2023年河南省漯河市召陵区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年河南省漯河市召陵区中考数学二模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省漯河市召陵区中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．﹣的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．±
2．如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后，与“悟”字所在面相对的面上的字是（　　）
​

A．数 B．学 C．抽 D．象
3．为起草党的二十大报告，党中央开展了深入的调查研究，有关部门组织了党的二十大相关工作网络征求意见活动，收到留言约8542000条．数据8542000用科学记数法表示为（　　）
A．854.2×104 B．8.542×106 C．85.24×106 D．0.8542×107
4．如图，MN∥PQ，将一块三角板ABC按如图所示放置，其中∠ABC＝90°，若∠ABN＝20°，则∠BDQ的度数为（　　）
​

A．70° B．60° C．50° D．40°
5．下列运算正确的是（　　）
A．4x2﹣2x2＝2 B．2a÷4ab＝
C． D．（a﹣1）（a﹣1）＝a2﹣1
6．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根为0 D．没有实数根
7．某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概率是（　　）
​
A． B． C． D．
8．在一定温度下，某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，甲、乙两种蔗糖的溶解度y（g）与温度t℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（　　）
​

A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t1℃时，甲的溶解度与乙的溶解度一样
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度小于30℃时，同等温度下甲的溶解度高于乙的溶解度
9．如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径、画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N．作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为（　　）
​

A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6．…，其中点A1的坐标为（2，0），点A2的坐标为，点A3的坐标为（0，0），点A4的坐标为…，按此规律排下去，则点A2024的坐标为（　　）
​

A． B． C． D．（2，1014）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．比较大小：　 　2（填“＞”或“＜”或“＝”）
12．不等式组的解集是 　 　．
13．为了增强学生的身体素质，学校比较重视体育训练，为此学校组织指导学生进行立定跳远比赛．甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲学生10次立定跳远成绩的方差为S甲2＝0.32，乙学生10次立定跳远成绩的方差为S乙2＝0.35，则甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是 　 　．（填“甲”或“乙”）
14．如图，在等边△ABC中，AB＝6，以C为圆心，BC为半径作，以AB为直径作，两弧形成阴影图形，则阴影部分的面积是 　 　．（结果保留π）
​

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝30°，点D在AB上且AD＝2，P为AC的中点，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝60°时，AQ的长为 　 　．
​

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．计算：|．
17．化简：．
18．某校为了解老师“在学校批改作业”这一项工作的时间情况，简称“作业时间”，在本校随机调查了40名老师每天批改作业的时间，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别
“作业时间”t/分钟
频数
组内老师的平均“作业时间”/分钟
A
t＜60
8
50
B
60≤t＜90
14
75
C
90≤t＜120
10
100
D
t≥120
8
135
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这40名老师的“作业时间”的中位数落在 　 　组；
（2）求这40名老师的平均“作业时间”；
（3）若该校有300名老师，请估计老师的“作业时间”不少于90分钟的人数．
19．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A，且点A的横坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点B的坐标是（3，0），若点P在y轴上，且△AOP的面积是△AOB的面积的2倍，求点P的坐标．

​

20．悟颖塔（图1）位于河南省汝南县境内，始建于南朝梁元帝承圣年间（552～554年），塔身为实体，雄浑庄重，因有传说每年夏至日中午没有影子，故又名无影塔．某测绘兴趣小组利
用无人机测量悟颖塔的高度，一架无人机飞到与悟颖塔顶端B点等高的点Q处（图2），测得悟颖塔的底部A的俯角为56°，无人机沿着BQ的方向继续飞行15m到点P处，此时测得塔的底部A的俯角为39°，根据上述数据求悟颖塔AB的高度．（结果保留整数．参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5）

21．木质风车作为一种农具在我国有着悠久的历史，其基本构造是顶部有个梯形的入料仓，下面有一个漏斗是出大米的，右面是圆形的风箱部分，侧面有一个小漏斗是出细米、瘪粒的，尾部是出谷壳的，其实物图如图1所示．爱动脑筋的东东对风车进行了探究和测量，并画出了风箱部分的简易示意图（如图2），AE为⊙O的直径，B是⊙O上的一点，过点B作BC⊥AE交⊙O于点C，交AE于点D（点D在点O下方），地面上的点F在AD的延长线上，连接CF，测得AD＝BC＝80cm，∠BCF＝∠BAC．
（1）求证：CF是与⊙O切线；
（2）求风车中心O到地面F的距离．

​
22．某市融媒体参与了“百家媒体聚力河南公益助农”行动，在各水果批发市场开设了“爱心助农销售专区”，现从某村购进猕猴桃和丑橘进行销售，进价分别为每箱50元和60元，该专区决猕猴桃以每箱70元出售，丑橘以每箱85元出售．
（1）若购进猕猴桃90箱，丑橘120箱，全部售完一共可获利元．
（2）为满足市场需求，需购进这两种水果共960箱，设购进猕猴桃m箱，获得的利润为W元．
①求获利W（元）与购进猕猴桃箱数m（箱）之间的函数表达式．
②若此次活动该专区获利不低于23600元，则最多销售多少箱猕猴桃？

23．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴为直线x＝，与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）P是x轴上方抛物线上的一动点，且与点A不重合，设点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交AC于点Q，设PQ的长为h，当h随m的增大而减小时，求m的取值范围．

​
24．人教版教材中的折纸活动，引起了许多同学的兴趣．在折纸的过程中，同学们不仅发展了空间观念，还积累了数学活动经验．
【操作】在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E在边AB上，连接CE，将△EBC沿CE折叠，点B的对应点为B′．
【发现】（1）如图1，若点M，B′，E在同一条直线上，求证：△MEC为等腰三角形；
【探究】（2）若点落在矩形对角线上，求BE的长；
【拓展】（3）如图2，过点B′作B′M⊥BC，当△CB′M面积最大时，请直接写出BE的长．
​


参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．﹣的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．±
【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．
解：实数﹣的相反数是．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的性质，熟记相反数的定义是解题的关键．
2．如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后，与“悟”字所在面相对的面上的字是（　　）
​

A．数 B．学 C．抽 D．象
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答．
解：与“悟”字所在面相对的面上的字是学，
故选：B．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3．为起草党的二十大报告，党中央开展了深入的调查研究，有关部门组织了党的二十大相关工作网络征求意见活动，收到留言约8542000条．数据8542000用科学记数法表示为（　　）
A．854.2×104 B．8.542×106 C．85.24×106 D．0.8542×107
【分析】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
解：8542000用科学记数法表示为8.542×106．
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
4．如图，MN∥PQ，将一块三角板ABC按如图所示放置，其中∠ABC＝90°，若∠ABN＝20°，则∠BDQ的度数为（　　）
​

A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】由∠ABC＝90°，∠ABN＝20°，得到∠DBN＝∠ABC+∠ABN＝110°，由平行线的性质即可求出∠BDQ＝70°．
解：∵∠ABC＝90°，∠ABN＝20°，
∴∠DBN＝∠ABC+∠ABN＝110°，
∵MN∥PQ，
∴∠BDQ+∠DBN＝180°，
∴∠BDQ＝70°．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质．
5．下列运算正确的是（　　）
A．4x2﹣2x2＝2 B．2a÷4ab＝
C． D．（a﹣1）（a﹣1）＝a2﹣1
【分析】根据整式的加减法运算法则判定A选项；根据单项式除以单项式的运算法则判定B选项；根据二次根式的加法运算法则判定C选项；根据完全平方公式判定D选项．
解：4x2﹣2x2＝2x2，故A不符合题意；
2a÷4ab＝，故B符合题意；
与不是同类二次根式，故C不符合题意；
（a﹣1）（a﹣1）＝a2﹣2a+1，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算，二次根式的加减运算，熟练掌握整式的减法、除法运算法则，完全平方公式，二次根式的加法运算法则是解题的关键．
6．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根为0 D．没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可得出．
解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（﹣6）＝28＞0，
∴一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
7．某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概率是（　　）
​
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：把四张卡片记为：A、B、C、D，
画树状图，如图：

共有12种可能性，这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的情况有8种，
则这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概率是＝，
故选：D．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．在一定温度下，某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，甲、乙两种蔗糖的溶解度y（g）与温度t℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（　　）
​

A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t1℃时，甲的溶解度与乙的溶解度一样
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度小于30℃时，同等温度下甲的溶解度高于乙的溶解度
【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．
解：由图象可知：
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大，
故选项A说法正确，不符合题意；
B．当温度升高至t1℃时，甲的溶解度与乙的溶解度一样，
故选项B说法正确，不符合题意；
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g，
故选项C说法正确，不符合题意；
D．当温度小于30℃时，同等温度下甲的溶解度小于乙的溶解度，
故选项D说法错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径、画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N．作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为（　　）
​

A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理求出AB，再根据cosA＝＝，解决问题即可．
解：∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵BC＝BD＝5，
∴AD＝AB﹣BD＝13﹣5＝8，
∵MN垂直平分线段AD，
∴AF＝DF＝4，
∵cosA＝＝，
∴＝，
∴AE＝．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6．…，其中点A1的坐标为（2，0），点A2的坐标为，点A3的坐标为（0，0），点A4的坐标为…，按此规律排下去，则点A2024的坐标为（　　）
​

A． B． C． D．（2，1014）
【分析】观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，确定点A2020在x轴上方，分别求出点A4的坐标为（2，2），点A8的坐标为（2，4），……，点A4n的坐标为（2，2n），即可求解．
解：观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，
∵2024÷4＝506，
∴点A2024在x轴上方，
∵A3A4＝4，
∴A5（4，0），
∵A5A7＝6，
∴A7（﹣2，0），
∵A8A7＝8，
∴点A8的坐标为（2，4），
同理可知，点A4n的坐标为（2，2n），
∴点A2024的坐标为（2，1012），
故选：C．
【点评】本题考查点的坐标的变化规律；能够通过所给图形，找到点的坐标规律，利用有理数的运算解题是关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．比较大小：　＞　2（填“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】根据2＝＜即可得出答案．
解：∵2＝＜，
∴＞2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较，关键是得出2＝＜，题目比较基础，难度适中．
12．不等式组的解集是 　x＞3　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：解不等式4x＞x+3，得：x＞1．
解不等式3x﹣2＞7，得：x＞3，
则不等式组的解集为x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．为了增强学生的身体素质，学校比较重视体育训练，为此学校组织指导学生进行立定跳远比赛．甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲学生10次立定跳远成绩的方差为S甲2＝0.32，乙学生10次立定跳远成绩的方差为S乙2＝0.35，则甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是 　甲　．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义求解即可．
解：∵S甲2＝0.32，S乙2＝0.35，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是甲，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14．如图，在等边△ABC中，AB＝6，以C为圆心，BC为半径作，以AB为直径作，两弧形成阴影图形，则阴影部分的面积是 　9π　．（结果保留π）
​

【分析】求出半圆的面积、△ABC的面积、扇形CBA的面积，由阴影的面积＝半圆的面积+△ABC的面积﹣扇形CBA的面积，即可得到答案．
解：∵AB＝6，
∴以AB为直径半圆的面积＝×π×32＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴扇形CAB的面积＝＝6π，
∵△ABC的面积＝AB2＝9，
∴阴影的面积＝半圆的面积+△ABC的面积﹣扇形CBA的面积＝+9﹣6π＝9﹣π．
故答案为：9﹣π．
【点评】本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，等边三角形的性质，关键是明白阴影的面积＝半圆的面积+△ABC的面积﹣扇形CBA的面积．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝30°，点D在AB上且AD＝2，P为AC的中点，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝60°时，AQ的长为 　2或 2　．
​

【分析】根据直角三角形的性质得到∠BAC＝60°，AC＝BC•tan30°＝4，求得D是AB的中点．当∠DAQ＝60° 时，存在两种情况，当点Q与点P重合时，如图1所示，AQ＝AP＝1，当点Q在AP延长线上时，连接DP、DQ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
解：∵∠ACB＝90°，，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝4．
∵P为AC的中点，
∴AP＝2．
∵AD＝2，
∴∠ADP＝60°．
∵将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴点Q在以点C圆心，CP为半径的圆上．
（1）当∠ADQ＝60° 时，存在两种情况，
如图1，当点Q与点P重合时，AQ＝AP＝2．

（2）如图2，当点Q在DP的延长线上时，连接CQ．
∵CP＝CQ＝2，∠CPQ＝∠APD＝60°，
∴CP＝PQ＝PA＝2．
∴
∴．
综上，AQ的长为2或．
故答案为：2或．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．计算：|．
【分析】先计算零次幂，再化简绝对值和二次根式，最后加减．
解：|
＝
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握零次幂、绝对值的意义是解决本题的关键．
17．化简：．
【分析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，然后约分即可．
解：
＝÷
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．某校为了解老师“在学校批改作业”这一项工作的时间情况，简称“作业时间”，在本校随机调查了40名老师每天批改作业的时间，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别
“作业时间”t/分钟
频数
组内老师的平均“作业时间”/分钟
A
t＜60
8
50
B
60≤t＜90
14
75
C
90≤t＜120
10
100
D
t≥120
8
135
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这40名老师的“作业时间”的中位数落在 　B　组；
（2）求这40名老师的平均“作业时间”；
（3）若该校有300名老师，请估计老师的“作业时间”不少于90分钟的人数．
【分析】（1）利用中位数的定义解答即可；
（2）根据平均数的定义解答即可；
（3）用样本估计总体即可．
解：（1）把40名老师的“作业时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在B组，故这40名老师的“作业时间”的中位数落在B组，
故答案为：B；
（2 （50×8+75×14+100×10+135×8）＝88.25（分钟），
答：这40名老师的平均“作业时间”为88.25分钟；
（3）300×＝135（名），
答：估计老师的“作业时间”不少于90分钟的人数约有135名．
【点评】本题考查了中位数，频数（率）分布表．从频数（率）分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．
19．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A，且点A的横坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点B的坐标是（3，0），若点P在y轴上，且△AOP的面积是△AOB的面积的2倍，求点P的坐标．

​

【分析】（1）首先确定点A的坐标，再利用待定系数法求出k即可；
（2）设P（0，m），构建方程求解．
解：（1）当 x＝2 时，，
∴A（2，4），
，
∴k＝8．
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）设P（0，m），∵△AOP 的面积是△AOB 面积的2倍．

∴m＝±12，
∴P（0，12）或 （0，﹣12）．
【点评】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，属于中考常考题型．
20．悟颖塔（图1）位于河南省汝南县境内，始建于南朝梁元帝承圣年间（552～554年），塔身为实体，雄浑庄重，因有传说每年夏至日中午没有影子，故又名无影塔．某测绘兴趣小组利
用无人机测量悟颖塔的高度，一架无人机飞到与悟颖塔顶端B点等高的点Q处（图2），测得悟颖塔的底部A的俯角为56°，无人机沿着BQ的方向继续飞行15m到点P处，此时测得塔的底部A的俯角为39°，根据上述数据求悟颖塔AB的高度．（结果保留整数．参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5）

【分析】设BQ＝xm，则BP＝（x+15）m．解直角三角形即可得到结论．
解：设BQ＝xm，则BP＝（x+15）m．
∵tan56°＝＝≈1.5，
解得AB＝1.5x，
∵tan39°＝＝≈0.8，
解得x＝17.1，
经检验x＝17.1是原分式方程的解．
∴AB＝1.5×17.1≈26（m）．
答：颖塔AB的高度约为26m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
21．木质风车作为一种农具在我国有着悠久的历史，其基本构造是顶部有个梯形的入料仓，下面有一个漏斗是出大米的，右面是圆形的风箱部分，侧面有一个小漏斗是出细米、瘪粒的，尾部是出谷壳的，其实物图如图1所示．爱动脑筋的东东对风车进行了探究和测量，并画出了风箱部分的简易示意图（如图2），AE为⊙O的直径，B是⊙O上的一点，过点B作BC⊥AE交⊙O于点C，交AE于点D（点D在点O下方），地面上的点F在AD的延长线上，连接CF，测得AD＝BC＝80cm，∠BCF＝∠BAC．
（1）求证：CF是与⊙O切线；
（2）求风车中心O到地面F的距离．

​
【分析】（1）连接CO并延长交⊙O于点G，连接BG，根据圆周角定理求出∠BCF＝∠BGC，进而求出∠GCF＝90°，则OC⊥CF，根据切线的判定定理即可得解；
（2）根据垂径定理得出，根据勾股定理求出OC＝50cm，则OD＝30cm，根据相似三角形的判定与性质即可得解．
【解答】（1）证明：如图2，连接CO并延长交⊙O于点G，连接BG，

∵∠BAC＝BCF，∠BGC＝∠BAC，
∴∠BCF＝∠BGC，
∵CG是⊙O的直径，
∴∠GBC＝90°，
∴∠BGC+∠GCB＝90°，
∴∠BCF+∠GCB＝90°，
即∠GCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）解：∵AE为⊙O的直径，AE⊥BC，BC＝80cm，
∴，
设⊙O的半径为rcm，
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，AD＝80cm，
∴（80﹣r）2+402＝r2，
∴r＝50cm，
∴OC＝50cm，OD＝AD﹣AO＝30cm，
∵∠DOC＝∠COF，∠ODC＝∠OCF＝90°，
∴△ODC∽△OCF，
∴，
∴，
∴，
∴风车中心O到地面F的距离为m．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，熟记切线的判定与性质是解题的关键．
22．某市融媒体参与了“百家媒体聚力河南公益助农”行动，在各水果批发市场开设了“爱心助农销售专区”，现从某村购进猕猴桃和丑橘进行销售，进价分别为每箱50元和60元，该专区决猕猴桃以每箱70元出售，丑橘以每箱85元出售．
（1）若购进猕猴桃90箱，丑橘120箱，全部售完一共可获利元．
（2）为满足市场需求，需购进这两种水果共960箱，设购进猕猴桃m箱，获得的利润为W元．
①求获利W（元）与购进猕猴桃箱数m（箱）之间的函数表达式．
②若此次活动该专区获利不低于23600元，则最多销售多少箱猕猴桃？

【分析】（1）分别求出猕猴桃90箱，丑橘120箱的利润，可得结论；
（2）①根据总利润＝猕猴桃每箱的利润×箱数+丑橘每箱的利润×箱数，求解即可；
②根据此次活动该专区获利不低于23600元构建不等式求解．
解：（1）90×（70﹣50）+120×（85﹣60）＝4800（元）；
（2）①根据题意，得W＝（70﹣50）m+（85﹣60）（960﹣m）＝﹣5m+24000．
∴获利W（元）与购进猕猴桃箱数m（箱）之间的函数表达式为W＝﹣5m+24000．
②根据①，得﹣5m+24000≥23600，解得m≤80．
答：最多销售80箱猕猴桃．
【点评】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴为直线x＝，与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）P是x轴上方抛物线上的一动点，且与点A不重合，设点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交AC于点Q，设PQ的长为h，当h随m的增大而减小时，求m的取值范围．

​
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①当点P在点B与点A之间运动时，h＝yQ﹣yP，进而求解；②当点P在点A与点C之间运动时，同理可解．
解：（1）∵二次函数 图象的对称轴为直线 ，
∴﹣＝，
解得：，
由点A的坐标知，c＝3．
故二次函数的表达式为 ；

（2）令 y＝0，即 ，
解得：x＝﹣1或4，
∴C点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0）．
设直线AC的表达式为：y＝sx+t，
则，
解得：，
故直线AC的表达式为 ，
设 ，则 ，
①当点P在点B与点A之间运动时，
，
∴当﹣1＜m＜0 时，h随m的增大而减小，
②当点P在点A与点C之间运动时，
，
，
∴当2＜m＜4时，h随m的增大而减小，
∴m的取值范围为：﹣1＜m＜0或2＜m＜4．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质、待定系数法求函数表达式等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
24．人教版教材中的折纸活动，引起了许多同学的兴趣．在折纸的过程中，同学们不仅发展了空间观念，还积累了数学活动经验．
【操作】在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E在边AB上，连接CE，将△EBC沿CE折叠，点B的对应点为B′．
【发现】（1）如图1，若点M，B′，E在同一条直线上，求证：△MEC为等腰三角形；
【探究】（2）若点落在矩形对角线上，求BE的长；
【拓展】（3）如图2，过点B′作B′M⊥BC，当△CB′M面积最大时，请直接写出BE的长．
​
【分析】（1）根据折叠的性质得到∠BEC＝∠MEC．根据矩形的性质得到AB∥DC．根据平行线的性质得到∠BEC＝∠ECM，求得∠MEC＝∠MCE，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①如图1，当点B′落在AC上时，′根据矩形的性质得到∠B＝90°，根据勾股定理得到．由翻折的性质可知BC＝CB′＝3，求得AB'＝2，设 BE＝EB'＝x，在 Rt△AB′E 中根据勾股定理得到；②如图2，当点B′在BD上时，由BE＝B′E，BC＝B′C，可得CE垂直平分BB′，根据相似三角形的性质即可得到；
（3）如图3，过点 B'作 B′I⊥AB 于点I．设CM＝a．MB'＝b，则S△CMB′＝ab，根据完全平方公式和二次函数的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵将△EBC沿CE折叠，点B的对应点为B′．
∴∠BEC＝∠MEC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC．
∴∠BEC＝∠ECM，
∴∠MEC＝∠MCE，
∴MC＝ME，
∴△MEC是等腰三角形；
（2）解：①如图1，当点B′落在AC上时，
′
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵AB＝4，BC＝3，
∴．
∵将△EBC沿CE折叠，点B的对应点为B′，
∴BC＝CB′＝3，
∴AB'＝2，
设BE＝EB'＝x，在Rt△AB′E中． （4﹣x）2＝x2+22，
解得 ，
∴；
②如图2，当点B′在BD上时，由BE＝B′E，BC＝B′C，可得CE垂直平分BB′，

∴∠BCE+∠CBD＝∠BCE+∠CEB＝90°，
∴∠CBD＝∠BEC．
∵∠CBE＝∠BCD＝90°
∴△BCE∽△CDB．
∴，
即 ，
解得 ；
综上所述，BE的长为 或；
（3）解：如图3，过点B'作B′I⊥AB于点I．
设CM＝a．MB'＝b，则S△CMB′＝ab，
∵（a﹣b）2≥0，

∴2ab≤a2+b2，
∴a2+b2＝CB2＝92＝9，
∴，
当 时，△CMB'的面积最大．
设BE＝B′E＝y，
在Rt△B′EI中，，
化简整理得，
故．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，分类讨论是解题的关键．