2022年江苏省苏州市姑苏区中考数学评价展示试卷（5月份）（含解析）

2022年江苏省苏州市姑苏区中考数学评价展示试卷（5月份）

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 在下列四个实数中，最小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 某同学在一次实心球练习中，成绩单位：米记录如下：，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. “天问一号”是中国行星探测任务中的首次火星探测任务，引起广泛关注．已知火星赤道半径约为米，是地球的，用科学记数法可将表示为

A.  B.  C.  D.

4. 若点位于第一象限，则点在

A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限

5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，直线，将一块含角的直角三角尺按图中方式放置，其中点和点两点分别落在直线和上．若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他做了如下操作：在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；
   量得测角仪的高度；
   量得测角仪到旗杆的水平距离．
   利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，菱形的对角线，交于点，，，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，点与点之间的距离为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，中，，，绕点逆时针旋转得到，与，分别交于点，设，的面积为，则与的函数图象大致

A.  B.
C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

11. 使在实数范围内有意义的的取值范围是______．
12. 分解因式：______．
13. 若单项式与单项式是同类项，则______．
14. 如图，在正方形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为______．
    
     

15. 如图，点，，均在上，且，的度数是______
    
     

16. 若一次函数的图象过点，则______．
17. 如图，在三角形中，，，分别是、的中点，延长至点，使，连结、、若，则______．
    
     

18. 如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为______．
    
     

三．解答题（本题共10小题，共76分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
    求证：∽；
    若，，求的长．
    
    
     

23. 年月我国因“新冠病毒”的疫情，都不能如期开学，我市某校网上开设了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程，要求学生在家选择一项网上学习．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查每人必选且只能选一类，先将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
    
    本次随机调查了多少名学生？
    补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分．
    若该校共有名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数．
    学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母，，，表示
    
    
    
    
    
    
     
24. 为支援武汉抗击新冠肺炎，甲地捐赠多批救援物质并联系了一家快递公司进行运送，快递公司准备安排、两种车型把这批物资从甲地快速送到武汉．其中，从甲地到武汉，型货车辆、型货车辆，一共需补贴油费元；型货车辆、型货车辆，一共需补贴油费元．
    从甲地到武汉，、两种型号的货车，每辆车需补贴的油费分别是多少元？
    如果需派出辆车，并且预算油费补贴不超过元，那么该快递公司至多能派出几辆型货车？
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，已知点在反比例函数上，过点分别作轴，垂足为点，轴，垂足为点连接，将绕点顺时针旋转到，交反比例函数图象于点．
    若点，求；
    若，：：，求反比例函数解析式．

26. 如图，是的直径，点在上，且是的切线，过点作的平行线交于点，交于点，连接并延长与相交于点．
    求证：；
    若，，求的值．
    
     

27. 如图，在中，，，点在上，且过做，垂足为，交折线于点如图，当点以每秒个单位向终点移动时，点同时从出发，以每秒个单位的速度沿移动，设移动时间为秒如图．
    ______秒时，点与点重合；
    为何值时，？
    当点在上运动时，以为边在上方所作的正方形在内部，求此时的取值范围．

28. 如图，已知二次函数其中的图象与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，对称轴为直线设为对称轴上的点，连接、，
    的度数为______ ；
    求点坐标用含的代数式表示；
    在坐标轴上是否存在着点与原点不重合，使得以、、为顶点的三角形与相似，且线段的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查实数的大小比较，数轴表示数，掌握实数大小比较的方法是解决问题的关键．将，，，在数轴上表示，根据数轴表示数的大小规律可得答案．
【解答】
解：将，，，在数轴上表示如图所示：

于是有，
故选A．  

2.【答案】
 

【解析】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是；
将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是和，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故选：．
利用众数和中位数的定义求解即可．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

3.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】
 

【解析】解：在第一象限，
，，
，
点在第二象限．
故选：．
根据第一象限点的横坐标是正数，纵坐标是正数求出、的取值范围，再根据各象限内点的坐标特征判断即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】
解：移项得，，
合并同类项得，，
的系数化为得，．
在数轴上表示为：
．
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】解：直线，，
，即，
解得．
故选：．
根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
过作于，则四边形是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】

解：过作于，则四边形是矩形，

，，
，
，
，
，
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】解：，，
，
四边形是矩形，
连接，
点是的中点，
，
，
≌，
，
矩形是正方形，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，连接，根据全等三角形的性质得到，得到矩形是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，
四边形是菱形，，，
，，，
，
沿点到点的方向平移，得到，点与点重合，
，，，
，
，
故选：．
由菱形的性质得出，，，再由平移的性质得出，，，则，然后由勾股定理即可求解．
本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是动点图象问题，涉及到三角形全等、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
可证≌、≌，则，的高，即可求解．
【解答】
解：绕点逆时针旋转，设与交于点，
则，，，
≌，
，，
，又，
得到≌，
，
，
，，则的高为，等于边上的高，
，
的高，
故选B．  

11.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查了二次根式的意义和性质，二次根式中的被开方数必须是非负数．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：．
本题的多项式有三项，符合完全平方公式，可运用完全平方公式因式分解．
本题考查了运用公式法因式分解．关键是根据多项式的特点，合理地选择乘法公式．
 

13.【答案】
 

【解析】解：单项式与单项式是同类项，
，
，
故答案为：．
根据同类项的意义，列方程求解即可．
本题考查同类项的意义，理解同类项的意义是正确解答的前提．
 

14.【答案】
 

【解析】解：将每个小正方形的边长记为，
则图中阴影部分面积，正方形纸片的面积，
针头扎在阴影区域内的概率为．
故答案为：．
用阴影区域所占的面积除以总面积即可得出答案．
此题主要考查了几何概率，以及三角形与正方形的面积，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
由圆周角定理得，，
故答案为：．
根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，掌握同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：点在一次函数图象上，
，
，
．
故答案为：．
把点代入一次函数得，则，代入即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数解析式．
 

17.【答案】
 

【解析】解：连接，
在中，，是的中点，
，
，分别是、的中点，
，，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
故答案为：．
连接，根据直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理得到，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边相等解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：点在对角线上，
的解析式为：，
反比例函数的图象经过、两点，
，
反比例函数的解析式为：，
点在反比例函数图象上，
设点坐标为，
四边形为平行四边形，
，
点的纵坐标为，
将代入，
解得：，
点坐标为，
，
平行四边形的面积是，
，
解得：或舍去，
，，
点坐标为：，
故答案为：
利用点坐标求出反比例函数和正比例函数解析式，再设出点坐标，利用平行四边形的性质和正比例函数解析式表示出点的坐标，从而可得，再用与点的纵坐标表示出平行四边形的面积，求解即可．
本题考查反比例函数图象与性质，平行四边形的性质，一次函数图象等知识点，解题的关键是利用反比例函数和一次函数将点，点的坐标统一表示出来．
 

19.【答案】解：原式
．
 

【解析】先计算绝对值、开方、零指数幂的运算，再合并即可．
此题考查的是实数的运算、零指数幂，掌握其运算法则是解决此题关键．
 

20.【答案】解：方程的两边同乘，得
，
解得，
经检验，时，，
所以是原分式方程的解．
 

【解析】根据解分式方程的步骤解答即可．
本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：原式
，
当时，原式．
 

【解析】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握运算法则是解题关键．
直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
∽；
解：是的中点，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
∽，
，
．
 

【解析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
由矩形性质得，进而由平行线的性质得，由于，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
由是的中点，求得，再由勾股定理求得，最后根据相似三角形的性质求得．
 

23.【答案】解：本次随机调查的学生人数为人；
书画的人数为人，戏曲的人数为人，
补全图形如下：

估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为人；
列表得：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有种结果，
恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为．
 

【解析】由棋类的人数及其所占百分比可得总人数；
总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，从而补全图形；
利用样本估计总体思想求解可得；
列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识以及条形统计图和扇形统计图的有关知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】解：设从甲地到武汉，每辆型货车补贴油费元，每辆型货车补贴油费元，
依题意，得：，
解得：．
答：从甲地到武汉，每辆型货车补贴油费元，每辆型货车补贴油费元．
设该快递公司能派出辆型货车，种型号的货车辆，由题意得，
，
解得，
又为整数，
的最大值为．
答：设该快递公司能派出辆型货车．
 

【解析】设从甲地到武汉，每辆型货车补贴油费元，每辆型货车补贴油费元，根据“从甲地到武汉，型货车辆、型货车辆，一共需补贴油费元；型货车辆、型货车辆，一共需补贴油费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该快递公司能派出辆型货车，种型号的货车辆，由题意得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：由题意可知，
，
；
设的坐标为，
点在反比例函数上，过点分别作轴，垂足为点，轴，垂足为点，
，，
将绕点顺时针旋转到，
，，
，
，
，
，
：：，
，
，
，即，
反比例函数图象过、点，
，整理得，，
，即，
解得或，
当时，，
当时，不合题意，舍去，
，
，
反比例函数的解析式为．
 

【解析】由的坐标，根据题意即可求得，利用三角形面积公式即可求得；
设的坐标为，根据题意，根据：：，即可得到，即，利用反比例函数系数的几何意义得到，整理得，，从而得到，即，求得，进而求得为，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，性质的性质，三角形的面积，根据题意表示出点的坐标是解题的关键．
 

26.【答案】证明：是的切线，
．
，
．
．
．
解：连接交于点，如图，

，
．
，．
是的直径，
．
，，
．
．
．
设，则，
，，
．
解得：．
．
．
．
 

【解析】利用弦切角定理和平行线的性质得到，利用等腰三角形的判定定理即可得出结论；
连接交于点，利用已知条件，圆周角定理和勾股定理求得圆的直径，利用垂径定理的推论得到，；设，则，利用勾股定理列出方程，解方程求得的长，再利用勾股定理求得，最后依据直角三角形的边角关系在中求得结论．
本题主要考查了切线的性质，弦切角定理，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，连接过切点的半径是常添加的辅助线．
 

27.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，，，，
当，即时，
解得，
故时，点与点重合，
故答案为：；

当时，可得，，
∽，又，，
，即，
整理得：，
解得：，
则时，；


当点在点的左侧时，若点落在上，如图所示：

，，
，
四边形是正方形，
，
，，
∽，
，即，
解得：，
当点在点的右侧时，若点落在上，如图所示：

由题意得：，，
，，
∽，
，即，
整理得：，
解得：，
时点与点重合，
且时正方形在内部．
根据题意列方程即可得到结论．
当时，利用两直线平行得到两对同位角相等，由两对对应角相等的两三角形相似得到∽，由相似得比例，将各自的值代入列出关于的方程，求出方程的解得到的值；
有两种情况：当点在点的左侧时，若点落在上，则，由∽得，从而得出当点在点的右侧时，若点落在上，则由∽得，综上两种情况，可得出的取值范围．
本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理以及正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

28.【答案】
如图，作轴，垂足为，设与轴交于点，



由题意得，抛物线的对称轴为：，
设点坐标为：，
，
，
即，
，
解得：，
点的坐标为：；

存在点满足题意，
点的坐标为：，
，

，
，
，
，
是等腰直角三角形，
以、、为顶点的三角形与相似，
是等腰直角三角形，
由题意可得满足条件的点的坐标为：或，
当点坐标为：时，即在的副半轴上，
若与轴垂直，则，
解得：，，
若与轴不垂直，
则



，
当时，取得最小值，取得最小值，
，
当，即点的坐标为：时，的长度最小，
当点的坐标为：时，即在的正半轴上，
若与轴垂直，则，
解得：，，
若与轴不垂直，
则

，
，
当时，取得最小值，取得最小值，
，
当，即点的坐标为：时，的长度最小，
综上所述：当点坐标为：或时，的长度最小．
 

【解析】

解：令，则，点坐标为：，
令，则，
解得：，，
，点在点的左侧，
点坐标为：，
，
，
是等腰直角三角形，；
故答案为：；

【分析】
首先求出点坐标，进而得出，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；
作轴，垂足为，设与轴交于点，利用勾股定理，得出点坐标即可；
根据题意得出是等腰直角三角形，可得满足条件的点的坐标为：或，进而分别分析求出符合题意的答案．
此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值求法等知识，利用分类讨论得出点坐标是解题关键．