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苏教版高中数学必修第一册第7章三角函数1_3综合拔高练含解析
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这是一份苏教版高中数学必修第一册第7章三角函数1_3综合拔高练含解析，共18页。
综合拔高练
五年高考练
考点1 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.(2020全国Ⅱ,2,5分,)若α为第四象限角,则 ( )
A.cos2α>0 B.cos2α<0
C.sin2α>0 D.sin2α<0
2.(2020北京,9,4分,)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2020北京,10,4分,)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是 ( )
A.3nsin30°n+tan30°n
B.6nsin30°n+tan30°n
C.3nsin60°n+tan60°n
D.6nsin60°n+tan60°n
4.(2017北京,9,5分,)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则sinβ= .
考点2 三角函数的图象及应用
5.(2020全国Ⅰ,7,5分,)设函数f(x)=cosωx+π6在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为( )
A.10π9 B.7π6 C.4π3 D.3π2
6.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分,)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)= ( )
A.sinx+π3 B.sinπ3-2x
C.cos2x+π6 D.cos5π6-2x
7.(2018浙江,5,4分,)函数y=2|x|sin2x的图象可能是 ( )
考点3 三角函数的性质
8.(2020天津,8,5分,)已知函数f(x)=sinx+π3.给出下列结论:
①f(x)的最小正周期为2π;
②fπ2是f(x)的最大值;
③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
其中所有正确结论的序号是 ( )
A.① B.①③ C.②③ D.①②③
9.(2019课标全国Ⅱ,9,5分,)下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是 ( )
A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
10.(2018江苏,7,5分,)已知函数y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的图象关于直线x=π3对称,则φ的值是 .
11.(2020全国Ⅲ,16,5分,)关于函数f(x)=sinx+1sinx有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=π2对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
考点4 三角函数图象的变换及应用
12.(2019天津,7,5分,)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且gπ4=2,则f3π8=( )
A.-2 B.-2 C.2 D.2
13.(2018天津,6,5分,)将函数y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间3π4,5π4上单调递增
B.在区间3π4,π上单调递减
C.在区间5π4,3π2上单调递增
D.在区间3π2,2π上单调递减
14.(2020江苏,10,5分,)将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
三年模拟练
1.(2020浙江杭州高级中学高一上期末,)已知θ∈π2,π,则1+2sin(π+θ)sinπ2-θ= ( )
A.±(sinθ-cosθ) B.cosθ-sinθ
C.sinθ-cosθ D.sinθ+cosθ
2.(2021江苏南通海门第一中学高一期末,)已知sinx+π3=14,则sin2π3-x+sin2π6-x= ( )
A.1 B.15+14 C.1916 D.34
3.(2021北京一零一中学高一期末,)如图,一个摩天轮的半径为10m,轮子的最低点处距离地面2m.如果此摩天轮按逆时针匀速转动,每30分钟转一圈,且当摩天轮上某人经过点P(点P与摩天轮中心O的高度相同)时开始计时,那么在摩天轮转动的一圈内,此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是 ( )
A.8分钟 B.10分钟 C.12分钟 D.14分钟
4. (2021江苏淮安金湖中学高一期末,)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,
|φ|<π2的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)=2cos12x-π3
B.不等式f(x)>1的解集为2kπ-π3,2kπ+π,k∈Z
C.函数f(x)的一个单调递减区间为π3,7π3
D.若将函数f(x)的图象向右平移5π3个单位长度后所得图象对应的函数为g(x),则g(x)是奇函数
5.(多选)(2020山东淄博高一上期末,)对于函数f(x)=sinx,sinx≤cosx,cosx,sinx>cosx,下列四个结论中正确的是 ( )
A.f(x)是以π为最小正周期的函数
B.当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值-1
C.f(x)的图象的对称轴为直线x=π4+kπ(k∈Z)
D.当且仅当2kπ
A.该函数图象的一个对称中心是(7,0)
B.该函数图象的对称轴方程是x=-12+3k,k∈Z
C.f(x)在-72,-13上单调递增
D.f(x)=2cosπ3x+π6
7.(2021江苏南京大厂高级中学高一月考,)将函数f(x)=cosωx(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间0,π2上是单调递减函数,则实数ω的最大值为 .
8.(2021江苏南京秦淮中学高一期中,)已知关于x的方程2x2-(3+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,θ∈(0,2π).求:
(1)tanθsinθtanθ-1+cosθ1-tanθ的值;
(2)m的值;
(3)方程的两个根及此时θ的值.
9.(2020江苏南京高一上期末,)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈-π2,0时,求函数f(x)的值域.
10.(2020福建师大附中高一期末,)定义在R上的函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0≤φ≤π2,若已知其在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值,且当x=π时,函数取得最大值3;当x=6π时,函数取得最小值-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的13倍,得到函数g(x)的图象,再将函数g(x)的图象向左平移φ0(φ0>0)个单位长度,得到函数h(x)的图象,已知函数y=eg(x)+lgh(x)的最大值为e,求满足条件的φ0的最小值;
(3)是否存在实数m,满足不等式Asin(ω-m2+2m+3+φ)>Asin(ω-m2+4+φ)?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
7.1~7.3综合拔高练
五年高考练
1.D ∵α是第四象限角,∴-π2+2kπ<α<2kπ,k∈Z,∴-π+4kπ<2α<4kπ,k∈Z,∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上,∴sin2α<0,cos2α可正、可负、可为零.故选D.
2.C (1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,
(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,
sinα=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sinβ;
(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,
sinα=sin(2nπ+β)=sinβ.
由(i)(ii)知,充分性成立.
(2)必要性:若sinα=sinβ成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,
即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故选C.
3.A 易知单位圆的内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n,每条边长为2sin30°n,
所以单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n,单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n,其周长为12ntan30°n,
所以2π≈12nsin30°n+12ntan30°n2
=6nsin30°n+tan30°n,
所以π≈3nsin30°n+tan30°n.故选A.
4.答案 13
解析 ∵角α与角β的终边关于y轴对称,
∴β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sinα=13,
∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα=13(k∈Z).
5.C 解法一:设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可得T<π--4π9且T2>-4π9-(-π),所以10π9
6.BC 由题图可知,T2=2π3-π6=π2,∴T=π,由T=2π|ω|可知,2π|ω|=π,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),又∵图象过π6,0,∴sinπ3+φ=0,∴π3+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=2π3+2kπ,k∈Z,不妨取φ=2π3,则f(x)=sin2x+2π3=sin2x+π6+π2=cos2x+π6,f(x)=sin2x+2π3=sinπ-π3-2x=sinπ3-2x,故选BC.
7.D 令y=f(x)=2|x|sin2x,则f(-x)=2|-x|·sin(-2x)=-2|x|sin2x=-f(x),又函数的定义域为R,所以f(x)为奇函数①;当x∈(0,π)时,2|x|>0,sin2x可正可负,所以f(x)可正可负②.由①②可知,选D.
8.B 函数f(x)=sinx+π3的最小正周期T=2π1=2π,①正确;易知fπ6=sinπ2=1,fπ2=sinπ2+π3=sin5π6=12<1,②错误;把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度,得到的是函数y=sinx+π3的图象,③正确.故选B.
9.A 对于选项A,作出f(x)=|cos2x|的部分图象,如图1所示,则f(x)在π4,π2上单调递增,且最小正周期T=π2,故A正确.
图1
对于选项B,作出f(x)=|sin2x|的部分图象,如图2所示,则f(x)在π4,π2上单调递减,且最小正周期T=π2,故B不正确.
图2
对于选项C,∵f(x)=cos|x|=cosx,∴最小正周期T=2π,故C不正确.
对于选项D,作出f(x)=sin|x|的部分图象,如图3所示.显然f(x)不是周期函数,故D不正确.故选A.
图3
10.答案 -π6
解析 由题意可得sin2π3+φ=±1,所以2π3+φ=π2+kπ(k∈Z),解得φ=-π6+kπ(k∈Z),因为-π2<φ<π2,所以当k=0时,φ=-π6.
11.答案 ②③
解析 要使函数f(x)=sinx+1sinx有意义,则有sinx≠0,∴x≠kπ,k∈Z,∴定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},定义域关于原点对称.
又∵f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=-sinx-1sinx=-sinx+1sinx=-f(x),∴f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称,
∴①是假命题,②是真命题.
对于③,要证f(x)的图象关于直线x=π2对称,只需证fπ2-x=fπ2+x.
∵fπ2-x=sinπ2-x+1sinπ2-x=cosx+1cosx,
fπ2+x=sinπ2+x+1sinπ2+x=cosx+1cosx,
∴fπ2-x=fπ2+x,∴③是真命题.
令sinx=t,-1≤t≤1且t≠0,
∴g(t)=t+1t,-1≤t≤1且t≠0,此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分),∴函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),
∴函数的最小值不为2,即f(x)的最小值不为2,∴④是假命题.
综上所述,所有真命题的序号是②③.
12.C ∵f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)为奇函数,∴φ=kπ,k∈Z,又|φ|<π,
∴φ=0,∴f(x)=Asinωx,则g(x)=Asinω2x.由g(x)的最小正周期T=2π,得ω2=2πT=1,∴ω=2.又gπ4=Asinπ4=22A=2,∴A=2,∴f(x)=2sin2x,
∴f3π8=2sin3π4=2,故选C.
13.A 将y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数为y=sin2x-π10+π5=sin2x,令2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π4≤x≤kπ+π4(k∈Z),此时y=sin2x单调递增,令k=1,则x∈3π4,5π4,所以y=sin2x在3π4,5π4上单调递增,故选A.
14.答案 x=-5π24
解析 将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=3sin2x-π6+π4=3sin2x-π12.令2x-π12=π2+kπ,k∈Z,得x=kπ2+724π,k∈Z,当k=-1时,对称轴方程为x=-5π24,故平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=-5π24.
三年模拟练
1.C 1+2sin(π+θ)sinπ2-θ
=1-2sinθcosθ
=sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ
=(sinθ-cosθ)2=|sinθ-cosθ|,
∵π2≤θ≤π,∴sinθ>cosθ,即sinθ-cosθ>0.∴原式=sinθ-cosθ,故选C.
2.C 由已知得cosπ6-x=cosπ2-π3+x=sinπ3+x=14,
则sin2π6-x=1-cos2π6-x=1-142=1516.
sin2π3-x=sinπ2+π6-x=cosπ6-x=14,
所以sin2π3-x+sin2π6-x=14+1516=1916.故选C.
3.B 设t分钟时此人相对于地面的高度为hm.
由题意得,当t=0时,h=12.
在t分钟时,此人转过的角为2π30t=π15t,
此时此人相对于地面的高度h=10sinπ15t+12(0≤t≤30),
令10sinπ15t+12≥17,则sinπ15t≥12,
所以π6≤π15t≤5π6,解得52≤t≤252,
故在摩天轮转动的一圈内,此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是252-52=10分钟.故选B.
4.C 由题图易得A=2,f(x)的最小正周期T=4×π3--2π3=4π,所以ω=2π4π=12,所以f(x)=2cos12x+φ.由点π3,2在f(x)的图象上,得12×π3+φ=2kπ,k∈Z,即φ=-π6+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=-π6,所以f(x)=2cos12x-π6,所以A错误.
令f(x)>1,得cos12x-π6>12,所以2kπ-π3<12x-π6<2kπ+π3,k∈Z,解得4kπ-π31的解集为4kπ-π3,4kπ+π,k∈Z,所以B错误.
令2kπ≤12x-π6≤2kπ+π,k∈Z,得4kπ+π3≤x≤4kπ+7π3,k∈Z,取k=0,得π3≤x≤7π3,所以f(x)的一个单调递减区间为π3,7π3,所以C正确.
将函数f(x)的图象向右平移5π3个单位长度后得到g(x)=2cos12x-5π3-π6=
2cos12x-π=-2cos12x的图象,易得g(x)是偶函数,所以D错误.
故选C.
5.CD 作出函数f(x)的部分图象,如图中实线部分所示,由图象知f(x)的最小正周期为2π,A错误;当且仅当x=2kπ+π或x=2kπ-π2(k∈Z)时,f(x)取得最小值-1,B错误;f(x)图象的对称轴为直线x=π4+kπ(k∈Z),C正确;由0
6.ABD 由题意得函数f(x)的最小正周期T=6,∴ω=2πT=π3,∴f(x)=2sinπx3+φ,
将点P的坐标代入函数f(x)的解析式,可得f-12=2sinφ-π6=2,则sinφ-π6=1,∴φ-π6=π2+2kπ,k∈Z,
∴φ=2π3+2kπ,k∈Z,
∵0<φ<π,∴φ=2π3,
∴f(x)=2sinπ3x+2π3=2sinπ3x+π6+π2=2cosπ3x+π6,D选项正确;
f(7)=2cos7π3+π6=2cos5π2=0,A选项正确;
令π3x+π6=kπ(k∈Z),解得x=-12+3k(k∈Z),∴函数f(x)图象的对称轴方程是x=-12+3k,k∈Z,B选项正确;
当x∈-72,-13时,-π≤π3x+π6≤π18,∴函数f(x)在区间-72,-13上不单调,C选项错误.
故选ABD.
7.答案 32
解析 将函数f(x)=cosωx(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后,得到函数g(x)=cosωx+ωπ6的图象,当x∈0,π2时,ωx+ωπ6∈ωπ6,2ωπ3,∵函数g(x)在区间0,π2上是单调递减函数,
∴ωπ6≥0,2ωπ3≤π,ω>0,解得0<ω≤32,
∴实数ω的最大值为32.
8.解析 (1)∵关于x的方程2x2-(3+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,
∴sinθ+cosθ=3+12,sinθcosθ=m2,
∴tanθsinθtanθ-1+cosθ1-tanθ=sin2θsinθ-cosθ+cos2θcosθ-sinθ=(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)sinθ-cosθ=sinθ+cosθ=3+12.
(2)由(1)知sinθ+cosθ=3+12,sinθcosθ=m2,∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=3+122,
即1+m=3+122,解得m=32.
(3)由(1)(2)知sinθ+cosθ=3+12,sinθ·cosθ=34,解得sinθ=12,cosθ=32或sinθ=32,cosθ=12.故此时方程的两个根分别为12,32,对应θ的值为π6或π3.
9.解析 (1)由题中图象知A=2,最小正周期T=43×11π12-π6=π,
所以ω=2πT=2,从而f(x)=2sin(2x+φ).
因为f(x)的图象经过点π6,2,
所以2sinπ3+φ=2,即sinπ3+φ=1,
从而π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,
即φ=2kπ+π6,k∈Z.
因为|φ|<π,所以φ=π6,
所以f(x)=2sin2x+π6.
(2)令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.
(3)令t=2x+π6.
因为x∈-π2,0,所以t∈-5π6,π6,
所以sint∈-1,12,所以2sint∈[-2,1].
所以当x∈-π2,0时,函数f(x)的值域为[-2,1].
10.解析 (1)∵f(x)max=f(π)=3,f(x)min=f(6π)=-3,
∴A=3,最小正周期T=2πω=2×(6π-π)=10π,∴ω=15.∴f(x)=3sinx5+φ.
易知f(π)=3sinπ5+φ=3,
∴π5+φ=2kπ+π2,k∈Z,
解得φ=2kπ+3π10,k∈Z,
又0≤φ≤π2,∴φ=3π10,
∴f(x)=3sin15x+3π10.
(2)由题意得g(x)=sin15x+3π10,h(x)=sin15x+3π10+15φ0.
易知函数y=ex与函数y=lgx均为增函数,且-1≤g(x)≤1,0
由g(x)=sin15x+3π10=1,
得15x+3π10=π2+2kπ,k∈Z.
又h(x)=sin15x+3π10+15φ0=1,
∴cos15φ0=1,
∴φ0=10kπ,k∈Z,
又φ0>0,∴φ0的最小值为10π.
(3)易得-m2+2m+3≥0,-m2+4≥0,解得-1≤m≤2.
∵-m2+2m+3=-(m-1)2+4≤4,
∴0≤-m2+2m+3≤2.
同理,0≤-m2+4≤2.
∵ω=15,φ=3π10,
∴ω-m2+2m+3+φ∈3π10,25+3π10,
ω-m2+4+φ∈3π10,25+3π10.
由(1)知函数f(x)在[-4π,π]上递增,
要使Asin(ω-m2+2m+3+φ)>Asin(ω-m2+4+φ),
只需-m2+2m+3>-m2+4,即m>12,又-1≤m≤2,∴12
综合拔高练
五年高考练
考点1 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.(2020全国Ⅱ,2,5分,)若α为第四象限角,则 ( )
A.cos2α>0 B.cos2α<0
C.sin2α>0 D.sin2α<0
2.(2020北京,9,4分,)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2020北京,10,4分,)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是 ( )
A.3nsin30°n+tan30°n
B.6nsin30°n+tan30°n
C.3nsin60°n+tan60°n
D.6nsin60°n+tan60°n
4.(2017北京,9,5分,)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则sinβ= .
考点2 三角函数的图象及应用
5.(2020全国Ⅰ,7,5分,)设函数f(x)=cosωx+π6在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为( )
A.10π9 B.7π6 C.4π3 D.3π2
6.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分,)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)= ( )
A.sinx+π3 B.sinπ3-2x
C.cos2x+π6 D.cos5π6-2x
7.(2018浙江,5,4分,)函数y=2|x|sin2x的图象可能是 ( )
考点3 三角函数的性质
8.(2020天津,8,5分,)已知函数f(x)=sinx+π3.给出下列结论:
①f(x)的最小正周期为2π;
②fπ2是f(x)的最大值;
③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
其中所有正确结论的序号是 ( )
A.① B.①③ C.②③ D.①②③
9.(2019课标全国Ⅱ,9,5分,)下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是 ( )
A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
10.(2018江苏,7,5分,)已知函数y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的图象关于直线x=π3对称,则φ的值是 .
11.(2020全国Ⅲ,16,5分,)关于函数f(x)=sinx+1sinx有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=π2对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
考点4 三角函数图象的变换及应用
12.(2019天津,7,5分,)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且gπ4=2,则f3π8=( )
A.-2 B.-2 C.2 D.2
13.(2018天津,6,5分,)将函数y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间3π4,5π4上单调递增
B.在区间3π4,π上单调递减
C.在区间5π4,3π2上单调递增
D.在区间3π2,2π上单调递减
14.(2020江苏,10,5分,)将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
三年模拟练
1.(2020浙江杭州高级中学高一上期末,)已知θ∈π2,π,则1+2sin(π+θ)sinπ2-θ= ( )
A.±(sinθ-cosθ) B.cosθ-sinθ
C.sinθ-cosθ D.sinθ+cosθ
2.(2021江苏南通海门第一中学高一期末,)已知sinx+π3=14,则sin2π3-x+sin2π6-x= ( )
A.1 B.15+14 C.1916 D.34
3.(2021北京一零一中学高一期末,)如图,一个摩天轮的半径为10m,轮子的最低点处距离地面2m.如果此摩天轮按逆时针匀速转动,每30分钟转一圈,且当摩天轮上某人经过点P(点P与摩天轮中心O的高度相同)时开始计时,那么在摩天轮转动的一圈内,此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是 ( )
A.8分钟 B.10分钟 C.12分钟 D.14分钟
4. (2021江苏淮安金湖中学高一期末,)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,
|φ|<π2的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)=2cos12x-π3
B.不等式f(x)>1的解集为2kπ-π3,2kπ+π,k∈Z
C.函数f(x)的一个单调递减区间为π3,7π3
D.若将函数f(x)的图象向右平移5π3个单位长度后所得图象对应的函数为g(x),则g(x)是奇函数
5.(多选)(2020山东淄博高一上期末,)对于函数f(x)=sinx,sinx≤cosx,cosx,sinx>cosx,下列四个结论中正确的是 ( )
A.f(x)是以π为最小正周期的函数
B.当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值-1
C.f(x)的图象的对称轴为直线x=π4+kπ(k∈Z)
D.当且仅当2kπ
A.该函数图象的一个对称中心是(7,0)
B.该函数图象的对称轴方程是x=-12+3k,k∈Z
C.f(x)在-72,-13上单调递增
D.f(x)=2cosπ3x+π6
7.(2021江苏南京大厂高级中学高一月考,)将函数f(x)=cosωx(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间0,π2上是单调递减函数,则实数ω的最大值为 .
8.(2021江苏南京秦淮中学高一期中,)已知关于x的方程2x2-(3+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,θ∈(0,2π).求:
(1)tanθsinθtanθ-1+cosθ1-tanθ的值;
(2)m的值;
(3)方程的两个根及此时θ的值.
9.(2020江苏南京高一上期末,)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈-π2,0时,求函数f(x)的值域.
10.(2020福建师大附中高一期末,)定义在R上的函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0≤φ≤π2,若已知其在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值,且当x=π时,函数取得最大值3;当x=6π时,函数取得最小值-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的13倍,得到函数g(x)的图象,再将函数g(x)的图象向左平移φ0(φ0>0)个单位长度,得到函数h(x)的图象,已知函数y=eg(x)+lgh(x)的最大值为e,求满足条件的φ0的最小值;
(3)是否存在实数m,满足不等式Asin(ω-m2+2m+3+φ)>Asin(ω-m2+4+φ)?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
7.1~7.3综合拔高练
五年高考练
1.D ∵α是第四象限角,∴-π2+2kπ<α<2kπ,k∈Z,∴-π+4kπ<2α<4kπ,k∈Z,∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上,∴sin2α<0,cos2α可正、可负、可为零.故选D.
2.C (1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,
(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,
sinα=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sinβ;
(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,
sinα=sin(2nπ+β)=sinβ.
由(i)(ii)知,充分性成立.
(2)必要性:若sinα=sinβ成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,
即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故选C.
3.A 易知单位圆的内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n,每条边长为2sin30°n,
所以单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n,单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n,其周长为12ntan30°n,
所以2π≈12nsin30°n+12ntan30°n2
=6nsin30°n+tan30°n,
所以π≈3nsin30°n+tan30°n.故选A.
4.答案 13
解析 ∵角α与角β的终边关于y轴对称,
∴β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sinα=13,
∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα=13(k∈Z).
5.C 解法一:设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可得T<π--4π9且T2>-4π9-(-π),所以10π9
6.BC 由题图可知,T2=2π3-π6=π2,∴T=π,由T=2π|ω|可知,2π|ω|=π,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),又∵图象过π6,0,∴sinπ3+φ=0,∴π3+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=2π3+2kπ,k∈Z,不妨取φ=2π3,则f(x)=sin2x+2π3=sin2x+π6+π2=cos2x+π6,f(x)=sin2x+2π3=sinπ-π3-2x=sinπ3-2x,故选BC.
7.D 令y=f(x)=2|x|sin2x,则f(-x)=2|-x|·sin(-2x)=-2|x|sin2x=-f(x),又函数的定义域为R,所以f(x)为奇函数①;当x∈(0,π)时,2|x|>0,sin2x可正可负,所以f(x)可正可负②.由①②可知,选D.
8.B 函数f(x)=sinx+π3的最小正周期T=2π1=2π,①正确;易知fπ6=sinπ2=1,fπ2=sinπ2+π3=sin5π6=12<1,②错误;把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度,得到的是函数y=sinx+π3的图象,③正确.故选B.
9.A 对于选项A,作出f(x)=|cos2x|的部分图象,如图1所示,则f(x)在π4,π2上单调递增,且最小正周期T=π2,故A正确.
图1
对于选项B,作出f(x)=|sin2x|的部分图象,如图2所示,则f(x)在π4,π2上单调递减,且最小正周期T=π2,故B不正确.
图2
对于选项C,∵f(x)=cos|x|=cosx,∴最小正周期T=2π,故C不正确.
对于选项D,作出f(x)=sin|x|的部分图象,如图3所示.显然f(x)不是周期函数,故D不正确.故选A.
图3
10.答案 -π6
解析 由题意可得sin2π3+φ=±1,所以2π3+φ=π2+kπ(k∈Z),解得φ=-π6+kπ(k∈Z),因为-π2<φ<π2,所以当k=0时,φ=-π6.
11.答案 ②③
解析 要使函数f(x)=sinx+1sinx有意义,则有sinx≠0,∴x≠kπ,k∈Z,∴定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},定义域关于原点对称.
又∵f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=-sinx-1sinx=-sinx+1sinx=-f(x),∴f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称,
∴①是假命题,②是真命题.
对于③,要证f(x)的图象关于直线x=π2对称,只需证fπ2-x=fπ2+x.
∵fπ2-x=sinπ2-x+1sinπ2-x=cosx+1cosx,
fπ2+x=sinπ2+x+1sinπ2+x=cosx+1cosx,
∴fπ2-x=fπ2+x,∴③是真命题.
令sinx=t,-1≤t≤1且t≠0,
∴g(t)=t+1t,-1≤t≤1且t≠0,此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分),∴函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),
∴函数的最小值不为2,即f(x)的最小值不为2,∴④是假命题.
综上所述,所有真命题的序号是②③.
12.C ∵f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)为奇函数,∴φ=kπ,k∈Z,又|φ|<π,
∴φ=0,∴f(x)=Asinωx,则g(x)=Asinω2x.由g(x)的最小正周期T=2π,得ω2=2πT=1,∴ω=2.又gπ4=Asinπ4=22A=2,∴A=2,∴f(x)=2sin2x,
∴f3π8=2sin3π4=2,故选C.
13.A 将y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数为y=sin2x-π10+π5=sin2x,令2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π4≤x≤kπ+π4(k∈Z),此时y=sin2x单调递增,令k=1,则x∈3π4,5π4,所以y=sin2x在3π4,5π4上单调递增,故选A.
14.答案 x=-5π24
解析 将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=3sin2x-π6+π4=3sin2x-π12.令2x-π12=π2+kπ,k∈Z,得x=kπ2+724π,k∈Z,当k=-1时,对称轴方程为x=-5π24,故平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=-5π24.
三年模拟练
1.C 1+2sin(π+θ)sinπ2-θ
=1-2sinθcosθ
=sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ
=(sinθ-cosθ)2=|sinθ-cosθ|,
∵π2≤θ≤π,∴sinθ>cosθ,即sinθ-cosθ>0.∴原式=sinθ-cosθ,故选C.
2.C 由已知得cosπ6-x=cosπ2-π3+x=sinπ3+x=14,
则sin2π6-x=1-cos2π6-x=1-142=1516.
sin2π3-x=sinπ2+π6-x=cosπ6-x=14,
所以sin2π3-x+sin2π6-x=14+1516=1916.故选C.
3.B 设t分钟时此人相对于地面的高度为hm.
由题意得,当t=0时,h=12.
在t分钟时,此人转过的角为2π30t=π15t,
此时此人相对于地面的高度h=10sinπ15t+12(0≤t≤30),
令10sinπ15t+12≥17,则sinπ15t≥12,
所以π6≤π15t≤5π6,解得52≤t≤252,
故在摩天轮转动的一圈内,此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是252-52=10分钟.故选B.
4.C 由题图易得A=2,f(x)的最小正周期T=4×π3--2π3=4π,所以ω=2π4π=12,所以f(x)=2cos12x+φ.由点π3,2在f(x)的图象上,得12×π3+φ=2kπ,k∈Z,即φ=-π6+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=-π6,所以f(x)=2cos12x-π6,所以A错误.
令f(x)>1,得cos12x-π6>12,所以2kπ-π3<12x-π6<2kπ+π3,k∈Z,解得4kπ-π3
令2kπ≤12x-π6≤2kπ+π,k∈Z,得4kπ+π3≤x≤4kπ+7π3,k∈Z,取k=0,得π3≤x≤7π3,所以f(x)的一个单调递减区间为π3,7π3,所以C正确.
将函数f(x)的图象向右平移5π3个单位长度后得到g(x)=2cos12x-5π3-π6=
2cos12x-π=-2cos12x的图象,易得g(x)是偶函数,所以D错误.
故选C.
5.CD 作出函数f(x)的部分图象,如图中实线部分所示,由图象知f(x)的最小正周期为2π,A错误;当且仅当x=2kπ+π或x=2kπ-π2(k∈Z)时,f(x)取得最小值-1,B错误;f(x)图象的对称轴为直线x=π4+kπ(k∈Z),C正确;由0
6.ABD 由题意得函数f(x)的最小正周期T=6,∴ω=2πT=π3,∴f(x)=2sinπx3+φ,
将点P的坐标代入函数f(x)的解析式,可得f-12=2sinφ-π6=2,则sinφ-π6=1,∴φ-π6=π2+2kπ,k∈Z,
∴φ=2π3+2kπ,k∈Z,
∵0<φ<π,∴φ=2π3,
∴f(x)=2sinπ3x+2π3=2sinπ3x+π6+π2=2cosπ3x+π6,D选项正确;
f(7)=2cos7π3+π6=2cos5π2=0,A选项正确;
令π3x+π6=kπ(k∈Z),解得x=-12+3k(k∈Z),∴函数f(x)图象的对称轴方程是x=-12+3k,k∈Z,B选项正确;
当x∈-72,-13时,-π≤π3x+π6≤π18,∴函数f(x)在区间-72,-13上不单调,C选项错误.
故选ABD.
7.答案 32
解析 将函数f(x)=cosωx(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后,得到函数g(x)=cosωx+ωπ6的图象,当x∈0,π2时,ωx+ωπ6∈ωπ6,2ωπ3,∵函数g(x)在区间0,π2上是单调递减函数,
∴ωπ6≥0,2ωπ3≤π,ω>0,解得0<ω≤32,
∴实数ω的最大值为32.
8.解析 (1)∵关于x的方程2x2-(3+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,
∴sinθ+cosθ=3+12,sinθcosθ=m2,
∴tanθsinθtanθ-1+cosθ1-tanθ=sin2θsinθ-cosθ+cos2θcosθ-sinθ=(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)sinθ-cosθ=sinθ+cosθ=3+12.
(2)由(1)知sinθ+cosθ=3+12,sinθcosθ=m2,∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=3+122,
即1+m=3+122,解得m=32.
(3)由(1)(2)知sinθ+cosθ=3+12,sinθ·cosθ=34,解得sinθ=12,cosθ=32或sinθ=32,cosθ=12.故此时方程的两个根分别为12,32,对应θ的值为π6或π3.
9.解析 (1)由题中图象知A=2,最小正周期T=43×11π12-π6=π,
所以ω=2πT=2,从而f(x)=2sin(2x+φ).
因为f(x)的图象经过点π6,2,
所以2sinπ3+φ=2,即sinπ3+φ=1,
从而π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,
即φ=2kπ+π6,k∈Z.
因为|φ|<π,所以φ=π6,
所以f(x)=2sin2x+π6.
(2)令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.
(3)令t=2x+π6.
因为x∈-π2,0,所以t∈-5π6,π6,
所以sint∈-1,12,所以2sint∈[-2,1].
所以当x∈-π2,0时,函数f(x)的值域为[-2,1].
10.解析 (1)∵f(x)max=f(π)=3,f(x)min=f(6π)=-3,
∴A=3,最小正周期T=2πω=2×(6π-π)=10π,∴ω=15.∴f(x)=3sinx5+φ.
易知f(π)=3sinπ5+φ=3,
∴π5+φ=2kπ+π2,k∈Z,
解得φ=2kπ+3π10,k∈Z,
又0≤φ≤π2,∴φ=3π10,
∴f(x)=3sin15x+3π10.
(2)由题意得g(x)=sin15x+3π10,h(x)=sin15x+3π10+15φ0.
易知函数y=ex与函数y=lgx均为增函数,且-1≤g(x)≤1,0
由g(x)=sin15x+3π10=1,
得15x+3π10=π2+2kπ,k∈Z.
又h(x)=sin15x+3π10+15φ0=1,
∴cos15φ0=1,
∴φ0=10kπ,k∈Z,
又φ0>0,∴φ0的最小值为10π.
(3)易得-m2+2m+3≥0,-m2+4≥0,解得-1≤m≤2.
∵-m2+2m+3=-(m-1)2+4≤4,
∴0≤-m2+2m+3≤2.
同理,0≤-m2+4≤2.
∵ω=15,φ=3π10,
∴ω-m2+2m+3+φ∈3π10,25+3π10,
ω-m2+4+φ∈3π10,25+3π10.
由(1)知函数f(x)在[-4π,π]上递增,
要使Asin(ω-m2+2m+3+φ)>Asin(ω-m2+4+φ),
只需-m2+2m+3>-m2+4,即m>12,又-1≤m≤2,∴12
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