新人教A版高考数学二轮复习专题九平面解析几何3椭圆专题检测含解析

这是一份新人教A版高考数学二轮复习专题九平面解析几何3椭圆专题检测含解析，共14页。试卷主要包含了故选D，椭圆C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
椭圆
专题检测
1.在矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为 (　　)
A.23　　B.26　　C.42　　D.43
答案　D　依题意得|AC|=5,椭圆的焦距2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,所以短轴长2b=2a2-c2=216-4=43.
2.(2018广西桂林、柳州联考,10)已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e= (　　)
A.53　　B.13　　C.23　　D.12
答案　A　依题意,设|PF2|=m,则有|PF1|=2m,|F1F2|=5m,则椭圆的离心率e=|F1F2||PF1|+|PF2|=5m3m=53.故选A.
3.(2018湖北重点中学4月联考,7)已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为 (　　)
A.43　　B.1　　C.45　　D.34
答案　D　不妨设A点在B点上方,由题意知:F2(1,0),将F2的横坐标代入椭圆方程x24+y23=1中,可得A点纵坐标为32,故|AB|=3,所以内切圆半径r=2SC=68=34(其中S为△ABF1的面积,C为△ABF1的周长).故选D.
一题多解　由椭圆的通径公式得|AB|=2b2a=3,则S△ABF1=12×2×3=3,又易得△ABF1的周长C=4a=8,则由S△ABF1=12C·r可得r=34.故选D.
4.(2020陕西百校联盟9月联考,10)已知椭圆C:x28+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F2且与椭圆C交于M,N两点,且MA=AN,若|OA|=|AF2|,则直线l的斜率为 (　　)
A.±1　　B.±12　　C.±13　　D.±14
答案　B　设M(x1,y1),N(x2,y2),则x128+y122=1,x228+y222=1,两式相减可得(x1-x2)(x1+x2)8+(y1-y2)(y1+y2)2=0,又由题意知A为线段MN的中点,故Ax1+x22,y1+y22,故kOA·kMN=-14,因为|OA|=|AF2|,所以kOA=-kMN,所以kMN=±12,故直线l的斜率为±12.
5.(2018广东惠州三调,16)设A、B为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在异于A,B的点P,使得PO·PB=0,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是　　　　. 
答案　22,1
解析　由题意知A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则PO=(-x,-y),PB=(a-x,-y),又PO·PB=0,∴(a-x)(-x)+y2=0,得y2=ax-x2>0,∴0b>0)的离心率为22,上顶点A到右焦点的距离为2.过点D(0,m)(m≠0)作不垂直于x轴,y轴的直线l交椭圆E于P,Q两点,C为线段PQ的中点,且AC⊥OC.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求实数m的取值范围;
(3)延长AC交椭圆E于点B,记△AOB与△AOC的面积分别为S1,S2,若S1S2=83,求直线l的方程.

解析　(1)由题意得ca=22,a=2,所以c=1,b2=a2-c2=1,
所以椭圆E的方程为x22+y2=1.
(2)解法一:由(1)得A(0,1).设P(x1,y1),Q(x2,y2),C(x0,y0),其中x0,y0均不为0,且x1≠x2.
因为P,Q两点都在椭圆E上,所以x12+2y12=2,x22+2y22=2,
两式相减得y2-y1x2-x1×y0x0=-12.
又y2-y1x2-x1=y0-mx0,所以y0-mx0×y0x0=-12,
即x02=2y0(m-y0).①
又AC⊥OC,所以y0-1x0×y0x0=-1,
即x02=y0(1-y0).②
由①②得y0=2m-1,x02=(1-2m)(2m-2)∈(0,2),
所以12b>0)的焦距为26,设右焦点为F,过原点O的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AF的中点为M,线段BF的中点为N,且OM·ON=14.
(1)求弦AB的长;
(2)当直线l的斜率k=12,且直线l'∥l时,l'交椭圆于P,Q,若点A在第一象限,求证:直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.
解析　(1)由题意可知2c=26,c=6,F(6,0),设A(x0,y0),B(-x0,-y0),
则Mx0+62,y02,N-x0+62,-y02,
由OM·ON=6-x02-y024=14,则x02+y02=5,
则|AB|=2x02+y02=25.
(2)证明:直线l的斜率k=12,则l:y=12x,y0=12x0,
由x02+y02=5,得A(2,1),将c=6代入椭圆方程解得
a=22,b=2,∴椭圆的方程为x28+y22=1.
由题意设l':y=12x+m(m≠0),
联立x2+4y2=8,y=12x+m,整理得x2+2mx+2m2-4=0,
Δ=4m2-4(2m2-4)>0,即m∈(-2,0)∪(0,2).
设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,P(x1,y1),Q(x2,y2),则k1=y1-1x1-2,k2=y2-1x2-2.
由x2+2mx+2m2-4=0,
可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,
所以k1+k2=y1-1x1-2+y2-1x2-2=(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)(x1-2)(x2-2)
=12x1+m-1(x2-2)+12x2+m-1(x1-2)(x1-2)(x2-2)
=x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)(x1-2)(x2-2)
=2m2-4-2m2+4m-4(m-1)(x1-2)(x2-2)=0,即k1+k2=0.
∴直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.