2021-2022学年安徽省合肥四十五中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省合肥四十五中七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 的立方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在下列各数中是无理数的有(    )
   、、、、、相邻两个之间依次增加一个．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 根据下面两图所示，对、、三种物体的重量判断不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 一个数的倍加上不小于它的倍减去，那么的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 估计的值在(    )

A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 至之间

7. 若，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，则的值为(    )

A.  B. 或 C. 或或 D. 或

9. 某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人盒牛奶，那么剩下盒牛奶；如果分给每位老人盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足盒，但至少盒．则这个敬老院的老人最少有(    )

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

10. 如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为，同时此图形中四个半圆面积之和为，则长方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 计算：______．
12. 某种计算机完成一次基本运算的时间约为，把，用科学记数表示为______．
13. 已知，，则______．
14. 已知是关于的方程、的解，则关于的不等式的解集是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

四、解答题（本大题共8小题，共82.0分）

16. 计算或化简
    ；
    ．
17. 先化简，再求值：，其中、．
18. 已知，求代数式的值．
19. 某金属冶炼厂将个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化，铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为，和，求原来每个立方体钢铁的棱长．
20. 阅读下列材料，完成相应的任务：

发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；；
第个“三角形数”与第个“三角形数”的和为______．
第个“三角形数”与第个“三角形数”的和的规律可用下面等式表示：__________________，请补全等式并说明它的正确性．

21. 对于任意实数、，定义一种新运算：，等式右边是通常的加减运算，例如：．
    的平方根为______；
    若关于的不等式组解集中恰有个整数解，求的取值范围．
22. 非常时期，出门切记戴口罩，当下口罩市场出现热销，某超市老板用元购进甲、乙两种型号的口罩在超市销售，销售完后共获利元，进价和售价如表：

该超市购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？
该超市第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购进乙种型号口罩袋数是第一次的倍，甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩打折让利销售，若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于元，每袋乙种型号的口罩最多打几折？

23. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图，然后将剩余部分拼成一个长方形如图．
    图中阴影部分面积为______，图中阴影部分面积为______，请写出这个乘法公式______；
    【知识应用】应用中的公式，完成下面任务：
    若是不为的有理数，已知，，比较、大小．
    【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图表示的是一个边长为的正方体挖去一个小正方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的立方等于，
的立方根等于．
故选：．
如果一个数的立方等于，那么是的立方根，根据此定义求解即可．
此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
 

2.【答案】 

【解析】解：无理数有、、、相邻两个之间依次增加一个，共个，
故选：．
根据无理数的定义无理数是指无限不循环小数逐个判断即可．
本题考查了无理数的定义，立方根和算术平方根等知识点，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括三方面的数：开方开不尽的根式，含有的，一些有规律的数，如等．
 

3.【答案】 

【解析】解：由第一图可知：，；由第二图可知：，，
故．
、、选项都正确，选项错误．
故选C．
找出不等关系是解决本题的关键．
解决问题的关键是读懂图意，进而列出正确的不等式．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据积的乘方计算即可．
本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
 

5.【答案】 

【解析】解；由题意得，，
解得：．
故选：．
列出不等式，解不等式求出的范围．
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是根据题意列出不等式求解．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
即，
即的值在到之间，
故选：．
先估算出的大小，然后再确定出的大小．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，把无理数夹逼在个相邻的正整数之间是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，，
．
故选：．
直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当，时，；
当时，；
当时，，
此时，
这种情况不符合题意；
故选：．
根据任何非零数的零指数幂都等于，的任何次幂都等于，的偶次幂等于分别进行计算即可．
本题考查了零指数幂，有理数的乘方，考查分类讨论的数学思想，掌握任何非零数的零指数幂都等于，的任何次幂都等于，的偶次幂等于是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设这个敬老院的老人有人，依题意得：
，
解得：，
为整数，
可取值，，，
最少为，
故选：．
首先设这个敬老院的老人有人，则有牛奶盒，根据关键语句“如果分给每位老人盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足盒，但至少盒”可得不等式组，解出不等式组后再找出符合条件的整数．
此题主要考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出不等式组．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，，
由题意得：，．
，．
．
．
．
．
故选：．
先表示阴影部分面积，再求长方形面积．
本题考查完全平方公式的几何背景，正确表示周长和面积是求解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了实数的运算，涉及算术平方根和零指数幂，利用非零的零次幂等于是解题关键．
根据开平方，非零的零次幂等于，可得答案．
【解答】
解：

．
故答案为：．
 

12.【答案】 

【解析】解：把，用科学记数表示为．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
先根据求出，再运用完全平方公式求出即可．
本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式并灵活应用是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是关于的方程的解，
，
即，
，
，
，
，
，
故答案为：．
将代入方程，求出，求出，把代入不等式，再求出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出和是解此题的关键．
 

15.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
解集在数轴上表示为：
． 

【解析】先求出各不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

16.【答案】解：


；

． 

【解析】根据乘方的意义，立方根的意义，绝对值的意义进行计算，即可得出结果；
根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则进行计算，即可得出结果．
本题考查了同底数幂的除法，实数的运算，同底数幂的乘法，掌握同底数幂的除法法则，乘方的意义，立方根的意义，绝对值的意义同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：


，
当、时，原式


． 

【解析】先根据单项式除以单项式，平方差公式和幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

18.【答案】解：原式
，
，
，
原式

． 

【解析】直接利用乘法公式以及多项式乘多项式运算法则化简，进而将已知变形代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

19.【答案】解：根据题意得：，
则原来正方体钢铁的棱长为． 

【解析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：由题意得：第个“三角形数”是，第个“三角形数”是，
第个“三角形数”与第个“三角形数”的和为，
故答案为：；
第个“三角形数”与第个“三角形数”的和的规律为：，
证明：



，
故答案为：，，．
根据题意得出第个“三角形数”和第个“三角形数”，计算即可；
根据题意总结规律，根据完全平方公式证明结论．
本题考查的是数字的变化规律，掌握完全平方公式是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义得：，
则的平方根是；
故答案为：；
根据题中的新定义化简得：，
解得：，
该不等式的解集有个整数解，
该整数解为，，，
，
解得：．
原式利用题中的新定义化简，求出平方根即可；
已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有个整数解，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，平方根，实数的运算，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式的解法及运算法则是解本题的关键．
 

22.【答案】解：设该超市购进甲种型号口罩袋，乙种型号口罩袋，
依题意得：，
解得：．
答：该超市购进甲种型号口罩袋，乙种型号口罩袋．
设第二次销售时，每袋乙种型号的口罩打折销售，
依题意得：，
解得：．
答：每袋乙种型号的口罩最多打八折． 

【解析】设该超市购进甲种型号口罩袋，乙种型号口罩袋，根据“某超市老板用元购进甲、乙两种型号的口罩在超市销售，销售完后共获利元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设第二次销售时，每袋乙种型号的口罩打折销售，利用总利润每袋的销售利润销售数量，结合要使第二次销售活动获利不少于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】       

【解析】解：图中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即，
图是长为，宽为的长方形，因此面积为，
因此有，
故答案为：，，；


，
是不为的有理数，
，
即，
；
图左图的体积为，
图右图是长为，宽为，高为的长方体，因此体积为，
因此有，
故答案为：．
分别用代数式表示图、图中阴影部分的面积即可；
利用平方差公式，计算的差即可；
分别用代数式表示图中左图、右图的体积即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，利用代数式表示图形的面积和体积是正确解答的关键．