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新人教A版高考数学二轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数8函数模型及函数的综合应用综合篇课件
展开这是一份新人教A版高考数学二轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数8函数模型及函数的综合应用综合篇课件，共53页。
2.三种增长型函数模型的性质比较
3.“对勾”函数的性质函数f(x)=x+ (a>0).(1)该函数在(-∞,- ]和[ ,+∞)上单调递增,在(- ,0)和(0, )上单调递减.(2)当x>0时,x= 时取最小值2 ;当x<0时,x=- 时取最大值-2 .4.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数 学知识建立相应的数学模型;
(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:
考法一 解函数应用题的方法
例1 (2020山东潍坊期中)在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某医疗设备公司生产某医疗器材,已知每月生产x台(x∈N*)的收益函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:万元),成本函数C(x)=500x+4 000(单位:万元),该公司每月最多生产100台该医疗器材(利润函数=收益函数-成本函数).(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大,最大值为 多少?(精确到0.1)(3)求x为何值时利润函数P(x)取得最大值,并解释边际利润函数MP(x)的 实际意义.
解析 (1)由题意知,x∈[1,100]且x∈N*,P(x)=R(x)-C(x)=3 000x-20x2-(500x+ 4 000)=-20x2+2 500x-4 000,MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000-(-20x2+2 500x-4 000)=2 480-40x.(2)每台医疗器材的平均利润为 =- +2 500≤-400 +2 500,当且仅当x=10 时等号成立.因为x∈N*,所以当每月生产14台机器时,每台的平均利润约为1 934.3万 元,每月生产15台时,每台的平均利润约为1 933.3万元,故每月生产14台 时,每台医疗器材的平均利润最大,为1 934.3万元.(3)P(x)=-20x2+2 500x-4 000=-20(x-62.5)2+74 125,由MP(x)=2 480-40x≥0,得x≤62,此时P(x)随x的增大而增大,由MP(x)=
2480-40x≤0,得x≥62,此时P(x)随x的增大而减小,∴x=62或63时,P(x)取得最 大值.MP(x)反映了产量与利润增量的关系,从第二台开始,每多生产一台 医疗器材利润增量在减少.
方法总结 一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略单一考查一次函数或二次函数模型.解决此类问题应注意三点:(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切 注意函数的定义域,否则极易出错;(2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法;(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.
例3 (2021届山东枣庄三中第一次月考(9月))2019年7月,中国良渚古城 遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认 可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史. 考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减 少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满 足N=N0· (N0表示碳14原有的质量),则经过5 730年后,碳14的质量变为原来的 ;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来 的 至 ,据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到5 730年之间.(参考数据:lg23≈1.585,lg25≈2.322)
解析 当t=5 730时,N=N0·2-1= N0,∴经过5 730年后,碳14的质量变为原来的 .令N= N0,则 = ,∴- =lg2 =lg23-lg25≈1.585-2.322=-0.737,∴t=0.737×5 730≈4 223,∴良渚古城存在的时期距今约在4 223年到5 730年之间.
方法总结 应用指数函数模型的关注点:(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查,在实际问题中 有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型 来解决.(2)应用指数函数模型的关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关 数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
例4 某店销售进价为2元/件的产品A,该店产品A每日的销售量y(单位:千 件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y= +4(x-6)2,其中2
方法总结 解决函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种 函数,并要注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其 实际意义作出解答.明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础:
例 某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资 成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系 如图②(注:利润和投资单位:万元).(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部资金投入A,B两种产品的生 产中.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其 最大利润为多少万元?
解析 (1)设A,B两种产品都投资x万元(x≥0),所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元,由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2 ,根据题图可得f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2 (x≥0).(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2 =6,故总利润y=8.25(万元).②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元,则y= (18-x)+2 ,0≤x≤18.令 =t,t∈[0,3 ],则y= (-t2+8t+18)=- (t-4)2+ .故当t=4时,ymax= =8.5,此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该 企业获得最大利润8.5万元.
例 为了迎接世博会,某旅游区提倡低碳生活,在景区提供自行车出租.该 景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115 元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出; 若超过6元,则每超出1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆 自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须 高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出 租自行车的总收入减去管理费用后的所得).(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?
例 稿酬所得以个人每次取得的收入,定额或定率减除规定费用后的余 额为应纳税所得额,每次收入不超过4 000元,定额减除费用800元;每次收 入在4 000元以上的,定率减除20%的费用.适用20%的比例税率,并按规定 对应纳税额减征30%,计算公式为:(1)每次收入不超过4 000元的:应纳税额=(每次收入额-800)×20%×(1-30%);(2)每次收入在4 000元以上的:应纳税额=每次收入额×(1-20%)×20%×(1-30%).已知某人出版一份书稿,共纳税280元,这个人应得稿费(扣税前)为 元.
解析 设这个人应得稿费(扣税前)为x元.①当x≤4 000时,(x-800)×20%×(1-30%)=280,解得x=2 800.②当x>4 000时,x(1-20%)×(1-30%)×20%=280,解得x=2 500(舍去).综上,x=2 800.故这个人应得稿费(扣税前)为2 800元.
答案 2 800
例 (2019湖北荆州质量检查(一),20)为响应国家提出的“大众创业,万众 创新”的号召,小李大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市 场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为5万元,每年生产x万件, 需另投入流动成本为C(x)万元,且C(x)= 每件产品售价为10元.经市场分析,生产的产品当年能全部售完.(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润= 年销售收入-固定成本-流动成本)(2)当年产量为多少万件时,小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大 利润是多少?
例 (2017江苏常州教育学会学业水平检测)某辆汽车以x千米/时的速度 在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每 小时的耗油量(所需要的汽油量)为 升,其中k为常数,且60≤k≤100.(1)若汽车以120千米/时的速度行驶时,每小时的耗油量为11.5升,欲使每 小时的耗油量不超过9升,求x的取值范围;(2)求该汽车行驶100千米的耗油量的最小值.
解析 (1)由题意知,当x=120时, =11.5,∴k=100,由 ≤9,得x2-145x+4 500≤0,∴45≤x≤100.又60≤x≤120,∴60≤x≤100.故x的取值范围为60≤x≤100.(2)设该汽车行驶100千米的耗油量为y升,则y= · =20- + (60≤x≤120).令t= ,则t∈ ,∴y=90 000t2-20kt+20=90 000 +20- ,
例 (2018福建三明联考,6)用清水洗衣服,每次能洗去污垢的 ,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据:lg 2≈0.301) ( )A.3 B.4 C.5 D.6
例 (2018全国名校第三次大联考)某市垃圾处理站每月的垃圾处理量最 少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月垃圾处理量x(吨)之间的函 数关系可近似地表示为y= x2-200x+80 000,且每处理一吨垃圾得到的可利用的资源值为100元.(1)该站每月垃圾处理量为多少吨时,才能使每吨垃圾的平均处理成本最 低?(2)该站每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要市财 政补贴,至少补贴多少元才能使该站不亏损?
例 (2019福建福鼎三校联考,20)某中学高二年级组织外出参加学业水平 考试,出行方式为:乘坐学校定制公交或自行打车前往,大数据分析显示, 当x%(0
解析 (1)依题意,令y≥4,则 或 解得0
例5 (2021届广东云浮郁南蔡朝焜纪念中学9月月考)已知函数f(x)=4x-a·2x+1+1.(1)若函数f(x)在x∈[0,2]上有最大值-8,求实数a的值;(2)若方程f(x)=0在x∈[-1,2]上有解,求实数a的取值范围.
解析 (1)因为x∈[0,2],所以2x∈[1,4],令t=2x,t∈[1,4],所以得到函数f(t)=t2- 2at+1,图象为抛物线,开口向上,对称轴为t=a,当a≤ 时,则在t=4处, f(t)取最大值,即f(t)max=f(4)=-8,所以16-8a+1=-8,解得a= ,不满足a≤ ,所以舍去.当a> 时,则在t=1处, f(t)取最大值,即f(t)max=f(1)=-8,所以1-2a+1=-8,解得a=5,满足a> .综上,a的值为5.(2)因为x∈[-1,2],所以2x∈ ,令m=2x,m∈ ,所以得到函数f(m)=m2-2am+1,令f(m)=0,得m2-2am+1=0,即2a=m+ ,
所以要使f(m)=0有解,则直线y=2a与函数y=m+ 的图象有交点,而函数y=m+ 在 上单调递减,在(1,4]上单调递增,故在m=1时,有ymin=2,在m=4时,有ymax= ,所以可得2≤2a≤ ,所以1≤a≤ .即a的取值范围是 .
方法总结 函数的综合应用基本思路:(1)首先确定函数的定义域;(2)拆分或化简解析式;(3)确定函数的单调性、奇偶性、周期性;(4)引入导数、不等式等工具,运用数形结合、分类讨论、化归与转化等 数学思想解决问题.
思路分析 作出f(x)的图象,根据函数与方程之间的关系,确定x1,x2,x3的取 值范围,结合对数的运算法则进行化简求解即可.
解析 ∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的最小正周期为4,故②错误.∴f(2 018)=f(4×504+2)=f(2)=-f(0),∵当x∈[-1,1]时, f(x)=x,∴f(0)=0,即f(2 018)=0,故①正确.∵函数f(x)在实数集R上为奇函数,∴-f(x)=f(-x),∴f(x+2)=f(-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称.画出函数f(x)的图象如图所示:
由图象可得,当x∈[-2,2]时,方程f(x)= 有2个根,故当x∈[-2 018,2 018]时,方程f(x)= 有2 018÷2×2=2 018个根,故③正确;画出y=lg5|x|的图象如图所示,与函数f(x)的图象有5个交点,即方程f(x)=lg5|x|有5个根,故④正确.故选C.
例 (2019天一中学检测,18)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则f(x)称为“局部奇函数”.(1)已知二次函数f(x)=ax2+x-4a,试判断f(x)是不是“局部奇函数”,并说明 理由;(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[-1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值 范围;(3)若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值 范围.
解析 f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f(-x)=0在定义域内 有解.(1)对于f(x)=ax2+x-4a(a∈R),方程f(x)+f(-x)=0,即2a(x2-4)=0,由题意得a≠0, 则x=±2,所以f(x)为“局部奇函数”.(2)对于f(x)=2x+m, f(x)+f(-x)=0即2x+2-x+2m=0,因为f(x)的定义域为[-1,1],所以方程2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解.令t=2x,t∈ ,则-2m=t+ ,设g(t)=t+ ,则g'(t)=1- = ,当t∈(0,1)时,g'(t)<0,故g(t)在(0,1)上为减函数;
当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,故g(t)在(1,+∞)上为增函数.所以t∈ 时,g(t)∈ .所以-2m∈ ,故m∈ .(3)对于f(x)=4x-m2x+1+m2-3, f(x)+f(-x)=0可化为4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.令t=2x+2-x,t∈[2,+∞),则4x+4-x=t2-2,从而t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解即可保证f(x)为“局部奇函数”.令F(t)=t2-2mt+2m2-8,①当F(2)≤0时,t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解,由F(2)≤0,即2m2-4m-4≤0,
解得1- ≤m≤1+ ;②当F(2)>0时,t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解等价于 解得1+
例 (2018上海杨浦一模)如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的 场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开. (1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数,并 确定这个函数的定义域;(2)怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?
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