苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算第2课时测试题

第2课时　向量的数量积(2)

一、单选题

1．若向量a与b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，则有(　　)

A．c⊥a    B．c⊥b    C．c∥b    D．c∥a

【解析】选A.因为c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos 120°＝12＋1×2×

cos 120°＝0，所以c⊥a.

2．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________三角形(　　)

A．直角      B．等腰直角

C．等边      D．钝角

【解析】选C.·＝||||cos ∠BAC，即8＝4×4cos ∠BAC，于是

cos ∠BAC＝.又因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．

3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，且a与b的夹角为，则(a＋b)·(2a－b)＝(　　)

A．    B．－    C．－    D．

【解析】选A.·＝2a2－b2＋a·b＝2－3＋1××＝.

4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选A.|a－b|＝＝＝，

设向量a与a－b的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝，

又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.

5．已知正三角形ABC的边长为1，设＝c，＝a，＝b，那么a·b＋b·c＋c·a的值是(　　)

A．    B．    C．－    D．－

【解析】选C.因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，

即|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，所以3＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，所以a·b＋b·c＋c·a＝－.

二、填空题

6．已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝1，向量a与b的夹角为60°，那么(2a＋b)·(a－b)＝______；a在b方向上投影的数量为______．

【解析】因为|a|＝1，|b|＝1，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝，

所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝2－－1＝.a在b方向上投影的数量为|a|cos 60°＝.

答案：　

7．已知a是单位向量，且3a·b＝|b|，a，b夹角为θ，则

sin θ＝________．

【解析】因为a是单位向量，且3a·b＝|b|，

则3|a||b|cos θ＝|b|，得cos θ＝，

又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin2θ＝.

又0≤θ≤π，得sinθ＝.

答案：

8．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则

|2α＋β|的值是________．

【解析】|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)知，α·(α－2β)＝0，2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10.故|2α＋β|＝.

答案：

9．设单位向量e1，e2的夹角是，且a＝－(2e1＋e2)，b＝4e1－5e2.则＝ __________ ；a与b的夹角为________．

【解析】因为e1，e2为单位向量，所以|e1|＝|e2|＝1，

因为|a|2＝|－(2e1＋e2)|2＝4e＋4e1·e2＋e，

即|a|2＝4|e1|2＋4|e1||e2|cos ＋|e2|2，

所以|a|2＝4×12＋4×12×cos ＋12＝7，解得|a|＝；

因为a·b＝－(2e1＋e2)(4e1－5e2)＝－8e＋6e1·e2＋

5e＝－8×12＋6×12×cos ＋5×12＝－8＋3＋5＝0，所以a⊥b，即a与b的夹角为.

答案：　

三、解答题

10．已知向量a，b的长度|a|＝4，|b|＝2.

(1)若a，b的夹角为120°，求|3a－4b|；

(2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ.

【解析】(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4.

又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2

＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，

所以|3a－4b|＝4.

(2)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2a·b＋22＝(2)2，所以a·b＝－4，

所以cos θ＝＝＝－.

又θ∈[0，π]，所以θ＝.

11．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.

(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；

(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？

【解析】(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)

＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2

＝|b|2＋|a|2－.

因为b是非零向量，所以|b|≠0，

所以当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．

(2)垂直．因为b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2

＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，

所以b⊥(a＋tb)，即b⊥u.

一、选择题

1．在△ABC中，若·＋2＝0，则在上的投影向量为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选A.因为0＝·＋2＝·(＋)＝·，所以⊥，又与的夹角为锐角，所以在上的投影向量为.

2．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.如图，在四边形ABCD中，

因为|a＋b|＝|a－b|，所以四边形ABCD为矩形．

在Rt△ABD中，|a－b|＝2|a|，所以∠ABD＝.

所以a＋b和a－b的夹角为.

3．如图，AB是圆O的直径，P是圆弧AB上的点，M，N是AB上的两个三等分点，且AB＝6，则·＝(　　)

A．3    B．4    C．6    D．8

【解析】选D.·＝(＋)·(＋)＝2－2＝8.

4．已知非零向量a与b的夹角为，且|b|＝1，|a＋2b|＝2，则|a|＝(　　)

A．1    B．2    C．3    D．23

【解析】选B.方法一：因为|a＋2b|＝2，

所以|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4，又a与b的夹角为，|b|＝1，所以|a|2－2|a|＋4＝4，

所以|a|2－2|a|＝0，又a≠0，所以|a|＝2.

方法二：如图1，设a＝(m，0)(m>0)，

因为a与b的夹角为，|b|＝1，

所以b＝，所以a＋2b＝(m－1，).

因为|a＋2b|＝2，所以(m－1)2＋3＝4.

因为m>0，所以m＝2，|a|＝2.

方法三：在如图2所示的平行四边形中，因为|b|＝1，

所以|2b|＝2，又a与b的夹角为，|a＋2b|＝2，

所以此平行四边形是菱形，所以|a|＝2.

5．(多选)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是(　　)

A．      B．a－b

C．a＋b       D．a－b

【解析】选AD.因为a，b是单位向量，且夹角为60°，所以a·b＝，|a|＝|b|＝1；

所以2＝＝×3＝1，

2＝a2－a·b＋b2＝，

2＝a2＋a·b＋b2＝，

(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1，

所以和a－b是单位向量．

二、填空题

6．已知等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD和AC的夹角为________，和的夹角为________．

【解析】等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD⊥AB, CD和AC的夹角为45°，和的夹角为135°.

答案：45°　135°

7．(2019·全国Ⅲ卷改编)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，a与c的夹角为θ，则cos θ＝________.

【解析】因为c2＝(2a－b)2＝4a2＋5b2－4a·b＝9，

所以|c|＝3，因为a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2，所以cos θ＝＝＝.

答案：

8．已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝______．

【解析】因为a⊥b，所以a·b＝0，

(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，

|a＋2b|＝＝，

|a－2b|＝＝，

所以a2－4b2＝··cos 120°，

化简得a2－2b2＝0，所以＝.

答案：

9．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为______，(a－b)·c＝________．

【解析】由c⊥a得，a·c＝0，

所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.

设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，所以向量a与b的夹角θ＝120°.

(a－b)·c＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2＝1－4＝－3.

答案：120°　－3

三、解答题

10．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，＝3，

(1)若∠BAD＝，求||的值；

(2)若·＝2，求·的值．

【解析】(1)在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，＝3，当∠BAD＝时，＝＋＝＋，所以2＝2＋·＋

2＝52＋×5×8×cos ＋×82＝39，所以||＝；

(2)＝＋＝＋，

＝＋＝－，

所以·＝·

＝2－·－2 ＝25－·－×64＝2，解得·＝22.

11．a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小？

【解析】|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos 60°＝(1＋t2－t)|a|2.所以当t＝时，|a－tb|有最小值．

【加固训练】

已知两个向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角为60°，若向量a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．

【解析】由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3，

又(a＋λb)·(λa＋b)＝λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2，而向量a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，

所以λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2＞0，又|a|2＝4，|b|2＝9，a·b＝3，所以3λ2＋13λ＋3＞0，解得λ＞或λ＜.

但是当λ＝1时，向量a＋λb与λa＋b共线，

其夹角不是锐角，故λ的取值范围是

∪∪(1，＋∞).

(60分钟　100分)

一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

1．(2021·莆田高一检测)在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.＋－＝＋＋＝.

2．对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论不正确的为(　　)

A．＝

B．＝

C．＝

D．＝

【解析】选A.菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B结论正确，不符合题意，A结论错误符合题意；因为＝＝2，＝2，且＝，

所以＝，即C结论正确，不符合题意；因为＝＝，＝|＋|＝||，

所以D结论正确，不符合题意．

3．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝a0；②若a与a0平行，则a＝a0；③若a与a0平行且＝1，则a＝a0，上述命题中，假命题的个数是(　　)

A．0    B．1    C．2    D．3

【解析】选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题，若a与a0平行，则a与a0的方向相同或相反，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题，综上所述，假命题的个数是3.

4．给出下列命题：①若＋＝，则－＝；②若＋＝，则＋＝；③若＋＝，则－＝；④若＋＝，则＋＝.

其中所有正确命题的个数是(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

【解析】选D.以OD，OE为邻边构造▱ODME，结合图形进行判断．①②③④都正确．

5．若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的值不可能是(　　)

A．0    B．    C．2    D．3

【解析】选D.由向量数量积的性质知|a·b|≤|a||b|＝2.

6．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则的值为(　　)

A．－    B．－    C．    D．

【解析】选A.因为单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，得e1·e2＝1×1×cos ＝－，|a|＝＝＝，a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此＝＝－.

7．(多选)下列各式结果为零向量的有(　　)

A．＋＋    B．＋＋＋

C．－＋     D．＋＋－

【解析】选CD.对于选项A，＋＋＝＋＝

2，所以该选项不正确；

对于选项B，＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝2，所以该选项不正确；

对于选项C，－＋＝＋＝0，所以该选项正确；

对于选项D，＋＋－＝＋＝0，所以该选项正确．

8．(多选)已知向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，t∈R, ||在t＝t0时取得最小值，当0<t0<时，夹角θ的取值可能是(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选CD.因为向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，所以·＝2cos θ，＝－＝(1－t)－t，得||2＝2＝(1－t)22－2t(1－t)·＋t22＝(5＋4cos θ)t2－(2＋4cos θ)t＋1，由二次函数知，当上式取最小值时，t0＝，

由0<<，

解得－<cos θ<0，因为0≤θ≤ π，

所以<θ<，所以C，D符合．

9．(多选)已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则下列结论正确的是(　　)

A．·＝0    B．·＝2

C．·＝2    D．||cos B＝||

【解析】选ABD.在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则AC2＝1，得AC＝，得AB＝2，

所以·＝0 ，选项A正确；

·＝||||cos 45°＝2，选项B正确；

·＝||||cos 135°＝－2，选项C不正确；

直角三角形ABC中cos B＝，

即||cos B＝||，选项D正确．

二、填空题(每小题5分，共15分)

10．已知非零向量a，b满足＝＋1，＝－1，且＝4，则＝________．

【解析】如图所示，设＝a，＝b，则＝，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，

则＝，由于2＋2＝42，故2＋2＝2，

所以△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，从而OA⊥OB，

所以平行四边形OACB是矩形，根据矩形的对角线相等得＝＝4，

即＝4.

答案：4

11．已知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上的动点，则·的值为________．

【解析】如图，在Rt△ADE中，||cos ∠ ADE＝a，

所以·＝||||cos 〈，〉＝－a||＝－a2.

答案：－a2

12．已知向量||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n，(m, n∈R)，则＝________，∠OBA＝________．

【解析】||＝1，||＝，·＝0，

所以OA⊥OB，

所以||＝2＝2||，

所以∠OBA＝30°，

又因为∠AOC＝30°，

所以⊥，

故(m＋n)·(－)＝0，

从而－m2＋n2＝0，

所以3n－m＝0，

即m＝3n，所以＝3.

答案：3　30°

三、解答题(每小题10分，共40分)

13．已知在矩形ABCD中，＝4，＝8.设＝a，＝b，＝c，求.

【解析】延长直线AB，使得直线AB上一点B′满足AB＝BB′，同理，延长直线AD，使得直线AD上一点D′满足AD＝DD′，如图所示，

则b＋c＝，a－b－c＝a－＝a－＝－＝，则＝＝＝8.

14．已知点O是四边形ABCD内一点，判断结论：“若＋＋＋＝0，则该四边形必是矩形，且O为四边形ABCD的中心”是否正确，并说明理由．

【解析】该结论不正确．如图所示，设O是四边形ABCD内一点，过点A作AE∥OD且AE＝OD，连接OE，ED，则四边形AEDO为平行四边形，

设OE与AD的交点为M.过点B作BF∥OC且BF＝OC，连接CF，OF，

则四边形BOCF为平行四边形，设OF与BC交于点N，于是M，N分别是AD，BC的中点．

所以＋＝，＋＝.

又＋＋＋＝0，

所以＋＝0，且点O是公共点，点M，N分别在OE，OF上，故M，O，N三点共线，且点O为MN的中点，即点O为AD与BC的中点的连线的中点．同理可证：点O也为AB与CD的中点的连线的中点，

所以点O是四边形ABCD对边中点连线的中点，且该四边形不一定是矩形．

15．利用向量法证明直径对的圆周角为直角．

已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点．求证：∠ ACB＝90°.

【证明】设圆心为O，连接OC，

则||＝||，＝(＋)，

所以||2＝||2，2＝(＋)2，得

||2＝(＋)2，即(－)2＝(＋)2，

得2＋2－2·＝2＋2＋2·，

所以4·＝0，·＝0，

所以⊥，即∠ ACB＝90°.

16．已知△ABC是边长为2的正三角形．

(1)计算|＋|＋|－|；

(2)若－λ与向量的夹角大于90°，求实数λ的取值范围．

【解析】(1)因为 |＋|2＝(＋)2＝2＋2＋2·＝4＋4＋2×2×2×＝12，

|－|2＝(－)2＝2＋2－2·＝4＋4－2×2×2×＝12，

所以|＋|＋|－|＝4.

(2)因为－λ与向量的夹角大于90°，

所以(－λ)·<0，

即||2－λ||·||cos 60°<0，解得λ>2.所以实数λ的取值范围是(2，＋∞).