安徽省合肥四十八中2021-2022学年七年级（下）期中数学试卷（含解析）

安徽省合肥四十八中2021-2022学年七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 的算术平方根是

A.  B.  C.  D.

2. 在、，、．、这几个实数中，无理数的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 若，则下列不等式正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 若，，则的值为

A.  B.  C. 士 D. 或

6. 若是不等式的一个解，则的值可以是

A.  B.  C.  D. 任意实数

7. 已知，，则的值为

A.  B.  C.  D.

8. 若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

9. 已知、、，则、、三者之间关系正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，点是线段的中点，点在上，分别以、为边，在线段同侧作正方形和正方形，连接和，设、，且，，则图中阴影部分的面积为

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共7小题，共23分）

11. 写出一个在和之间的无理数______．
12. 一种新型冠状病毒直径约为纳米，纳米等于米，则纳米用科学记数法表示为______米．
13. 比较大小： ______．
14. 若，则______．
15. 某商品的成本为元，标价为元，如果商店打折销售但要保证利润不低于，则最多可以打______折出售．
16. 关于的一元一次不等式组的解集中恰好包含个正整数解，则的取值范围是______．
17. 若，，则______．

三．解答题（本题共6小题，共52分）

18. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．

20. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     
21. 小明同学用四张长为、宽为的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图任两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙．
    图中小正方形的边长是______．
    通过计算小正方形面积，可推出、、三者之间的等量关系式为______．
    运用中的结论，当、时，求小正方形的边长．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某厂计划生产甲、乙两种产品共件，需购买单价为元千克的种材料和单价为元千克的种材料．通过调研，获得以下信息：
    信息：生产一件甲产品需种材料千克，种材料千克；
    信息：生产一件乙产品需种材料千克，种材料千克；
    根据以上信息，解决下列问题：
    现工厂用于购买、两种材料的资金不能超过元，且生产乙产品不少于件，问有哪几种符合条件的生产方案？
    在的条件下，若生产一件甲产品需加工费元，生产一件乙产品需加工费元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？
    
    
    
    
    
    
     
23. 我们知道，同底数幂的乘法法则为其中，、为正整数，类似地，我们规定关于任意正整数、的一种新运算：其中、为正整数；例如，若，则．
    若，则：计算；当，求的值；
    若，化简：．
    
    
    
    
    
    
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的平方是，
的算术平方根是．
故选：．
如果一个非负数的平方等于，那么是的算术平方根，直接利用此定义即可解决问题．
此题主要考查了算术平方根的定义，此题要注意平方根、算术平方根的联系和区别．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、是整数，是分数，．是循环小数，这些都属于有理数；
无理数有，共有个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

3.【答案】
 

【解析】解：选项，当，时，，，，故该选项不符合题意；
选项，不等式的两边都乘，不等号的方向不变，故该选项符合题意；
选项，当，时，，，，故该选项不符合题意；
选项，当时，，故该选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的基本性质判断，选项；通过特殊值判断，选项．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，故A错误，不符合题意；
B、，故B错误，不符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，积的乘方、幂的乘方法则及单项式除法法则、多项式乘多项式法则逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，，
，，
或．
故选：．
根据立方根和平方根的定义求出、值，进而求出的值．
本题主要考查平方根、立方根的定义，解题关键是熟练掌握平方根、立方根的定义进行计算．
 

6.【答案】
 

【解析】解：是不等式的一个解，
，
解得，
故选：．
将代入该不等式组求解即可．
此题考查了不等式解集问题的解决能力，关键是能准确理解并运用该知识．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，，




，
故选：．
将该算式变化成幂的乘方和同底数幂相除进行计算．
此题考查了整式幂的相关运算能力，关键是能准确理解、变形并运用该计算法则．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
不等式组的解集为，
，
解得，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：、、，
，
，
，
，
故选：．
根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，从而作出判断．
本题考查幂的运算，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，
，
又点是的中点，，

，
，


，
，
，
，



．
故答案为：．
先求出两个正方形的面积，根据图可得阴影面积两正方形面积之和，再将，关系代入即可．
本题主要考查完全平方公式的转化，解题的关键在于正确表示出阴影部分的面积．
 

11.【答案】答案不唯一
 

【解析】解：，
，
故答案为：答案不唯一．
估算无理数的大小，写出一个答案即可．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：纳米用科学记数法表示为米米．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

13.【答案】
 

【解析】解：

，
，
，
，
故答案为：．
求出，根据根据得出，再得出答案即可．
本题考查了估算无理数的范围和实数的大小比较，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：．
，
，，
，，
．
故答案为：．
将等式左边展开，建立关于，的方程是求解本题的关键．
本题考查多项式乘多项式，展开等式左边建立关于，的方程组是求解本题的关键．
 

15.【答案】七
 

【解析】解：设打了折，由题意得，
．
解得．
最多可以打七折．
故答案为：七．
设打了折，由题意列出一元一次不等式，则可得出答案．
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
 

16.【答案】
 

【解析】解：不等式组整理得：，
解得：，
不等式组的解集中恰好包含个正整数解，即，，，
，
解得：．
故答案为：．
表示出不等式组的解集，由解集中恰好包含个正整数解，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
17.【答案】
 

【解析】解：，
；
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
利用完全平方公式和乘法公式进行化简，然后代入，的值，即可得出答案．
本题主要考查因式分解的应用、完全平方公式的运用，根据题意推出，，，分析归纳出规律是解题的关键．
 

18.【答案】解：

．
 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

19.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：

，
当，时，原式

．
 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】 
 

【解析】解：小正方形的边长是；
故答案为：；
大正方形的面积为，
四周四个小长方形的面积为，
中间小正方形的面积为，
；
故答案为：；
当，时，
，
，
小正方形的边长为．
根据图形中长方形的长与宽的差所得；
根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个长方形的面积解答；
代入的结论进行计算即可．
本题考查了平方差公式的几何背景以及完全平方公式，矩形的面积公式，利用面积的不同表示求解进行解答是解题的关键，也是此类题目常用的方法之一．
 

22.【答案】解：设生产乙产品件，生产甲产品件．由题意得，
，
解得，
又生产乙产品不少于件，
，
为整数，
，，，．
符合条件的生产方案有甲：、乙：；甲：、乙：；甲：、乙：；甲：、乙：；
方案一总共需加工费为：元，
方案二总共需加工费为：元，
方案三总共需加工费为：元，
方案四总共需加工费为：元，
应选择甲：、乙：这种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低．
 

【解析】设生产乙产品件，生产甲产品件．由题意得，解不等式式可得出，则可得出答案；
由中方案可计算生产这批产品的成本得出答案．
本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

23.【答案】解：，



；
，
又，
．
．
．
，
，
，
，



．
 

【解析】利用新运算的规定进行运算即可；
将变换为，再利用新运算的规定解答即可；
将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可．
本题主要考查了有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，本题是新定义型题目，连接并熟练应用新运算的规定是解题的关键．