北师大版 (2019)2.2 函数的表示法第1课时同步训练题

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函数的表示法新课程标准解读核心素养1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用数学抽象、直观想象2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用数学抽象、数学运算 第1课时　函数的表示法(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫作该函数的解析式．(2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01[问题]　根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么方法表示函数的？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　函数的表示方法函数三种表示法的优缺点比较　　　　 　所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如狄利克雷函数：D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于(　　)x1≤x<222<x≤4f(x)123A.1　　　　　　　　　 B．2C．3  D．不存在解析：选C　∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________．解析：由题图可知f(x)的定义域为[－2，3]．答案：[－2，3]3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是________．解析：法一：令2x＋1＝t，则x＝.所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.法二：因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，所以f(x)＝3x＋2.答案：f(x)＝3x＋2 函数的表示法[例1]　(链接教科书第56页练习3题)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[解]　①列表法：x/台12345y/元3 0006 0009 00012 00015 000 x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000②图象法：③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念；(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数；(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．　　　　 [跟踪训练]将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用三种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N＋)的函数关系．解：这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N＋}．①解析法：S＝＋.将上式整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x<10，x∈N＋}．②列表法： 一段铁丝长x(cm)123456789两个正方形的面积之和S(cm2)③图象法：函数的图象的作法及应用[例2]　(链接教科书第54页例3)作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：(1)x－4－224y1－323(2)y＝－，x∈[－3，0)∪(0，1]；(3)y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]．[解]　(1)该函数的图象如图①所示，由图可知值域为{－3，1，2，3}．(2)作出函数y＝－，x∈[－3，0)∪(0，1]的图象，如图②所示，由图象可知值域为(－∞，－4]∪.(3)作出函数y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]的图象，如图③所示，由图象可知值域为[－3，1]．画函数图象的两种常见方法(1)描点法一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．　　　　 [跟踪训练]画出函数y＝x－[x]的图象，其中[x]表示实数x的整数部分．解：依题意知y＝x－[x]的定义域为R，值域[0，1)，它的图象如图所示． 函数解析式的求法角度一　用待定系数法求函数解析式[例3]　已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．[解]　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，∴∴∴f(x)＝x2－2x－1.待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．　　　　 角度二　利用换元法(配凑法)求函数解析式[例4]　求下列函数的解析式：(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)．[解]　(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.因为＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.换元法、配凑法求函数解析式已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，有两种方法：(1)换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式．利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f(x)的定义域．(2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x)，用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．　　　　 角度三　用方程组法求函数解析式[例5]　已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)的解析式．[解]　在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代换x，可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，则消去f(－x)，可得f(x)＝x－1.用方程组法求函数的解析式方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(－x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(－x)，f(x)的方程，联立解出f(x)．　　　　 [跟踪训练]1．(2021·三明一中高一月考)已知一次函数f(x)满足f(－1)＝0，f(0)＝－2，则f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝2x＋2　　　　　 B．f(x)＝－2x－2C．f(x)＝2x－2  D．f(x)＝－2x＋2解析：选B　设一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，依题意得解得k＝b＝－2，所以f(x)＝－2x－2.故选B.2．已知f＝＋，求f(x)的解析式．解：令t＝＝＋1，则x＝(t≠1)，把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1，∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．函数图象的变换(探究型)1．函数图象的平移变换函数y＝f(x)的图象与y＝f(x＋a)及y＝f(x)＋a(a≠0)的图象有怎样的关系呢？我们先来看一个例子：作出函数y＝x2，y＝(x＋1)2，y＝x2－1的图象，观察它们之间有怎样的关系．在同一平面直角坐标系中，它们的图象如图所示．观察图象可知，y＝(x＋1)2的图象可由y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到；y＝x2－1的图象可由y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到．由此得到如下规律：(1)函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“左加右减”；(2)函数y＝f(x)＋a的图象是由函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“上加下减”．2．函数图象的对称变换函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)，y＝－f(x)及y＝－f(－x)的图象又有怎样的关系呢？我们来看一个例子：作出函数y＝，y＝，y＝，y＝－的图象，观察它们之间有怎样的关系．在同一平面直角坐标系中作出①y＝，②y＝，③y＝与④y＝的图象的一部分，如图所示．观察图象可知，y＝的图象可由y＝的图象作关于y轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于x轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于原点的对称变换得到．由此可得如下规律：函数图象的对称变换包括以下内容：(1)y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于y轴的对称变换得到；(2)y＝－f(x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于x轴的对称变换得到；(3)y＝－f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于原点的对称变换得到．3．函数图象的翻折变换函数图象的翻折变换是指函数y＝f(x)与y＝|f(x)|，y＝f(|x|)的图象间的关系．函数y＝f(x)的图象与y＝|f(x)|及y＝f(|x|)的图象又有怎样的关系呢？我们再来看一个例子：作出函数y＝|x2－2x－3|及y＝x2－2|x|－3的图象，观察它们与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系．事实上，y＝|x2－2x－3|＝y＝x2－2|x|－3＝在不同的平面直角坐标系中，分别作出y＝|x2－2x－3|与y＝x2－2|x|－3的图象，如图(1)(2)所示．通过观察两个图象可知，y＝|x2－2x－3|的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到y＝|x2－2x－3|的图象．y＝x2－2|x|－3的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在y轴上及其右侧的部分不变，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象，则这两部分就构成了y＝x2－2|x|－3的图象．由此可得如下规律：(1)要作y＝|f(x)|的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将x轴上及其上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可；(2)要作y＝f(|x|)的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将y轴上及其右侧的图象不动，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可．[迁移应用]1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(1－x)的图象为(　　)解析：选A　将变换分为两个过程：f(x)的图象f(－x)的图象f(－(x－1))的图象．即将函数y＝f(x)的图象先作关于y轴的对称变换得到函数y＝f(－x)的图象，再将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到y＝f(1－x)的图象．2．作出函数f(x)＝|x2－4x－5|在区间[－2，6]上的图象．解：先作出二次函数y＝x2－4x－5的图象，再把图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，保留x轴上及其上方的部分，并保留在区间[－2，6]上的部分，如图所示．1．(多选)(2021·佛山一中高一月考)下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是(　　)解析：选AD　在A、D中，对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应，满足函数关系；在B、C中，存在一个x有两个y与x对应，不满足函数对应的唯一性．2．已知f＝x，则f(x)＝(　　)A.　　　　　　　　 B.C.  D.解析：选B　令＝t，则x＝，故f(t)＝，即f(x)＝.3．若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝(　　)A．x＋1  B．x－1C．2x＋1  D．3x＋3解析：选A　因为3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，所以3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，解得f(x)＝x＋1.4．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为________．解析：将点(5，4)代入f(x)＝x－，得m＝5.答案：55．已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，所以解得所以f(x)＝x2＋1.