专题13不等式（组）-2022年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练试卷（学生版+教师版）

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一、热点题型归纳
【题型一】 不等式的性质与不等式的解
【题型二】 解不等式（组）
【题型三】 一元一次不等式（组）的应用
二、最新模考题组练2
【题型一】 不等式的性质与不等式的解
【典例分析】（2021·山东日照·中考真题）若不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：解不等式，得：，
且不等式组的解集为，
，故选：C．
【提分秘籍】
1.不等式的性质
解与不等式的性质有关的问题时，主要是根据不等式的性质判断不等号的方向：
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；
(4)若a>b，b>c，则a>c(不等式的传递性)。
2.一元一次不等式（组）的特殊解问题
求一元一次不等式（组）的特殊解的基本思路是先求关于某一指定字母的一元一次不等式（组）的解集，然后根据题目中的要求来确定此解集中符合条件的特殊解。
3.含参数的一元一次不等式（组）问题
解此类问题的关键是利用逆向思维，即根据不等式（组）解的情况来求不等式(组)中的参数。解这类问题的基本思路是先解关于x的一元一次不等式（组），然后根据该不等式（组）解集的情况来推断不等式（组）中字母的取值。
【变式演练】
1．（2021·辽宁鞍山·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出不等式的解集，将解集在数轴上表示出来．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴不等式的解集为：，
表示在数轴上如图：
故选B．
2．（2021·贵州遵义·中考真题）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关系正确的是（ ）
A．5×2+2x≥30B．5×2+2x≤30C．2×2+2x≥30D．2×2+5x≤30
【答案】D
【分析】设小明还能买x支签字笔，则小明购物的总数为元，再列不等式即可.
【解析】解：设小明还能买x支签字笔，
则：
故选：
3．（2021·山东泰安·中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．
【答案】C
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【解析】解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【题型二】 解不等式（组）
【典例分析】（2021·山东济南·中考真题）解不等式组：并写出它的所有整数解．
【答案】；
【分析】分别解不等式①，②，进而求得不等式组的解集，根据不等式组的解集写出所有整数解即可．
【解析】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
它的所有整数解为：
【提分秘籍】
1.解一元一次不等式
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤将不等式逐步化为xa)或x≤a(≥a)的形式。特别注意“去分母”和“系数化为1”这两步，不等式两边乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变，把不等式的解集表示在数轴上的方法，可概括为“大于向右画，小于向左画，有等号是实心圆点，无等号是空心圆圈”。
2.解一元一次不等式组
解一元一次不等式组，通常先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后在同一条数轴上分别表示出每个解集，就可以直观地求得它们的公共部分，即该不等式组的解集（如果没有公共部分，那么该不等式组无解）。一元一次不等式组解集的四种情况可概括：为“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”。
【变式演练】
1．（2021·西藏·中考真题）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣1＜x≤2，解集在数轴上的表示见解析．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：解不等式2x＋3＞1，得：x＞﹣1，
解不等式≤，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
2．（2021·广西百色·中考真题）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴表示见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得x＜7，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
∴原不等式组的解集是．
3．（2021·贵州毕节·中考真题）取哪些正整数值时，不等式与都成立?
【答案】1、2、3
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出满足条件的x的整数．
【解析】解不等式得：
解不等式得：
∴
∴符合条件的正整数值有1、2、3
【题型三】 一元一次不等式（组）的应用
【典例分析】（2021·广西贵港·中考真题）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．
（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱，计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
【答案】（1）甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料；（2）见解析
【分析】（1）设甲型货车每辆可装载箱材料，乙型货车每辆可装载箱材料，根据“若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用辆甲型货车，则租用辆乙型货车，根据“租用的乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，且要运往工厂的这批材料不超过1245箱”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出各租车方案．
【解析】解：（1）设甲型货车每辆可装载箱材料，乙型货车每辆可装载箱材料，
依题意得：，
解得：．
答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料．
（2）设租用辆甲型货车，则租用辆乙型货车，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
可以取18，19，
该公司共有2种租车方案，
方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；
方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车．
【提分秘籍】
1.一元一次不等式的实际应用问题
列不等式解应用题时，要用含未知数的代数式表示相关量，分析主要的数量（包括相等和不等）关系，从而列出不等式，转化为数学模型。要注意题设中“不少于”“至少”“超过”“最多”等语句所隐含的不等关系，列出不等式。
2.在解决实际问题时，通常可以借助多个参数，使它们参与到列式中来，这些参数只起到“辅助”作用，一般可以根据不等式的性质约掉。
3.有关一元一次不等式组的实际应用问题
利用不等式组解实际问题时，首先要将题目中的不等关系用不等式表示出来.在求得未知数的值后，要检验所求的值是否与实际意义相符。
【变式演练】
1．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元，第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买《西游记》多少本？
【答案】（1）《西游记》、《水浒传》每本售价分别是60元、60元；（2）88本
【分析】（1）设出《西游记》和《水浒传》每本的价格，根据题意列出关于单价的方程组，即可解决问题．
（2）设这次购买《西游记》本，根据再购买上述四种图书，总费用不超过32000元列出关于a的不等式，即可解决问题．
【解析】解：（1）设《西游记》每本售价x元，《水浒传》每本售价y元，
则
解得
答：《西游记》、《水浒传》每本传价分别是60元、60元．
（2）由题意可知《三国演义》每本售价为 (元)．
《红楼梦》每本售价为 (元)，
设这次购买《西游记》本，则：
解得
∵为正整数，
∴取．
答：这次购买《西游记》最多为88本．
2．（2021·辽宁营口·中考真题）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
【答案】（1）“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）最多能购买“科普类”图书33本．
【分析】（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，结合购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设能购买“科普类”图书m本，根据总价＝单价×数量，列出不等式，即可求解．
【解析】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，
依题意，得： ，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝18．
答：“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；
（2）设能购买“科普类”图书m本，
根据题意得：18m+15(100-m)≤1600，
解得：，
∵m为整数，
∴最多能购买“科普类”图书33本．
3．（2021·黑龙江·中考真题）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件；方案一需要资金最少，最少资金是10万元；（3）节省的资金再次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件
【分析】（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，根据题意可直接列出二元一次方程组求解即可；
（2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于m的一元一次不等式组，求解即可得到m的范围，从而根据实际意义确定出m的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可；
（3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合实际意义进行求解即可．
【解析】解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元．
根据题意，得，
解得：，
答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．
（2）根据题意，得，
解得：，
∵m为整数，
∴m可取5、6、7，
∴有三种方案：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
设总资金为W万元，则，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当时，（万元），
∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元．
（3）由（2）可知，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件时，费用最小，
根据题意，此时，节省的费用为（万元），
降价后的单价分别为：甲种0.8万元，乙种0.3万元，
设节省的资金可购买a台甲种，b台乙种，
则：，
由题意，a，b均为非负整数，
∴满足条件的解为：或，
∴节省的资金再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；
方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．
1．（2022·重庆南开中学九年级开学考试）若关于的不等式组有解，且使关于的分式方程的解为非负数．则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．-9B．-8C．-5D．-4
【答案】A
【分析】先求不等式组的解集，根据不等式组有解，可得，然后再解出分式方程，再根据分式方程的解为非负数，可得，即可求解．
【解析】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵不等式组有解，
∴，解得：，
，
去分母得：，
∵分式方程的解为非负数，且不等于2
∴，即且，
∴，且
∴满足条件的所有整数有-5、-4、-3、-2、0、1、2、3，
∴满足条件的所有整数的和．
故选：B．
2．（2022·山东·东营市实验中学模拟预测）如果关于的不等式的解集是，那么数应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的解可得，由此即可得出答案．
【解析】解：关于的不等式的解集是，
，
解得，
故选：B．
3．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【分析】利用不等式的性质逐项判断，得出答案即可．
【解析】解：、若，则，时不成立，此选项错误，符合题意；B、若，则，此选项正确，不符合题意；C、若，则，此选项正确，不符合题意；D、若，则，此选项正确，不符合题意．故选：A．
4．（2022·重庆一中九年级开学考试）如果关于x的分式方程的解为整数，且关于y的不等式组有解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．－1B．0C．1D．4
【答案】A
【分析】先解分式方程，根据分式方程有整数解求解的值，再根据一元一次不等式组有解，求解的取值范围，从而可得答案.
【解析】解：


关于x的分式方程的解为整数，
则
或
解得：或或或
又 则 即

所以或或
由①得：
由②得：
关于y的不等式组有解，


综上：或
符合条件的所有整数a的和为
故选A
5．（2022·湖北·黄石市有色中学九年级开学考试）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解析】解：由得：
由得：
综合得：
故选：D．
6．（2022·重庆巴蜀中学九年级开学考试）已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，不等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可．
【解析】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4，
∴−4