高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 分层随机抽样课堂检测

分层随机抽样的均值与方差　百分位数

[A级　基础巩固]

1．某房地产公司为了解小区业主对户型结构——平层与复式结构的满意度，采取分层随机抽样方式对中央公园小区的业主进行问卷调查.20位已购买平层户型的业主满意度平均分为8,30位已购买复式户型的业主满意度平均分为9.若用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分，则其值为(　　)

A．8.4　　　　　　　　　 B．8.5

C．8.6  D．8.7

解析：选C　估计小区业主对户型结构满意度的平均分为＝×8＋×9＝8.6，故选C.

2．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5，x,6.6的65%分位数是4.5，则实数x的取值范围是(　　)

A．[4.5，＋∞)  B．[4.5,6.6)

C．(4.5，＋∞)  D．[4.5,6.6]

解析：选A　因为8×65%＝5.2，所以这组数据的65%分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A.

3．如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的80%分位数是(　　)

A．－2  B．0

C．1  D．2

解析：选D　由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：－3，－2，－1，－1,0,0,1,2,2,2，

因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的80%分位数是＝2.

4．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：

78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，

则这15人成绩的80%分位数是(　　)

A．90  B．90.5

C．91  D．91.5

解析：选B　把成绩按从小到大的顺序排列为：56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的80%分位数是＝90.5.

5．(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B．甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数

C．甲的成绩的80%分位数等于乙的成绩的80%分位数

D．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差

解析：选BC　由题图可得，甲＝＝6，乙＝＝6，A项错误；

甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，B项正确；

甲的成绩的80%分位数＝7.5，乙的成绩的80%分位数＝7.5，所以二者相等，所以C项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项不正确．

6．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．

解析：由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是＝85(分)．

答案：85

7．在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用分层抽样的方法，抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，则高一年级全体学生身高的方差为________．

解析：把样本中男生的身高记为x1，x2，…，x23，其平均数记为，方差记为s；把样本中女生的身高记为y1，y2，…，y27，其平均数记为，方差记为s，把样本的平均数记为，方差记为s2.

则＝＝165.2，

s2＝

＝

＝51.486 2，

即样本的方差为51.486 2.

因此估计高一年级全体学生身高的方差为51.486 2.

答案：51.486 2

8．为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，方差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________．

解析：设男，女员工的权重分别为w男，w女，

由题意可知s2＝w男[s＋(男－)2]＋w女[s＋(女－)2]，即w男[502＋(70－60)2]＋(1－w男)[602＋(50－60)2]＝602，解得w男＝，w女＝，

因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200.

答案：200

9．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：

分别求甲、乙两厂样本轮胎宽度的10%分位数与90%分位数．

解：甲厂轮胎宽度的数据从小到大排列，得193,193,194,194，195,195,196,196,197,197.又10×10%＝1,10×90%＝9，

所以10%分位数为第1项与第2项数据的平均数，即193 mm；90%分位数为第9项与第10项数据的平均数，即197 mm.

乙厂轮胎宽度的数据从小到大排列，得193,193,194,194,195,196,196,196,196,197，

所以10%分位数为193 mm,90%分位数为196.5 mm.

10．甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？

解：由题意可知甲＝60 kg，甲队队员在所有队员中所占权重为＝，

乙＝70 kg，乙队队员在所有队员中所占权重为＝，

则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68 (kg)，

甲、乙两队全部队员的体重的方差为

s2＝×[200＋(60－68)2]＋×[300＋(70－68)2]＝296.

[B级　综合运用]

11．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位某地市民，他们的幸福感指数为3,4,5,5,6,7,7,8,9,10.则这组数据的75%分位数是(　　)

A．7  B．7.5

C．8  D．8.5

解析：选C　由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为75%×10＝7.5，

所以这10个人的75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.故选C.

12．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如下表：

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.

(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)；

(2)估计网购金额的25%分位数(结果保留3位有效数字)．

解：(1)根据题意有

解得所以p＝0.4，q＝0.25.

补全频率分布直方图如图所示．

(2)由(1)可知，网购金额不高于2千元的频率为0.08＋0.12＝0.2，

网购金额不高于3千元的频率为0.2＋0.4＝0.6，

所以网购金额的25%分位数在[2,3)内，

则网购金额的25%分位数为2＋×1≈2.13(千元)．