高中数学9.2 向量运算同步练习题

向量的数乘

1．向量的数乘运算

2.向量数乘的运算律

设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．

特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

3．向量的线性运算

(1)定义：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算．

(2)运算结果：向量线性运算的结果仍是向量．

(3)运算律：对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ＝λμ1a±λμ2b．

4．向量共线定理

(1)条件：a为非零向量；

(2)如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；

(3)如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.

1．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝(　　)

A．5e    B．－5e    C．23e    D．－23e

【解析】选C.因为2a－3b＋c＝2·5e－3·(－3e)＋4e＝10e＋9e＋4e＝23e.

2．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)

A．＝－＋    B．＝－

C．＝＋    D．＝－

【解析】选A.由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.

3．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，则a＋b＝________，a－b＝________，2a－3b＝________．

 【解析】因为a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，

所以a＋b＝3e1－e2，a－b＝e1＋3e2，

2a－3b＝4e1＋2e2－3e1＋6e2＝e1＋8e2.

答案：3e1－e2　e1＋3e2　e1＋8e2

4．下面向量a，b共线的序号是__________．(其中e1，e2不共线)

①a＝2e1，b＝2e2；

②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；

③a＝6e1－e2，b＝e1－e2；

④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.

【解析】对于①④，由于e1，e2不共线，所以a，b不共线；对于②，a＝－b，所以a，b共线；对于③，a＝6b，所以a，b共线．

答案：②③

5．已知＝－2e，＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.

【解析】由＝－2e，得e＝－，由＝3e，得e＝

，故－＝，所以＝－.即与平行，又AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线，又||＝||，所以AB∶AC＝2∶3.

一、单选题

1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　)

A．a与－λa的方向相反    B．|－λa|≥|a|

C．a与λ2a的方向相同    D．|－λa|＝|λ|a

【解析】选C.A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|＜1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果表示一个数，而等号右边的结果表示一个向量，不可能相等；C正确，因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同．

2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)

A．A，B，D    B．A，B，C

C．B，C，D    D．A，C，D

【解析】选A.＋＋＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝＝3，所以A，B，D三点共线．

3．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(　　)

A．－a    B．－b

C．－c    D．以上都不对

【解析】选A.因为3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3a＋6b)－(6b＋2c)－(2a＋2b)＝a－2b－2c，又因为a＝b＋c，所以3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝－a.

二、填空题

4．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于________．

【解析】因为向量a＋λb与b＋λa的方向相反，所以(a＋λb)∥(b＋λa)，即存在一个负实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，即(1－mλ)a＝(m－λ)b.

因为a与b不共线，所以1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ＜0，所以1－λ2＝0，所以λ＝－1.

答案：－1

三、解答题

5．化简：(1)×3a；

(2)2－；

(3)－；

(4)－，λ，μ∈R.

【解析】(1)原式＝a＝－a；

(2)原式＝2a－2b－b＋a＝a－3b；

(3)原式＝a－b＋c－a－b＋c＝－a－b＋c.

(4)原式＝a＋[－(λ＋μ)＋3(3λ＋5μ)]b＝a＋b.

一、选择题

1．已知a，b是两个不共线的向量，＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若A，B，C三点共线，则(　　)

A．λ1＝λ2＝－1    B．λ1＝λ2＝1

C．λ1λ2＋1＝0    D．λ1λ2－1＝0

【解析】选D.若A，B，C三点共线，则，共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，即(λλ1－1)a＝(λ2－λ)b，由于a，b不共线，所以1＝λλ1且λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.

2．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形

ABCD是(　　)

A．平行四边形    B．菱形

C．等腰梯形     D．不等腰的梯形

【解析】选C.因为＝3e1，＝－5e1，

所以＝－，

所以与平行，且||＝||，又||＝||，故四边形ABCD是等腰梯形．

3．(多选)下列命题中，正确的是(　　)

A．0·a＝0

B．λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反

C．若b＝λa(a≠0)，则＝λ

D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则＝|λ|

【解析】选BD.A错误，0·a＝0；B正确，λμ<0知λ，μ符号相反；根据向量数乘的概念及其几何意义可知，C错误，D正确．

二、填空题

4．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，则－＋(2b－a)＝________，若a＋λb＝5i＋j，则实数λ＝________．

【解析】原式＝a－b－a＋b＋2b－a

＝a＋b

＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)

＝i＋j＝－i－5j.

a＋λb＝(3＋2λ)i＋(2－λ)j＝5i＋j.

所以λ＝1.

答案：－i－5j　1

5．设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是________．

【解析】画出图形如图所示．

因为＝2，

所以P为边AC上靠近A点的三等分点．

所以△PAB与△PBC的底边长之比为||∶||＝

1∶2，且高相等，所以△PAB与△PBC的面积之比为

1∶2.

答案：1∶2

三、解答题

6．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.

(1)试用a，b表示，，；

(2)证明：B，E，F三点共线．

【解题导引】(1)根据平面向量的三角形法则，用，表示出向量，和即可；

(2)用a，b表示出向量，，证明与共线，从而证明B，E，F三点共线．

【解析】(1)在△ABC中，＝a，＝b，

所以＝－＝b－a，

＝＋＝＋

＝a＋＝a＋b，

＝＋＝－＋＝－a＋b；

(2)＝－a＋b，

＝＋＝－＋

＝－a＋＝－a＋b

＝，所以＝，

所以与共线，且有公共点B，

所以B，E，F三点共线．