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【解析版】漯河市召陵区2022年八年级下期中数学试卷
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这是一份【解析版】漯河市召陵区2022年八年级下期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省漯河市召陵区2022学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
2．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）
A． x≠1 B． x≥0 C． x＞0 D． x≥0且x≠1
3．（3分）下面的等式总能成立的是（）
A． =a B． =a2 C． •= D． =
4．（3分）在平行四边形ABCD 中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）
A． 1：2：1：2 B． 1：2：2：1 C． 1：2：3：4 D． 1：1：2：2
5．（3分）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）
A． AB=CD B． AC=BD C． AB=BC D． AD=BC
6．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）
A． 13 B． 26 C． 47 D． 94
7．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）
A． 12 B． 24 C． 12 D． 16
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）
A． 4﹣2 B． 3﹣4 C． 1 D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．（3分）计算：（﹣2）3+（﹣1）0=．
10．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
11．（3分）若实数a、b满足，则=．
12．（3分）当x≤0时，化简|1﹣x|﹣的结果是．
13．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=cm．
14．（3分）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
15．（3分）如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，那么四边形ABCD的面积是．
17．（3分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．
三、解答题（本题共7小题，满分66分）
19．（10分）（1）计算：÷﹣×
（2）已知x=﹣2，求（9+4）x2﹣（+2）x+4的值．
20．（8分）如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
21．（8分）如图是某中学教学楼前的一个菱形花坛ABCD，其边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修了两条小路AC，BD，求两条小路的长和花坛的面积．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
23．（10分）观察探究，完成证明和填空．如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
24．（11分）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
25．（11分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，PQ∥CD？
（2）当t为何值时，PQ=CD？
河南省漯河市召陵区2022学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
考点： 最简二次根式．
专题： 计算题．
分析： 判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
解答： 解：A、=3，故A错误；
B、是最简二次根式，故B正确；
C、=2，不是最简二次根式，故C错误；
D、=，不是最简二次根式，故D错误；
故选：B．
点评： 本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）
A． x≠1 B． x≥0 C． x＞0 D． x≥0且x≠1
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：，
解得：x≥0且x≠1．
故选D．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
3．（3分）下面的等式总能成立的是（）
A． =a B． =a2 C． •= D． =
考点： 二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
分析： 根据二次根式的性质，即可解答．
解答： 解：A、=|a|，故错误；
B、=|a|，故错误；
C、正确；
D、不能分解为，因为不知道a，b是否为非负数，故错误；
故选：C．
点评： 本题考查了二次根式的乘除法，解决本题的关键是二次根式的性质．
4．（3分）在平行四边形ABCD 中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）
A． 1：2：1：2 B． 1：2：2：1 C． 1：2：3：4 D． 1：1：2：2
考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的对角相等，容易得出结论．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴A正确，
故选：A．
点评： 本题考查了平行四边形的对角相等的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
5．（3分）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）
A． AB=CD B． AC=BD C． AB=BC D． AD=BC
考点： 矩形的判定．
分析： 四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
解答： 解：可添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：B．
点评： 此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形．
6．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）
A． 13 B． 26 C． 47 D． 94
考点： 勾股定理．
专题： 数形结合．
分析： 根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
解答： 解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，
即S3=9+25+4+9=47．
故选：C．
点评： 能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
7．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）
A． 12 B． 24 C． 12 D． 16
考点： 矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
专题： 压轴题．
分析： 解：在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF=∠EFB=60°，由于把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
所以∠EFB=∠DEF=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，
在△EFB′中可知∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°故△EFB′是等边三角形，由此可得出∠A′B′E=90°﹣60°=30°，根据直角三角形的性质得出A′B′=AB=2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
解答： 解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB=∠EFB=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，
AB=A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，
∴B′E=2A′E，而A′E=2，
∴B′E=4，
∴A′B′=2，即AB=2，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=AE+DE=2+6=8，
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．
故选D．
点评： 本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）
A． 4﹣2 B． 3﹣4 C． 1 D．
考点： 正方形的性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．
分析： 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．
解答： 解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，
在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=4，
∵正方形的边长为4，
∴BD=4，
∴BE=BD﹣DE=4﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BE=×（4﹣4）=4﹣2．
故选A．
点评： 本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．（3分）计算：（﹣2）3+（﹣1）0=﹣7．
考点： 实数的运算；零指数幂．
专题： 计算题．
分析： 先分别根据有理数乘方的法则及0指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答： 解：原式=﹣8+1
=﹣7．
故答案为：﹣7．
点评： 本题考查的是实数的运算，熟知有理数乘方的法则及0指数幂的计算法则是解答此题的关键．
10．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≤．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：1﹣3x≥0，
解得：x≤．
故答案是：x≤．
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
11．（3分）若实数a、b满足，则=．
考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
分析： 根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
解答： 解：根据题意得：，
解得：，
则原式=﹣．
故答案是：﹣．
点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0
12．（3分）当x≤0时，化简|1﹣x|﹣的结果是1．
考点： 二次根式的性质与化简．
专题： 压轴题．
分析： 依据绝对值和平方根的性质解题．
解答： 解：∵x≤0，
∴1﹣x＞0
∴|1﹣x|﹣
=1﹣x﹣|x|
=1﹣x﹣（﹣x）
=1．
故答案为：1．
点评： 此题考查了绝对值和平方根的性质，要求掌握绝对值和平方根的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．
绝对值规律总结：
一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
二次根式规律总结：
当a≥0时，=a；
当a≤0时，=﹣a．
13．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=4cm．
考点： 勾股定理．
分析： 先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．
解答： 解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=BC=×6=3cm，在直角△ABD中，
由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，
所以，AD==4cm．
故答案为：4．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．关键要熟知等腰三角形的三线合一可得．
14．（3分）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件OA=OC，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
考点： 菱形的判定．
专题： 开放型．
分析： 可以添加条件OA=OC，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．
解答： 解：OA=OC，
∵OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA=OC．
点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．
15．（3分）如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为25°．
考点： 平行四边形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 由，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，可得到AD=DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD=60°，∠F=110°，即可求出∠DAE的度数．
解答： 解：∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且CD=CD，
∴AD=DE，
∵∠DAE=∠DEA，
∵∠BAD=60°，∠F=110°，
∴∠ADC=120°，∠CDE═∠F=110°，
∴∠ADE=360°﹣120°﹣110°=130°，
∴∠DAE==25°，
故答案为：25°．
点评： 本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，那么四边形ABCD的面积是36．
考点： 勾股定理；勾股定理的逆定理．
分析： 先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
解答： 解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC===5，
在△ACD中，AC2+CD2=25+144=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD
=×3×4+×5×12
=36．
故答案是：36．
点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
17．（3分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm．
考点： 菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据菱形性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO=30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF∥BD，推出，EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．
解答： 解：
连接BD、AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABO=90°﹣60°=30°，
∵∠AOB=90°，
∴AO=AB=×2=1，
由勾股定理得：BO=DO=，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD=（+）=，
故答案为：．
点评： 本题考查了折叠性质，菱形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为或3．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 压轴题．
分析： 当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
解答： 解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5﹣3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
点评： 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
三、解答题（本题共7小题，满分66分）
19．（10分）（1）计算：÷﹣×
（2）已知x=﹣2，求（9+4）x2﹣（+2）x+4的值．
考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： （1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）把x的值代入原式，利用完全平方公式和平方差公式计算．
解答： 解：（1）原式=﹣+2
=5﹣3+2
=5﹣；
（2）∵x=﹣2，
∴原式=（9+4）（﹣2）2﹣（+2）（﹣2）+4
=（9+4）（9﹣4）﹣（5﹣4）+4
=81﹣80﹣1+4
=4．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
20．（8分）如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
考点： 勾股定理的应用．
专题： 计算题．
分析： 在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B1C中，已知AB=A1B1，CA1即可求得CB1的长度，根据BB1=CB1﹣CB即可求得BB1的长度．
解答： 解；在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，
则AC=m=2.4m，
∵AC=AA1+CA1
∴CA1=2m，
∵在直角△A1B1C中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，
∴CB1==1.5m，
∴BB1=CB1﹣CB=1.5m﹣0.7m=0.8m
答：梯足向外移动了0.8m．
点评： 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求CB1的长度是解题的关键．
21．（8分）如图是某中学教学楼前的一个菱形花坛ABCD，其边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修了两条小路AC，BD，求两条小路的长和花坛的面积．
考点： 菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： 先判定△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC=AB=BC，设对角线交点为O，根据菱形的对角线互相垂直求出OA，再利用勾股定理列式求出BO，然后求出BD，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
解答： 解：∵四边形ABCD 是菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=20m，
设AC、BD交于点O，则AO=10m，
∴在直角三角形ABO中，BO2=AB2﹣AO2=202﹣102=300，
∴BO=10m，
∴BD=20m，
又∵S菱形ABCD=AC•BD，
∴S菱形ABCD=×20×20=200m2．
点评： 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
解答： 证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．
23．（10分）观察探究，完成证明和填空．如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是菱形；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是正方形；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
考点： 中点四边形．
专题： 探究型．
分析： （1）连接BD．利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；
（2）连接AC、BD．根据三角形的中位线定理，可以得到所得四边形的两组对边分别和原四边形的对角线平行，且分别等于原四边形的对角线的一半．
若顺次连接对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形的四条边都相等，故所得四边形为菱形；
若顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，则所得的四边形的四个角都是直角，故所得四边形为矩形；
若顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，则综合上述两种情况，故所得的四边形为正方形；
（3）由以上法则可知，中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
解答： 解：（1）证明：连接BD．
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH=BD，EH∥BD．
同理得FG=BD，FG∥BD．
∴EH=FG，EH∥FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）填空依次为平行四边形，菱形，正方形；
（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的．
故答案为平行四边形、菱形、正方形．
点评： 此题综合运用了三角形的中位线定理和特殊四边形的判定定理．
熟记结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；
顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；
顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；
顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得四边形是正方形．
24．（11分）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
考点： 平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC∥AE，CO∥AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形；
（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长即可．
解答： （1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴AD=OB，OD=BD=OB
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°，
又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴CO∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，
在Rt△ABO中，
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，
∴AO=BO•cos30°=8×=4，
在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，
x2+（4）2=（8﹣x）2，
解得：x=1，
∴OG=1．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定定理．
25．（11分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，PQ∥CD？
（2）当t为何值时，PQ=CD？
考点： 直角梯形．
专题： 动点型．
分析： （1）由当PQ∥CD时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，解此方程即可求得答案；
（2）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE，即3t﹣（24﹣t）=4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案．
解答： 解：根据题意得：PA=t，CQ=3t，则PD=AD﹣PA=24﹣t．
（1）∵AD∥BC，
即PQ∥CD，
∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即24﹣t=3t，
解得：t=6，
即当t=6时，PQ∥CD；
（2）若PQ=DC，分两种情况：
①PQ=DC，由（1）可知，t=6，
②PQ≠CC，由QC=PD+2（BC﹣AD），
可得方程：3t=24﹣t+4，
解得：t=7．
点评： 此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
河南省漯河市召陵区2022学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
2．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）
A． x≠1 B． x≥0 C． x＞0 D． x≥0且x≠1
3．（3分）下面的等式总能成立的是（）
A． =a B． =a2 C． •= D． =
4．（3分）在平行四边形ABCD 中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）
A． 1：2：1：2 B． 1：2：2：1 C． 1：2：3：4 D． 1：1：2：2
5．（3分）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）
A． AB=CD B． AC=BD C． AB=BC D． AD=BC
6．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）
A． 13 B． 26 C． 47 D． 94
7．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）
A． 12 B． 24 C． 12 D． 16
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）
A． 4﹣2 B． 3﹣4 C． 1 D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．（3分）计算：（﹣2）3+（﹣1）0=．
10．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
11．（3分）若实数a、b满足，则=．
12．（3分）当x≤0时，化简|1﹣x|﹣的结果是．
13．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=cm．
14．（3分）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
15．（3分）如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，那么四边形ABCD的面积是．
17．（3分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．
三、解答题（本题共7小题，满分66分）
19．（10分）（1）计算：÷﹣×
（2）已知x=﹣2，求（9+4）x2﹣（+2）x+4的值．
20．（8分）如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
21．（8分）如图是某中学教学楼前的一个菱形花坛ABCD，其边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修了两条小路AC，BD，求两条小路的长和花坛的面积．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
23．（10分）观察探究，完成证明和填空．如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
24．（11分）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
25．（11分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，PQ∥CD？
（2）当t为何值时，PQ=CD？
河南省漯河市召陵区2022学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
考点： 最简二次根式．
专题： 计算题．
分析： 判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
解答： 解：A、=3，故A错误；
B、是最简二次根式，故B正确；
C、=2，不是最简二次根式，故C错误；
D、=，不是最简二次根式，故D错误；
故选：B．
点评： 本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）
A． x≠1 B． x≥0 C． x＞0 D． x≥0且x≠1
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：，
解得：x≥0且x≠1．
故选D．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
3．（3分）下面的等式总能成立的是（）
A． =a B． =a2 C． •= D． =
考点： 二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
分析： 根据二次根式的性质，即可解答．
解答： 解：A、=|a|，故错误；
B、=|a|，故错误；
C、正确；
D、不能分解为，因为不知道a，b是否为非负数，故错误；
故选：C．
点评： 本题考查了二次根式的乘除法，解决本题的关键是二次根式的性质．
4．（3分）在平行四边形ABCD 中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）
A． 1：2：1：2 B． 1：2：2：1 C． 1：2：3：4 D． 1：1：2：2
考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的对角相等，容易得出结论．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴A正确，
故选：A．
点评： 本题考查了平行四边形的对角相等的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
5．（3分）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）
A． AB=CD B． AC=BD C． AB=BC D． AD=BC
考点： 矩形的判定．
分析： 四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
解答： 解：可添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：B．
点评： 此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形．
6．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）
A． 13 B． 26 C． 47 D． 94
考点： 勾股定理．
专题： 数形结合．
分析： 根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
解答： 解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，
即S3=9+25+4+9=47．
故选：C．
点评： 能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
7．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）
A． 12 B． 24 C． 12 D． 16
考点： 矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
专题： 压轴题．
分析： 解：在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF=∠EFB=60°，由于把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
所以∠EFB=∠DEF=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，
在△EFB′中可知∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°故△EFB′是等边三角形，由此可得出∠A′B′E=90°﹣60°=30°，根据直角三角形的性质得出A′B′=AB=2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
解答： 解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB=∠EFB=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，
AB=A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，
∴B′E=2A′E，而A′E=2，
∴B′E=4，
∴A′B′=2，即AB=2，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=AE+DE=2+6=8，
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．
故选D．
点评： 本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）
A． 4﹣2 B． 3﹣4 C． 1 D．
考点： 正方形的性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．
分析： 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．
解答： 解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，
在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=4，
∵正方形的边长为4，
∴BD=4，
∴BE=BD﹣DE=4﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BE=×（4﹣4）=4﹣2．
故选A．
点评： 本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．（3分）计算：（﹣2）3+（﹣1）0=﹣7．
考点： 实数的运算；零指数幂．
专题： 计算题．
分析： 先分别根据有理数乘方的法则及0指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答： 解：原式=﹣8+1
=﹣7．
故答案为：﹣7．
点评： 本题考查的是实数的运算，熟知有理数乘方的法则及0指数幂的计算法则是解答此题的关键．
10．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≤．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：1﹣3x≥0，
解得：x≤．
故答案是：x≤．
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
11．（3分）若实数a、b满足，则=．
考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
分析： 根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
解答： 解：根据题意得：，
解得：，
则原式=﹣．
故答案是：﹣．
点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0
12．（3分）当x≤0时，化简|1﹣x|﹣的结果是1．
考点： 二次根式的性质与化简．
专题： 压轴题．
分析： 依据绝对值和平方根的性质解题．
解答： 解：∵x≤0，
∴1﹣x＞0
∴|1﹣x|﹣
=1﹣x﹣|x|
=1﹣x﹣（﹣x）
=1．
故答案为：1．
点评： 此题考查了绝对值和平方根的性质，要求掌握绝对值和平方根的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．
绝对值规律总结：
一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
二次根式规律总结：
当a≥0时，=a；
当a≤0时，=﹣a．
13．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=4cm．
考点： 勾股定理．
分析： 先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．
解答： 解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=BC=×6=3cm，在直角△ABD中，
由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，
所以，AD==4cm．
故答案为：4．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．关键要熟知等腰三角形的三线合一可得．
14．（3分）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件OA=OC，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
考点： 菱形的判定．
专题： 开放型．
分析： 可以添加条件OA=OC，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．
解答： 解：OA=OC，
∵OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA=OC．
点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．
15．（3分）如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为25°．
考点： 平行四边形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 由，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，可得到AD=DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD=60°，∠F=110°，即可求出∠DAE的度数．
解答： 解：∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且CD=CD，
∴AD=DE，
∵∠DAE=∠DEA，
∵∠BAD=60°，∠F=110°，
∴∠ADC=120°，∠CDE═∠F=110°，
∴∠ADE=360°﹣120°﹣110°=130°，
∴∠DAE==25°，
故答案为：25°．
点评： 本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，那么四边形ABCD的面积是36．
考点： 勾股定理；勾股定理的逆定理．
分析： 先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
解答： 解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC===5，
在△ACD中，AC2+CD2=25+144=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD
=×3×4+×5×12
=36．
故答案是：36．
点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
17．（3分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm．
考点： 菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据菱形性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO=30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF∥BD，推出，EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．
解答： 解：
连接BD、AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABO=90°﹣60°=30°，
∵∠AOB=90°，
∴AO=AB=×2=1，
由勾股定理得：BO=DO=，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD=（+）=，
故答案为：．
点评： 本题考查了折叠性质，菱形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为或3．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 压轴题．
分析： 当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
解答： 解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5﹣3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
点评： 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
三、解答题（本题共7小题，满分66分）
19．（10分）（1）计算：÷﹣×
（2）已知x=﹣2，求（9+4）x2﹣（+2）x+4的值．
考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： （1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）把x的值代入原式，利用完全平方公式和平方差公式计算．
解答： 解：（1）原式=﹣+2
=5﹣3+2
=5﹣；
（2）∵x=﹣2，
∴原式=（9+4）（﹣2）2﹣（+2）（﹣2）+4
=（9+4）（9﹣4）﹣（5﹣4）+4
=81﹣80﹣1+4
=4．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
20．（8分）如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
考点： 勾股定理的应用．
专题： 计算题．
分析： 在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B1C中，已知AB=A1B1，CA1即可求得CB1的长度，根据BB1=CB1﹣CB即可求得BB1的长度．
解答： 解；在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，
则AC=m=2.4m，
∵AC=AA1+CA1
∴CA1=2m，
∵在直角△A1B1C中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，
∴CB1==1.5m，
∴BB1=CB1﹣CB=1.5m﹣0.7m=0.8m
答：梯足向外移动了0.8m．
点评： 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求CB1的长度是解题的关键．
21．（8分）如图是某中学教学楼前的一个菱形花坛ABCD，其边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修了两条小路AC，BD，求两条小路的长和花坛的面积．
考点： 菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： 先判定△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC=AB=BC，设对角线交点为O，根据菱形的对角线互相垂直求出OA，再利用勾股定理列式求出BO，然后求出BD，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
解答： 解：∵四边形ABCD 是菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=20m，
设AC、BD交于点O，则AO=10m，
∴在直角三角形ABO中，BO2=AB2﹣AO2=202﹣102=300，
∴BO=10m，
∴BD=20m，
又∵S菱形ABCD=AC•BD，
∴S菱形ABCD=×20×20=200m2．
点评： 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
解答： 证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．
23．（10分）观察探究，完成证明和填空．如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是菱形；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是正方形；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
考点： 中点四边形．
专题： 探究型．
分析： （1）连接BD．利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；
（2）连接AC、BD．根据三角形的中位线定理，可以得到所得四边形的两组对边分别和原四边形的对角线平行，且分别等于原四边形的对角线的一半．
若顺次连接对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形的四条边都相等，故所得四边形为菱形；
若顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，则所得的四边形的四个角都是直角，故所得四边形为矩形；
若顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，则综合上述两种情况，故所得的四边形为正方形；
（3）由以上法则可知，中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
解答： 解：（1）证明：连接BD．
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH=BD，EH∥BD．
同理得FG=BD，FG∥BD．
∴EH=FG，EH∥FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）填空依次为平行四边形，菱形，正方形；
（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的．
故答案为平行四边形、菱形、正方形．
点评： 此题综合运用了三角形的中位线定理和特殊四边形的判定定理．
熟记结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；
顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；
顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；
顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得四边形是正方形．
24．（11分）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
考点： 平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC∥AE，CO∥AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形；
（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长即可．
解答： （1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴AD=OB，OD=BD=OB
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°，
又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴CO∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，
在Rt△ABO中，
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，
∴AO=BO•cos30°=8×=4，
在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，
x2+（4）2=（8﹣x）2，
解得：x=1，
∴OG=1．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定定理．
25．（11分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，PQ∥CD？
（2）当t为何值时，PQ=CD？
考点： 直角梯形．
专题： 动点型．
分析： （1）由当PQ∥CD时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，解此方程即可求得答案；
（2）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE，即3t﹣（24﹣t）=4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案．
解答： 解：根据题意得：PA=t，CQ=3t，则PD=AD﹣PA=24﹣t．
（1）∵AD∥BC，
即PQ∥CD，
∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即24﹣t=3t，
解得：t=6，
即当t=6时，PQ∥CD；
（2）若PQ=DC，分两种情况：
①PQ=DC，由（1）可知，t=6，
②PQ≠CC，由QC=PD+2（BC﹣AD），
可得方程：3t=24﹣t+4，
解得：t=7．
点评： 此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
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