新人教A版高考数学二轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数7函数与方程综合篇课件

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注意　零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点,并不能 判断零点的个数,但如果函数在区间上是单调函数,则该函数在区间上至 多有一个零点.注:函数零点存在性定理在新教材中叫零点存在定理.3.二分法(1)对于区间[a,b]上连续不断的,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从 而得到零点近似值的方法,叫做二分法.(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证④    f(a)·f(b)<0    ,给定精确度ε;第二步,求区间(a,b)的中点c;
第三步,计算f(c):(i)若f(c)=0,则c就是函数的零点;(ii)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));(iii)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b));第四步,判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否 则,重复第二、三、四步.
考法一　函数零点的个数及所在区间的判断方法
例1　(1)(2020江苏如皋中学第一学期检测,2)函数f(x)=ln x- +1的零点所在的大致区间是 (　　)A.(2,e)　    B.(1,2)　    C.(e,3)　    D.(3,+∞)(2)设函数y=x3与y= 的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是　　　    .
答案　(1)B　(2)(1,2)
方法总结　确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后看求得的根是否 落在给定区间上.(2)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否 连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交 点来判断.
例2　(1)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时, f(x)=2|x|- 1,则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是 (　　)A.9　    B.10　    C.11　    D.18(2)(多选题)(2021届湖南衡阳一中第二次月考,10)某同学在研究函数f(x)=  (x∈R)时,给出下面几个结论,其中正确的有 (　　)A.f(x)的图象关于原点对称B.若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2)C.f(x)的值域为(-1,1)D.函数g(x)=f(x)-x仅有一个零点(3)函数f(x)= 的零点个数是　　　    .
所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故A正确;选项B,当x≥0时, f(x)= =1- ,显然函数单调递增,此时0≤f(x)<1;当x<0时, f(x)= =-1+ ,显然函数单调递增,此时-10时,作函数y=ln x和y=x2-2x的图象,如图.
答案　(1)B　(2)ABCD　(3)3
方法总结　判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法:令f(x)=0,如果有解,则有几个不同的解就有几个零点.(2)函数零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上的图象连续, 且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性、奇偶性、周期 性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数图象的交点的个数问题,有几个交点就有 几个不同的零点.
例    (2020云南大理、丽江、怒江一模,11)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2- 3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则 (　　)A.g(a)<0解析　易知函数f(x)单调递增, f(0)=-1<0, f(1)=e-1>0,由f(a)=0知00,由g(b)=0知b>1,∴g(a)f(1)>0.故g(a)<0解题关键　将x1,x2分别看成y=2x,y=lg2x的图象与直线y=2-x的交点的横坐 标,结合y=2x,y=lg2x的图象关于直线y=x对称得到x1+x2=2是解题的关键.
例    (2020浙江杭州期末,16)已知函数f(x)=x3-9x,g(x)=3x2+a(a∈R).若方程f(x)=g(x)有三个不同的实数解x1,x2,x3,且它们可以构成等差数列,则a=　     　    .
一题多解　(三次方程的韦达定理的应用)由题可知x1,x2,x3为方程x3-3x2-9x -a=0的三个不等实根,且满足x1+x3=2x2,而x1+x2+x3=3,所以3x2=3,即x2=1,所 以1-3-9-a=0,即a=-11.
例    (2020重庆一中摸底)已知偶函数y=f(x),x∈R满足f(x)=x2-3x(x≥0).若 函数g(x)= 则y=f(x)-g(x)的零点个数为 (　　)A.1　    B.3　    C.2　    D.4
方法总结　研究函数的零点个数问题时,若解方程不易求解或者遇到超 越方程时,应优先考虑数形结合.
考法二　函数零点性质的应用
解析　(1)由f(x)=2x+x=0,g(x)=x-l x=0,h(x)=lg2x- =0得2x=-x,x=l x,lg2x= .在坐标系中分别作出y=2x,y=-x,y=x,y=l x,y=lg2x,y= 的图象,如图. 
由图可知x1若a≤0,当x<1时, f(x)无零点;当x≥1时,由题意知应恰有两个零点,所以 无解.综上, ≤a<1或a≥2.
方法总结　零点性质的应用已知函数有零点(方程有根)求参数的值或取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等 式(组)确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图 象,然后数形结合进行求解.
解后反思　本题考查函数与方程的应用,考查数形结合以及转化思想的 应用,是中档题.