新人教A版高考数学二轮复习专题九平面解析几何6圆锥曲线的综合问题综合集训含解析

这是一份新人教A版高考数学二轮复习专题九平面解析几何6圆锥曲线的综合问题综合集训含解析，共25页。
圆锥曲线的综合问题
基础篇
【基础集训】
考点一　曲线与方程
1.设k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是 (　　)
A.长轴在x轴上的椭圆
B.长轴在y轴上的椭圆
C.实轴在x轴上的双曲线
D.实轴在y轴上的双曲线
答案　D
2.两定点A(-2,1),B(2,-1),动点P在抛物线y=x2-2上移动,则△PAB重心G的轨迹方程是 (　　)
A.y=x2-13　　B.y=3x2-23　　C.y=2x2-23　　D.y=12x2-14
答案　B
3.已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=81,动圆C与圆C1、C2都相切,则动圆C的圆心轨迹E的方程为　. 
答案　x225+y216=1或x216+y27=1
4.设三个数(x-2)2+y2,3,(x+2)2+y2成等差数列,记(x,y)对应点的曲线是C.求曲线C的方程.
考点二　定点与定值问题
5.已知直线l与双曲线x24-y2=1相切于点P,l与双曲线的两条渐近线交于M,N两点,则OM·ON的值为(　　)
A.3　　B.4
C.5　　D.与P的位置有关
答案　A


6.(多选题)设M,N是抛物线y2=x上的两个不同的点,O是坐标原点.若直线OM与ON的斜率之积为-12,则(　　)
A.|OM|+|ON|≥42
B.以MN为直径的圆的面积大于4π
C.直线MN过定点(2,0)
D.点O到直线MN的距离不大于2
答案　CD
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3-1,32,P41,32中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.
考点三　最值与范围问题
8.若a>1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是 (　　)
A.(2,+∞)　　B.(2,2)　　C.(1,2)　　D.(1,2)
答案　C
9.已知双曲线C:x2a2-4y2=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34,抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点与双曲线C的右焦点重合,则抛物线E上的动点M到直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1距离之和的最小值为 (　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
答案　B
10.设P是椭圆x29+y25=1上一点,M,N分别是两圆C1:(x+2)2+y2=1和C2:(x-2)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值和最大值分别为 (　　)
A.4,8　　B.2,6　　C.6,8　　D.8,12
答案　A
考点四　存在性问题
11.已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.
(1)若线段AB中点的横坐标是-12,求直线AB的方程;
(2)在x轴上是否存在点M,使MA·MB为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
12.已知抛物线C:y2=2px(0b>0)的左顶点为A(-2,0),两个焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形,过点P(1,0)且与x轴不重合的直线l与椭圆交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当AM与MN垂直时,求AM的长;
(3)若过点P且平行于AM的直线交直线x=52于点Q,求证:直线NQ恒过定点.
解析　(1)因为A(-2,0),所以a=2.
因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形,
所以b=c.
又b2+c2=a2,所以b2=c2=2.
所以椭圆C的方程为x24+y22=1.
(2)解法一:设M(xm,ym),
则kMP=ymxm-1,kAM=ymxm+2,
因为AM与MN垂直,
所以kAM·kMP=ymxm-1·ymxm+2=-1,
联立ymxm-1·ymxm+2=-1,xm24+ym22=1,
解得xm=0,ym=±2或xm=-2,ym=0(舍).
所以|AM|=6.
解法二:设M(xm,ym),
因为AM与MN垂直,
所以点M在以AP为直径的圆上,
又因为以AP为直径的圆的圆心为-12,0,半径为32,
所以圆的方程为x+122+y2=94.
联立xm+122+ym2=94,xm24+ym22=1,
解得xm=0,ym=±2或xm=-2,ym=0(舍).
所以|AM|=6.
(3)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=my+1,
由x=my+1,x2+2y2-4=0得(m2+2)y2+2my-3=0.
显然Δ>0,则y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-3m2+2,
因为直线PQ与AM平行,所以kPQ=kAM=y1x1+2,
则直线PQ的方程为y=y1x1+2(x-1),
令x=52,则y=32y1x1+2=3y12(my1+3),即Q52,3y12(my1+3).
kNQ=y2-3y12(my1+3)x2-52=2my1y2+6y2-3y1(my1+3)(2my2-3),
直线NQ的方程为y-y2=2my1y2+6y2-3y12m2y1y2+6my2-3my1-9(x-x2),
y=2my1y2+6y2-3y12m2y1y2+6my2-3my1-9x-(2my1y2+6y2-3y1)(my2+1)2m2y1y2+6my2-3my1-9+y2
=2my1y2+6y2-3y12m2y1y2+6my2-3my1-9x-2my1y2+15y2-3y12m2y1y2+6my2-3my1-9,
令y=0,得x=2my1y2+15y2-3y12my1y2+6y2-3y1.
因为2my1y2=3(y1+y2),故x=18y29y2=2,
所以直线NQ恒过定点(2,0).
2.(2019河南开封10月联考,20)已知直线l1:y=33x,l2:y=-33x,动点P,Q分别在l1,l2上移动,|PQ|=23,N是线段PQ的中点,记点N的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点M(0,1)分别作直线MA,MB交曲线C于A,B两点,设这两条直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点.
解析　(1)根据条件设P(3m,m),Q(-3n,n),
∵|PQ|=23,∴3(m+n)2+(m-n)2=12.
设N(x,y)是线段PQ的中点,则x=3(m-n)2,y=m+n2,
消去m,n可得曲线C的方程为x29+y2=1.
(2)证明:由(1)知,点M(0,1)为椭圆x29+y2=1的上顶点,
当直线AB的斜率不存在时,设A(x0,y0),则B(x0,-y0),
由k1+k2=2得y0-1x0+-y0-1x0=2,得x0=-1;
当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m(m≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立x29+y2=1,y=kx+m⇒(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
得x1+x2=-18km1+9k2,x1·x2=9m2-91+9k2,
则k1+k2=2⇒y1-1x1+y2-1x2=2⇒(kx2+m-1)x1+(kx1+m-1)x2x1x2=2,
即(2-2k)x1x2=(m-1)(x1+x2)⇒(2-2k)(9m2-9)=(m-1)·(-18km),由m≠1,得(1-k)(m+1)=-km⇒m=k-1,
即y=kx+m=kx+k-1⇒y=k(x+1)-1,故直线AB过定点(-1,-1).经检验,此时直线与椭圆有两个交点,满足题意.
综上所述,直线AB过定点(-1,-1).
考点三　最值与范围问题
1.(2020安徽高三期末)如图,已知F1、F2分别是椭圆C:x264+y232=1的左、右焦点,过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点N,线段F1N的中点为M,线段F1N的垂直平分线MP与l2的交点P(第一象限)在椭圆上,若O为坐标原点,则|OM||OF2|的取值范围为 (　　)

A.0,22　　B.0,12　　C.(0,2)　　D.(0,1)
答案　D　因为PM为线段F1N的垂直平分线,所以|F1M|=|MN|.
由中位线定理可得|OM|=12|F2N|.
设点P(x0,y0)(x0>0,y0>0).
由两点间的距离公式,得|PF1|=(x0+c)2+y02=(x0+c)2+1-x02a2b2=c2x02a2+2cx0+a2=a+ex0,
同理可得|PF2|=a-ex0,
所以|F2N|=|PF1|-|PF2|=2ex0,故|OM|=ex0,
因为a=8,c=42,所以e=ca=22,
故|OM|=22x0,所以|OM||OF2|=22x042=x08.
因为x0∈(0,8),所以18x0∈(0,1).
故|OM||OF2|的取值范围为(0,1).
故选D.
2.(2020安徽高三期末)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),若双曲线C的渐近线上存在点M满足|MF1|=2|MF2|,则双曲线C的实轴长的最小值为(　　)
A.23　　B.43　　C.423　　D.823
答案　B　设M(x,y),由|MF1|=2|MF2|可得(x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2],整理得(x-6)2+y2=32,
即点M在以(6,0)为圆心,42为半径的圆上.
又点F2到双曲线C的渐近线的距离为b,
∴当双曲线C的渐近线与圆(x-6)2+y2=32相切时,b取得最大值,
∴b2=426,从而b≤423.
∴a≥4-329=23,故2a≥43.故双曲线C的实轴长的最小值为43.
故选B.
思路分析　设M(x,y),由|MF1|=2|MF2|,利用距离公式化简得出点M在圆(x-6)2+y2=32上,当双曲线C的渐近线与圆相切时,b取得最大值,得出b≤423,结合a2+b2=c2得出2a的最小值.
3.(2020河南中原名校联盟第三次测评,10)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,若点P为椭圆C上的任意一点,且P在第一象限,O为坐标原点,F(3,0)为椭圆C的右焦点,则OP·PF的取值范围为 (　　)
A.(-16,-10)　　B.-10,-394
C.-16,-394　　D.-∞,-394
答案　C　因为椭圆C的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,所以2a+2c=4b,即a+c=2b,又F(3,0)为椭圆C的右焦点,所以c=3.因为a2=c2+b2,所以解方程组a2=c2+b2,a+c=2b,c=3,得a=5,b=4,c=3,所以椭圆方程为x225+y216=1.设P(m,n)(0