专练08-30题（证明题）2022中考数学考点必杀500题（江苏专用）

这是一份专练08-30题（证明题）2022中考数学考点必杀500题（江苏专用），文件包含专练08-30题证明题2022中考数学考点必杀500题江苏专用解析版docx、专练08-30题证明题2022中考数学考点必杀500题江苏专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。

2022中考考点必杀500题
专练08（证明题）（30道）


1．（2021·江苏南京·二模）如图，已知．
求作：的内接等边．
小丽同学的作法及证明过程如下：
作法：①作直径；
②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点；
③连接，．
所以即为的内接等边三角形．
∵在中，垂直平分
∴，
∵
∴（①）
∵
∴为等边三角形
∴
∴（②）
∴为的内接等边三角形．

（1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； ．
（2）请你再给出一种作图方法．（尺规作图，保留作图痕迹）

【答案】（1）垂直平分线的性质；同弧所对圆周角相等；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据前面的证明条件以及结论可以求得所用的推理依据；
（2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以此点为圆心，继续画圆弧，以此类推，将圆周六等分，连接不相邻的两个交点即可．
【详解】
解：（1），，∴为的垂直平分线，因此，理论依据为：垂直平分线的性质；
和都是弦所对的圆周角，因此，理论依据为：同弧所对的圆周角相等；
（2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以点为圆心，保持半径不变，继续画圆弧，交圆于点，以此类推，依次得到点，则即为所求，如下图：

【点睛】
此题考查了圆的有关性质，涉及了同弧所对的圆周角相等，熟练掌握并应用圆的有关性质是解题的关键．
2．（2021·江苏·泰州中学附属初中二模）如图矩形ABCD．
（1）仅用圆规在AD上找一点E，使CE平分∠BED．（写出作法，并证明）
（2）在（1）的条件下，当AB=3，DE=1时，求△BCE的面积．       

【答案】（1）见解析；（2）△BEC的面积为7.5．
【解析】
【分析】
（1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；
（2）由（1）可得BC=BE，设BC=x，则AE=x-1，根据勾股定理即可求出x，进而求出△BEC的面积．
【详解】
解：（1）如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E；

（2）由（1）可知BC=BE，设BC=x，则AE=AD-DE=x-1，
在△ABE中，∠A=90°，
∴AB2+AE2=BE2，
故32+(x-1)2=x2，
解得x=5，
∴△BEC的面积为×5×3=7.5．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
3．（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点F是AC上一点，连接BF、DF．

（1）证明：△ABF≌△ADF；
（2）若AB//CD，试证明四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）首先得出△ABC≌△ADC（SSS），进而利用全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF（SAS）；
（2）利用平行线的性质得出∠BAC=∠DCA，进而得出AB=DC，再利用平行四边形的判定方法得出答案．
【详解】
（1）证明：在△ABC和△ADC中，
∵，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中，
∵，
∴△ABF≌△ADF（SAS）；

（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵△ABF≌△ADF,
∴∠BAF=∠DAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∵AB=AD，
∴AB=DC，又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出△ABC≌△ADC是解题关键．
4．（2021·江苏盐城·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线．
（1）用直尺和圆规作DE⊥AB于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）并证明△BDE∽△CAD．
（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．

【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）以点D为圆心，BD长为半径画弧，交AB于点G，然后以点B、E为圆心，大于BE长的一半画弧，交于一点F，连接DF，交AB于点E，则DE即为所求，由题意可得∠ADC=∠DEB=90°，∠B=∠C，则问题可求证；
（2）由（1）及题意可得，则由勾股定理可得，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】
解：（1）由题意可得如图所示：

则DE即为所求，
∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴，即∠ADC=90°，∠B=∠C，
∵，
∴∠ADC=∠DEB=90°，
∴△BDE∽△CAD；
（2）由（1）可得：∠ADC=90°，△BDE∽△CAD；
∵BC＝10，AD为BC边上的中线，
∴，
∵AB＝AC=13，
∴在中，，
∵△BDE∽△CAD，
∴，即，
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键．
5．（2021·江苏苏州·一模）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，则AE、BD有什么关系？请证明你的结论．

【答案】AE=BD，AE⊥BD，证明见解析．
【解析】
【分析】
首先根据SAS证明△DCB≌△ECA，然后可得BD=AE，然后根据等量代换可得∠A+∠AND=90°，从而证明AE⊥BD．
【详解】
解：AE=BD，AE⊥BD，证明如下：
如图，设AC与BD交于点N，

∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∵∠ACB=∠DCE=90°，∠ACD=∠ACD，
∴∠DCB=∠ECA，
在△DCB和△ECA中，，
∴△DCB≌△ECA（SAS），
∴∠A=∠B，BD=AE，
∵∠AND=∠BNC，∠B+∠BNC=90°，
∴∠A+∠AND=90°，
∴AE⊥BD．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
6．（2021·江苏南京·二模）如图，在中，点、分别在边、上，，与相交于点．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
首先根据平行四边形的性质，证明，再由全等三角形的性质判定出四边形DEBF为平行四边形，根据平行四边形的性质：对角线互相平分，即可证得．
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴,，.
在和中，
∵ ,
∴,
∴,,
∴，即,
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理是解决本题的关键．
7．（2021·江苏无锡·一模）已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，DE＝BF．

求证：（1）AD＝BC；
（2）AE∥CF
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用全等三角形的判定方法得出（AAS），根据全等三角形的性质即可得证；
（2）由（1）求得的结论进而证明（SAS），根据全等三角形的性质和再平行线的判定方法即可得证．
【详解】
（1）证明：，
，
在和中，
，
∴（AAS），
∴；
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，正确得出和是解题的关键．
8．（2021·江苏·苏州市相城区春申中学一模）如图，已知Rt△ABD中，∠A＝90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E．
(1)求证：△ABD≌△ECB；
(2)若∠ABD＝30°，BE=3，求弧CD的长．

【答案】（1）证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意得两个三角形是直角三角形，根据旋转的性质得出BC=BD，由AD∥BC推出∠ADB=∠EBC，即可证明△ABD≌△ECB；
（2）由全等三角形的性质得出AD=BE=3．根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=2AD=6，根据平行线的性质求出∠DBC=60°，再代入弧长计算公式求解即可．
【详解】
（1）证明：∵∠A=90°,CE⊥BD   ∴∠A=∠BEC=90°
∵BC∥AD
∴∠ADB=∠EBC
∵旋转，
∴BD=BC’
∴ △ABD≌△ECB
(2) ∵ △ABD≌△ECB
∴AD=BE=3
∵∠A=90°，∠ABD=30°
∴BD=2AD=6
∵BC ∥ AD
∴∠A+∠ABC=180°
∴∠ABC=90, ∠DBC=60°
.
故答案为（1）证明见解析；(2) .
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，弧长的计算，证明出△ABD≌△ECB是解题的关键．
9．（2021·江苏无锡·一模）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF＝AB，求证：BE＝FD．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
由正方形四个角都是直角，四个边都相等，得AB=AD，由E是AD的中点，得：AF=AB，AE=AF，即可证明Rt△ADF≌Rt△ABE，可得BE=DF．
【详解】
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=AD，
∵AF=AB，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠DAB=∠DAF=90°，
∴AF=AE，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（SAS），
∴BE=DF．
【点睛】
本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质．解本题的关键要熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质的基本知识点．
10．（2021·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质得到EF⊥AC，AO=CO，结合矩形的性质，利用由AAS可证△AOE≌△COF，即可得AE=CF，从而可得BF=DE．
【详解】
解：证明：∵EF垂直平分AC，
∴EF⊥AC，AO=CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，
∴BF=DE．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
11．（2021·江苏·南师附中新城初中二模）如图,在正方形中,､､､分别是各边上的点,且．

求证:（1）;
（2）四边形是正方形．
【答案】（1）见解析;（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）在正方形中,由可得:,即可求证;
（2）由（1）可用同样的方法证得,,可得到,然后证明,即可求证．
【详解】
（1）证明:∵四边形为正方形,
∴,．
又∵,
∴．
∴
（2）由（1）得,,
同理,,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴四边形为正方形．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质和判定,三角全等的判断和性质,熟练掌握并会灵活应用相应知识点是解题的关键．
12．（2021·江苏盐城·二模）如图1，点D在线段AB上，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，DE＝DA，DE∥AC．
（1）求证：BC∥AE；
（2）若D为AB中点，请用无刻度的直尺 在图2中作∠BAC的平分线AF．（保留画图痕迹，不写画法）

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由DE∥AC可得∠CAB=∠ADE，又AB=AC，DE=DA，根据三角形内角和公式可得∠ABC=∠DAE，从而证明BC∥AE；
（2）延长ED交BC于点F，则易得CF=AE=BF，则根据等腰三角形的性质可得AF平分∠BAC．
【详解】
解：（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠CAB=∠ADE，
又AB=AC，DE=DA，
∴∠ABC=∠ACB=(180°−∠CAB)，
同理可得：∠DAE=∠DEA=(180°−∠ADE)，
∴∠ABC=∠DAE，
∴BC∥AE．
（2）如图3所示，AF为所作．

【点睛】
本题考查了作图-基本作图，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是熟悉几何图形基本性质．
13．（2021·江苏·二模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC平分∠DAB，DE⊥AC，垂足为E，且AE＝AB．
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠DAC＝40°，求∠CDE的度数．

【答案】（1）见解析；（2）20°
【解析】
【分析】
（1）根据ASA证明△ABC≌△AED，由全等三角形的性质即可求证；
（2）根据△ABC≌△AED可得AC=AD，根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】
证明：∵DE⊥AC，∠B=90°，
∴∠B=∠AED=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC=DE；
（2）∵△ABC≌△AED，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠DAC=40°，DE⊥AC，
∴∠ACD=∠ADC=70°，∠ADE=50°，
∴∠CDE=20°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．
14．（2021·江苏镇江·二模）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）通过证明△ADB≌△EBC得到，利用线段和差即可得证；
（2）根据等边对等角得到，再利用平行线的性质得到，根据角的和差即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
在△ADB和△EBC中，
，
∴△ADB≌△EBC，
∴，
∴，
∴；
（2）∵△ADB≌△EBC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．（2021·江苏南京·二模）如图，在和中，，，．求证．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据等边对等角和平行线的性质证得，，进而有，再根据全等三角形的判定AAS证得，然后利用全等三角形的性质即可证得结论．
【详解】
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，，
在和中，
，，
∴（AAS），
∴．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等角的补角相等，熟练掌握等边对等角性质和全等三角形的判定与性质是解答的关键．
16．（2021·江苏常州·一模）如图，中，，点、是边上不重合的两点，．

（1）求证：；
（2）若，，求的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证，可得；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形外角即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
在△ABD和△ACE中
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角等知识点，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
17．（2021·江苏镇江·一模）D是的边上的一点，E是边的中点，过点C作的平行线，交的延长线于点F，连接、．

（1）求证：；
（2）已知，当______时，四边形是菱形．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件证明即可；
（2）根据菱形的性质得到对角线互相垂直，在根据勾股定理计算即可；
【详解】
（1）∵E是边的中点，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，，且，，
∴，，
当四边形是菱形时，，
∴；
故答案是5．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，准确计算是解题的关键．
18．（2021·江苏南京·二模）如图，的弦相交于点P，且．求证．

【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】
要证PB=PD，可连接BD，需证∠Ｄ=∠B，根据已知条件，只需证即可．
【详解】
证明：连接BD．








即




【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系的定理及推论、圆周角定理及推论、等腰三角形的判定等知识点，熟知上述定理及推论是解题的基础，而善于发现问题、掌握分析问题的方法是解题的关键．
19．（2021·江苏常州·二模）如图，，，和 相交于点O．

（1）求证：；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由“”可证，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质可得，由（1）可知，可求 ，可得，即可得结论．
【详解】
证明：（1）在和中，

∵
∴．
∴．
（2）是等腰三角形．
理由：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
20．（2021·江苏泰州·一模）如图，已知ABC．
（1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使AD+BD=AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若DC=3，AD=5，AB=4．求证：AB⊥BD．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）比较两个结论AD+BD=AC和AD+DC=AC，点D只需满足条件DB=DC即可，为此只需作出线段 BC的垂直平分线l，交AC于点D；（2）利用勾股定理的逆定理即可解决．
【详解】
解：（1）如图所示．


则点D就是所求作的符合条件的点．
（２）证明：∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴DB=DC=3．
在中，
∵,,
∴．
∴∠ABD=90°．
∴AB⊥BD．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的作法及性质、勾股定理的逆定理等知识点，熟知基本的尺规作图的步骤和勾股定理的逆定理是解题的关键．
21．（2021·江苏无锡·二模）已知，如图，平行四边形ABCD中，延长AB到点F使得BF＝AB，连接DF交BC于点E，求证：E是BC边的中点．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和已知条件证明△DCE≌△FBE即可．
【详解】
解：∵▱ABCD中，CD平行且等于AB，
∴∠C＝∠CBF，∠CDF＝∠F，
∵BF＝AB，
∴CD＝BF
∴△DCE≌△FBE   
∴CE＝BE   
∴E是BC边的中点．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，对于此类题目关键是熟练掌握并运用平行四边形的性质．
22．（2021·江苏泰州·一模）如图，已知中，，，点为边上一动点，四边形是正方形，连接，正方形对角线交于点．

（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）或
【解析】
【分析】
（1）根据同角的余角相等，证明，然后根据正方形的性质，得出边相等，由三角形全等的判定条件SAS即可证明
（2）由（1）中全等的性质以及勾股定理求出DG的长，根据正方形的性质：对角线相等即可求解
（3）根据SAS证明，然后根据全等的性质，在直角△GFC根据勾股定理即可求解
【详解】
（1）证明：四边形是正方形
，




在和中


故答案为
（2），，
在中



由（1）知，
，

连接

在中

四边形是正方形


故答案为
（3）如图所示，连接FG


四边形是正方形
，



由（1）知，
，，



在和中





设，则
由（2）知
在中


，
的值为或．
故答案为或
【点睛】
本题主要考察三角形全等的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键
23．（2021·江苏·二模）如图，，，，垂足为E，，垂足为F．

求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据“边边边”直接可证；
（2）由可得，根据“角角边”可证得，即可得证．
【详解】
解：（1）在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（2021·江苏·一模）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质证明△BAC≌△DAE，即可得到结果；
【详解】
证明：∵AC是∠BAE的平分线，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠C＝∠E，AB＝AD．
∴△BAC≌△DAE（AAS），
∴BC＝DE．
【点睛】
本题主要考查了三角形的全等判定及性质，准确利用角平分线的进行计算是解题的关键．
25．（2021·江苏·镇江市外国语学校一模）如图，，，．，与交于点．

（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析（2）90°
【解析】
【分析】
（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解；
（2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到的度数．
【详解】
（1）∵，，
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
又．
∴△ACE≌△BCD
∴
（2）∵△ACE≌△BCD
∴∠A=∠B
设AE与BC交于O点,
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°
故=180°-∠BFO=90°．

【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
26．（2021·江苏苏州·一模）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件证明△ACE≌△BDF，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果.
【详解】
解：（1）∵AE∥BF，
∴∠A=∠DBF，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
又∵AE=BF，
∴△ACE≌△BDF（SAS），
∴∠E=∠F；
（2）∵△ACE≌△BDF，
∴∠D=∠ACE=80°，
∵∠A=40°，
∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全等的条件.
27．（2021·江苏淮安·二模）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上的一点，且DF＝BE.
求证：AF=CE.

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
由SAS证明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
28．（2021·江苏·景山中学一模）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
（1）求证：；
(2)若，，求的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）78°
【解析】
【分析】
（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；
（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC
【详解】
解：（1）证明：，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明．
29．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．且AC垂直平分BD．
（1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：性质1：　 　；性质2：　 　．
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形．

【答案】（1）对角线互相垂直，是轴对称图形；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由筝形的定义即可得出结论；
（2）由垂直平分线的性质得出AB=AD，BO=DO，同理：BC=DC，由AS证明△AOB≌△CDO，得出AB=CD，因此AB=CD=BC=AD，即可得出四边形ABCD为菱形．
【详解】
解：（1）由筝形的定义得：对角线互相垂直，即AC⊥BD；是轴对称图形，对称轴为AC；
故答案为对角线互相垂直，是轴对称图形；
（2）∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BO＝DO，
同理：BC＝DC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠ODC，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△AOB≌△CDO（ASA），
∴AB＝CD，
∴AB＝CD＝BC＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定、筝形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握筝形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
30．（2021·江苏徐州·二模）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC

（1）求证：△ABE≌DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数．
【答案】见解析（2）∠EBC=25°
【解析】
【分析】
（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等．
（2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可
【详解】
解（1）证明：∵在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
（2）∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°