出以及，然后根据条件变形代入求解即可．
【详解】由题意，，，
∵，∴，即：，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本公式，并灵活进行变形是解题关键．
13．（2020·四川绵阳市·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
【答案】≤m≤6
【分析】解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．
【详解】解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，
∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0•x＜13恒成立；
②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，∴m﹣6＜0，即m＜6，
∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞，
∵x＞﹣4都能使x＞成立，∴﹣4≥，∴﹣4m+24≤2m+1，∴m≥，
综上所述，m的取值范围是≤m≤6．故答案为：≤m≤6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．
14．（2021·辽宁中考真题）不等式组无解，则m的取值范围_________．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：解不等式①得：由②式知：
∵不等式组无解∴故答案为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解题的关键．
15．（2021·四川眉山市·中考真题）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】首先解关于的不等式，然后根据只有3个正整数解，来确定关于的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】解：解不等式，得：，
由题意只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，
故：，解得：，故答案是：．
【点睛】本题考查了关于不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于不等式的正整数解的情况来确定关于的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．
16．（2021·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可
【详解】∵，∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1，∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a，
∵不等式组有解但没有整数解，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组并解之是解题的关键．
17．（2021·四川成都·三模）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_______．
【答案】4
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】原不等式组的解集为：，
∵恰有3个整数解，∴，即：，∴正整数a为1,2,3，
∵关于的分式方程，∴整理得：，
∵有正整数解且，∴满足条件的整数的值为：1，3
∴所有满足条件的整数的值之和是4．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组的解以及解分式方程的步骤，是解题的关键．
18．（2021·北京中考真题）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得：，∴，
∵，∴，∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，
∵，∴，解得：，∵，∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
19．（2021·重庆·中考模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
【答案】(1)证明见解析；（2）k≤1；（3）2.
【解析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）由于二次函数的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
解析：（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1；
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．
20．（2022·广东·中考模拟）已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
【答案】(1) k≥﹣1且k≠1且k≠2；(2) x1=0，x2=3；(3)不成立
【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可；
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．
【详解】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数， ∴x≥0且x≠1，
又∵x=≥0，且≠1， ∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，∴k≠2，综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0， ∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），
∵x1、x2是整数，k、m都是整数， ∵x1+x2=3，x1•x2==1﹣， ∴1﹣为整数，∴m=1或﹣1，
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0， x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0， x1=0，x2=3；把m=﹣1,k=m+2=1不符合题意舍去.
（3）|m|≤2不成立，理由是：由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是负整数， ∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，x12+x22═x1x2+k2， （x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2， m2﹣4=1， m2=5， m=±， ∴|m|≤2不成立．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．
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