2022年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区中考数学调研试卷（含解析）

2022年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区中考数学调研试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 估计的值精确到是

A.  B.  C.  D.

2. 一组数据，，，，的中位数、众数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. 已知，，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 抛物线的对称轴是

A.  B.  C.  D.

5. 实数，在数轴上的对应点如图所示，化简结果为

A.  B.  C.  D.

6. 在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，已知边长为的正六边形内接于，则阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

8. 一个长方体去掉一角的图形如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是

A.      主视图
B.       主视图
C.      左视图
D.      左视图
 

9. 同学甲为了测量教学楼的高度，在水平地面点处，观察点的仰角为，再向点处前行了米到达点，即米，在点处看点的仰角为，则教学楼的高用三角函数表示为

A.  B.  C.  D.

10. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 华为自主研发的麒麟型芯片，要求晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为______．
12. 分解因式：______．
13. 如图所示，苏州市年月日最高温度的折线统计图，由此图可知这天中，出现最高气温为的天数频率是______．

14. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点若，则的值为______ ．

15. 如图，与是位似图形，点为位似中心，若，则与的面积比为______．
    
     

16. 如图，在中，，，，则的长为______．

17. 如图，已知为直线：上一点，先将点向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度至点，再将点向下平移个单位长度至点若点恰好落在直线上，则的值为______．
    
    
     

18. 如图，正方形的边长为，是边上的一动点，交于，且平分正方形的面积，则线段的最小值是______．
    
     

三、解答题（本大题共10小题，共76分）

19. 计算：
    
    
    
    
    
    
     
20. 解分式方程：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 张老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母代替了原代数式的一部分：．
    求代数式，并将其化简；
    当时，求的值；
    当时，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某市教育主管部门为了解“初中生寒假期间每天体育活动时间”的问题，随机调查了辖区内名初中生，根据调查结果绘制成的统计图部分如图所示，其中分组情况是：组：；组：；组：；组：，请根据上述信息解答下列问题：
    组的人数是______，调查数据的中位数落在______组内，并将条形图补充完整；
    为了便于估算，现将组时间记为，组时间记为，组时间记为，组时间记为，请你通过以上数据，估算该市中学生寒假期间每天平均体育活动时长？

23. 一个不透明袋子中装有个红球和个黄球，每个球除颜色外其余都相同．
    现从袋中一次性摸出一个球，摸出红球和黄球的概率分别是多少？
    现从袋中一次性摸出两个球，摸到红黄的概率是多少？请画出树状图或列表
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，四边形内接于，，四边形为菱形，连接．
    求证：平分；
    若，，求的长．
     

25. 在中，，，点在边上，且，交边于点，连接．
    如图，当时，
    求证：；
    求的度数．
    如图，若，，求的长．

26. 如图，抛物线与轴相交于、两点点位于点的左侧与轴相交于点，是抛物线的顶点且横坐标为，点的坐标为，为线段上一个动点．
    求抛物线的解析式；
    过点作轴于点若，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    是否存在点满足，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
27. 在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：
    如果，那么称点为点的“关联点”．
    例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点．
    在点，，，中，______的“关联点”在函数的图象上；
    如果一次函数图象上点的“关联点”是，求点的坐标；
    如果点在函数的图象上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，求实数的取值范围．

28. 【基础】
    如图，在中，，，，则的大小为______；
    【探究】
    如图，在四边形中，，对角线与相交于若，，，求四边形的面积；
    【拓展】
    在东太湖生态建设中，拟修建一湿地主题公园．设计要求：如图，四边形中，，，求这个主题公园的最大面积．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，即，
的整数部分为，而，
，
精确到的近似值为，
故选：．
估算无理数的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

2.【答案】
 

【解析】解：把这组数据从小到大排列：，，，，，最中间的数是，则这组数据的中位数是；
出现了次，出现的次数最多，则众数是；
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
此题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，，




．
故选：．
利用完全平方公式将展开，再将已知代数式的值代入计算即可求出答案．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：与轴的交点坐标为，，
对称轴为

，
故选：．
利用对称性，结合与轴的两个交点坐标推导即可．
本题考查的是抛物线的对称轴，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称轴公式．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由题意：，
，．


，
故选：．
利用二次根式的性质，绝对值的意义化简即可．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，实数与数轴，利用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：依题意得：，
故选：．
根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛场，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：连接，，过作于，
在正六边形中，，
，
，
，
同理，，
是等边三角形，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
故选：．
要求三角形的面积就要先求出它的边长，根据正多边形与圆的关系即可求出．
本题主要考查了正多边形和圆，得出阴影部分三角形的边长是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：该图形的主视图为，左视图为，
故选：．
根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，可得答案．
本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
，
，
米，
米，
在中，
，
，
故选：．
先结合三角形外角的性质与等腰三角形的判定证得，再根据三角函数的定义即可得到结论．
本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，熟练掌握三角函数的定义是解决问题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：三角形的边长满足，，
，
，



，
当时，有最大值为，
故选：．
根据公式计算出，再表示成，代入公式即可求出解．
本题主要考查了二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
 

11.【答案】
 

【解析】解：数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】

解：，
，
．
故答案为．

 

13.【答案】
 

【解析】解：由频数分布折线图知，共有个数据，其中出现次，
所以出现气温为的频率是，
故答案为：．
由频数分布折线图知，共有个数据，其中出现次，再根据频率的概念求解即可．
本题主要考查频数率分布折线图，折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势．
 

14.【答案】
 

【解析】解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
，，
，
作轴于，
，
，，
，
∽，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为．
先求得、的坐标，然后根据三角形相似求得的坐标，根据待定系数法即可求得的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，体现了数形结合的思想．
 

15.【答案】：
 

【解析】解：，
，
与是位似图形，
∽，
与的面积比，
故答案为：：．
根据位似图形的概念得到∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：过作，交于点，
在中，，，
设，则，
根据勾股定理得：，即，
解得：或舍去，
，，
又，，
为等腰直角三角形，
，
则．
故答案为：．
过作垂直于，在直角三角形中，：，设，则，再由的长，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出与的长，由垂直于，，得到三角形为等腰直角三角形，可得出，求出的长，由即可求出的长．
本题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定与性质，利用了转化及方程的数学思想，是一道综合性较强的试题．
 

17.【答案】
 

【解析】解：点代入得，，
解得：，
直线的解析式为，
点向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度至点，再将点向下平移个单位长度至点，
点的坐标为，
将点的坐标代入直线的解析式得，，
解得：，
故答案为：．
先将点代入求得的值，得到直线的解析式，然后用含有的式子表示点，再将点的坐标代入直线的解析式求得的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键用待定系数法求得一次函数的解析式．
 

18.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，交于点．
四边形是正方形，
，
，
直线平分正方形的面积，
直线经过点，
取的中点，连接，．
，，
，
，，
，
，
中，，
中，，
，
的最小值为．
故答案为：．
连接，交于点依据正方形的对称性可得直线经过点，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上中线的性质求出，根据勾股定理求出，再根据可得结论．
本题考查正方形的性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理等知识的综合运用，解题的关键是添加常用辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质解决问题．
 

19.【答案】解：原式


．
 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及平方差公式、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，正确运用乘法公式计算是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

21.【答案】解：由题意得：




，
当时，，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
当时，

．
 

【解析】根据被除式商除式，被减式差减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计算即可解答；
利用的结论可得，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答；
把的值，代入，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

22.【答案】 
 

【解析】解：组的人数是：人，调查数据的中位数落在组，将条形图补充完整如下：

故答案为：；；


小时，
答：该市中学生寒假期间每天平均体育活动时长为小时．
根据直方图可得总人数以及各小组的已知人数，进而根据其间的关系可计算组的人数；根据中位数的概念，可知调查数据的中位数落在组；
用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图，同时考查中位数的求法：给定个数据，按从小到大排序，如果为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．
 

23.【答案】解：从袋中一次性摸出一个球，摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，同时拿出一个红球和一个黄球的结果有种，
同时拿出一个红球和一个黄球的概率为．
 

【解析】直接根据概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，同时拿出一个红球和一个黄球的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，
平分；
解：如图，连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
 

【解析】由菱形的性质得，再由圆心角、弧、弦的关系得，然后由圆周角定理得，即可得出结论；
连接，由圆周角定理得，再由等腰三角形的性质得，然后证是等腰直角三角形，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
，
，
，
≌，
．
解：，，，，
，
、、、四点共圆，
，
；
解：且，
，
，
，
∽，
：：，
，，
：：，
解得，
，
．
 

【解析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质可得结论；
根据圆内接四边形的性质可得结论；
通过证明∽，可求解的长，再利用勾股定理可求解的长．
此题考查的是三角形综合题目，掌握全等三角形的判定与性质及内接四边形的性质是解决此题关键．
 

26.【答案】解：直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为，
，，
，
抛物线的解析式为：．

，
点，
抛物线的解析式为：与轴相交于，两点点位于点的左侧，
，
，，
点，点，
点，点，
直线解析式为，
点在直线上，且轴于点，，
点，
，
点在线段上，且点，点，
，
与之间的函数关系式为．

不存在，
理由：若时，
，，，
，
舍去，舍去，
不存在点满足．
 

【解析】点坐标代入解析式可求的值，由对称轴可求的值，即可求解．
先求出点，点，点的坐标，利用待定系数法可求解析式，由三角形的面积公式可求解．
利用两点距离公式列出方程可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 

27.【答案】F、
 

【解析】解：点的“关联点”是，
点的“关联点”是，
点的“关联点”是，
点的“关联点”是，
将点的坐标代入函数，
得和在此函数图象上，
故答案为：、；
当时，点，
则，解得：舍去；
当时，点，
，解得：，
点；
如图为“关联点”函数图象：
从函数图象看，“关联点”的纵坐标的取值范围是，
而，
函数图象只需要找到最大值直线与最小值直线直线从大于等于开始运动，直到与有交点结束．都符合要求，
即，解得：舍去负值，
观察图象可知满足条件的的取值范围为．
点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，将点的坐标代入函数，看是否在函数图象上，即可求解；
当时，点，则；当时，点，则，解方程即可求解；
如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”的纵坐标的取值范围是，而，函数图象只需要找到最大值直线与最小值直线直线从大于等于开始运动，直到与有交点结束．都符合要求，只要求出关键点即可求解．
本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中考常考题型．
 

28.【答案】
 

【解析】解中，，，，
，
，
故答案为：；

过作于，过作于，如图：

在中，，
在中，，
，
，
；

如图，连接，过点作，交的延长线于，连接，

，，
，
，
，
，
，，
设，则，，
，
，
，
，
，
为定角，为定长，
故画出的外接圆，如图，

当，且经过圆心时，最大，
，
设，则，
由勾股定理得，
，
，
，
，
，
主题公园的最大面积为：．
利用的正切直接求解；
过作于，过作于，将转化为，利用分别表示出两个三角形的高即可解题；
连接，过点作，交的延长线于，连接，设，则，，，从而，通过平行将四边形面积转化为三角形面积，再通过定角对定边求最大面积即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了四边形的面积，三角函数，勾股定理，平行线的性质，构造辅助圆等知识，通过作平行线将四边形面积转化为三角形面积是解题的关键，难度较大．