2022年河南省周口市川汇区中考数学一模试卷（含解析）

2022年河南省周口市川汇区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 年河南省国民经济和社会发展统计公报显示，全省全年地区生产总值约为万亿元，数据“万亿”用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，将六个小正方体按图示摆放，若移去一个有标号的小正方体，其主视图和俯视图都发生改变，这个小正方体的标号是

A.
B.
C.
D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，一副直角三角板如图所示摆放，，，顶点在边上，且，则的度数是

A.  B.  C.  D.

6. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是

A. 对边相等 B. 对角相等
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分

7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是

A.  B.  C.  D.

8. 北京举办冬奥会期间，小华同学计划从喜欢的“滑雪、滑冰、冰球”三个项目中选择两项收看，于是用纸条分别写了这三个项目，然后揉成纸团，从中随机抽取两个，则这两个纸团恰好是“滑雪”和“冰球”的概率是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，正方形的顶点在原点，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点落在点处，于点，则点的坐标为

A.
B.
C.
D.
 

10. 如图，在▱中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图是点运动时随变化的关系图象，则的长为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 使代数式有意义的自变量的取值范围是______．
12. 某生活区有户居民，小华随机选取部分居民进行节约用水情况调查，把用户数与当月节水量吨的关系制成折线统计图如图所示．估计该生活区当月节约用水量为______吨．
     

13. 如图，已知是函数图象上的动点，轴于点，连接小华用几何画板软件对，的数量关系进行了探讨，发现是个定值，则这个定值为______．
     

14. 如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，与交于点，若，，则阴影部分的面积为______．
     

15. 如图，在中，，，，为边的中点，点是边上的动点，把沿翻折，点落在处，若是直角三角形，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 计算：；
    化简：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 某校举行了以“一起向未来”为主题的北京冬奥运动会知识竞赛活动百分制，七年级小华和八年级小明分别对各自年级竞赛成绩进行了抽样调查．
    选择样本，收集数据：从两个年级各自随机抽取名学生，成绩如下：
    七年级，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    八年级，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    分组整理，描述数据：八年级抽样成绩的分组与七年级相同，以下是七年级抽样统计表和八年级抽样直方图．
    七年级抽样统计表

八年级抽样直方图

分析数据，推断结论：两个年级抽样分数的平均分、方差、众数、中位数和优秀率成绩分及以上为优秀如表．

根据以上信息回答问题：
请将统计表和直方图补充完整，并求出数据分析表中的值；
小华和小明都认为八年级的整体成绩较好，请你从至少两个方面说明其合理性．






 

18. 如图，正方形的边在轴上，点的坐标为，点是的中点，反比例函数的图象经过点，交于点．
    求反比例函数的表达式；
    若点是轴上的一个动点，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，一台吊机的基座为起吊一物体时，吊臂的仰角为，在竖直方向上，将吊臂末端提升到点，使，此时吊臂的仰角为设竖直线交地平线于点，交点的水平线于点，．
    请用含有，，的式子表示；
    若，，，求及吊臂需要再延伸的长度．
    精确到米．参考数据：，，
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，我市中原路沙颍河大桥采用下承式圆弧拱形结构，夜晚在霓虹灯下，展现出“一轮明月照古城”的美丽景象．设圆弧的端点为，，圆弧的圆心为，桥面看作是直线，半径于点从点测得点和圆弧上一点的张角，在直线的点处测得点的仰角为连接，．
    求证：是的切线；
    若，，求的值和的长．

21. 在、两地间的一条的公路上，甲车从地匀速开往地，乙车从地匀速开往地，两车同时出发，分别到达目的地后停止．设甲车距地的路程为，乙车距地的路程为，两车行驶的时间为，，关于的函数图象如图所示．
    填空：______；______；
    设甲、乙两车之间的路程为，求关于的函数解析式；
    两车之间的路程不大于的时间有多长？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，抛物线与直线相交于点和点．
    求和的值；
    求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
    点在直线上的一个动点，将点向下平移个单位长度得到点，若线段与抛物线有公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     

下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
题目背景：在中，，，点在上．
作图探讨：在外侧，以为边作≌；

小明：如图，分别以，为圆心，以，为半径画弧交于点，连接，则即为所求作的三角形．
小军：如图，分别过，作，的垂线，两条垂线相交于点，则即为所求作的三角形．
选择填空：小明得出≌的依据是______，小军得出≌的依据是______；填序号




测量发现：如图，在中≌的条件下，连接兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至点，使，连接请你完成证明过程．
迁移应用：如图，已知，，点在上，，，若在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：由相反数的意义得，的相反数是，
故选：．
根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变前面的符号，即可得的相反数，再与每个选项比较得出答案．
本题考查了相反数的意义．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

2.【答案】
 

【解析】解：万亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：若移去或，俯视图不变；
若移去，主视图不变；
若移去，其主视图和俯视图都发生改变．
故选：．
根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图对两个组合体进行判断，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
 

4.【答案】
 

【解析】解：．，所以选项符合题意；
B.原式，所以选项不符合题意；
C.与不能合并，所以选项不符合题意；
D.，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据同底数幂的乘法法则对进行判断；根据合并同类项对进行判断；根据二次根式的加减法对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：延长，交于点，如图，

，，
，
，，
，
．
故选：．
延长，交于点，由平行线的性质可得，由三角形的外角性质可求得，再由三角形的内角和即可求的度数．
本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
 

6.【答案】
 

【解析】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：．
矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
 

7.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式，最后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】
 

【解析】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中两个纸团恰好是“滑雪”和“冰球”的有种结果，
所以两个纸团恰好是“滑雪”和“冰球”的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】
 

【解析】解：延长、交于，过作轴于，如图：

点的坐标为，
，
在中，，
，，，
，
在中，
，，
，
在中，，
，，
，
故选：．
延长、交于，过作轴于，在中，，可得，即得，在中，可得，即得，在中，得，，可得答案．
本题考查正方形中的旋转变换，解题的关键是能熟练应用含角的直角三角形三边的关系．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图：

根据图知：当点与点重合时，，
当时，，
，
，
当点到达点时，，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解．
本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点运动规律，结合函数图象解题是解题关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数，列出不等式，解不等式即可．
本题考查了二次根式的有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：
吨，
答：估计该生活区当月节约用水量为吨；
故答案为：．
先求出平均每户节水量，再乘以总户数即可得出答案．
本题考查的是折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况．
 

13.【答案】
 

【解析】解：设点坐标为，
则，
，
，
故答案为：．
设点坐标为，分别求出，的长，进而求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，过点作，

设，
在中，，则，，
根据平移的性质得：，
在中，，
，
，
，


．
故答案为：．
连接，过点作，设，则，，在中根据勾股定理可列方程，即可求出，进而得到长，利用计算即可．
本题主要考查扇形面积的计算，解题关键是将不规则图形转化成规则图形．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：如图，当时，作垂足为，作于．
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
在中，，，
，，
在中，，，
，
设，在中，，，，
，
，
．
如图，当时，，
、、共线，
在中，，，
，
，，
∽，
，
，，，
≌，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
故答案为或．
在图中构造正方形，在中即可解决问题，在图中也要证明四边形是正方形解决问题．
本题考查图形翻折、正方形、勾股定理、全等三角形等知识，构造正方形是解决这个题目的关键．
 

16.【答案】解：

；


．
 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：组人数为：人，
补全直方图如下：

八年级成绩中出现次数最多，故，
故答案为：；
由于八年级的众数、中位数、优秀率都比七年级的成绩好．
 

【解析】用总人数减去其它三组人数，即可得出组人数，即可补全频数分布直方图；
利用中位数、众数、优秀率的意义进行计算即可．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数、平均数的意义和计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．
 

18.【答案】解：点是的中点，，
．
反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的解析式为；
四边形的是正方形，
．
反比例函数的图象经过点，
．
设点关于轴的对称点为，则．
．
 

【解析】先确定点的坐标，再把点点的坐标代入中求出得到反比例函数解析式；
设点关于轴的对称点为，则，连接，交轴于点，此时的值最小．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，求得点、的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：在和中，，
，．
，
．
；
，，，
．
，，
．
吊臂需要再延伸约米．
 

【解析】利用锐角三角函数可得，进而根据，可以解决问题；
利用锐角三角函数可得进而可以解决问题．
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．
 

20.【答案】解：连接，
则．
，
．
，
．
连接交于点，
，
．
是的切线；

在和中，
，，
．
在中，
，
，
．
 

【解析】连接，根据已知条件得出，再根据，得出，连接交于点，再根据，得出，从而得出答案；
在和中，根据勾股定理得出，，再把两式相减得出，从而得出，再把相应的数据代入，求出的值；在中，根据，得出的长，然后开方即可得出的长．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．
 

21.【答案】 
 

【解析】解：由图设，
则，
解得：，
；
设，
则，
解得：，
，
故答案为：，；
由得则
当时，；
当时，；
当时，．
关于的函数解析式为；
由知：
当时，令，解得；
当时，；
当时，令，解得．
两车之间的路程不大于 的时间是小时．
根据图象用待定系数法求函数解析式即可；
先求出两车相遇的时间，再分类讨论写出关于的函数解析式；
根据分类求出两车之间路程不大于的时间即可．
本题考查一次函数的应用，关键是根据图象写出函数解析式．
 

22.【答案】解：抛物线经过点，
．
；
直线经过点，
，
；
由知抛物线解析式为，直线解析式为，
联立方程组，
解得：或，
点的坐标为．
结合图象可知，不等式的解集为；
由题意设点的坐标为，则点，
线段与抛物线只有一个公共点，
，
解得：或，
点的横坐标的取值范围为或．
 

【解析】用待定系数法即可求解；
联立方程组，求出点的坐标为，再观察函数图象即可求解；
根据题意确定出且，根据二次函数与不等式的关系求出的取值范围即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中，求不等式组的解集是解题的关键．
 

23.【答案】 
 

【解析】解：由小明的作法可知，，，
在和中，
，
≌，即小明得出≌的依据是，
由小军的作法可知，，，
≌，即小军得出≌的依据是，
故答案为：；；
延长线段至点，使，连接，
则是的中线，
，
，
，
≌，
，．
，即．
在和中，
，
≌．
．
；
过点作交于，于，连接并延长交于，
由可知：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
，
此时，，
综上所述，的长为或．
根据、定理判断即可；
延长线段至点，使，连接，证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
过点作交于，于，连接并延长交于，根据等腰直角三角形的性质求出、，求出，进而求出，得出的长，同理求出．
本题考查的是三角形的面积计算、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．