高中2.2 分层随机抽样学案

6.4.2分层随机抽样的均值

【教学目标】

重点、难点

重点：理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法 ， 会分析实际问题。

难点：分层抽样的均值 与方差

学科素养

  通过对有关数据的收集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度。

【知识清单】

一．求分层随机抽样的平均数的步骤

（ 1 ）求样本中不同层的平均数；

（ 2 ）应用分层随机抽样的平均数公式进行求解．

2 ．求分层随机抽样的方差的步骤

（ 1 ）求样本中不同层的平均数；

（ 2 ）求样本中不同层的方差；

（ 3 ）应用分层随机抽样的方差公式进行求 解 .

【经典例题】

知识点一：分层随机抽样的平均数

1. 为了鉴定某种节能灯泡的质量，对其中 100 只节能灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表： ( 单位：小时 )

则这些节能灯泡的平均使用寿命是 ________ 小时．

2 ．某校规定：学生期末总评成绩由卷面成绩、研究性学习成绩、平日成绩三部分构成，各部分所占比例如图所示．小明本学期数学学科三部分成绩分别是 90 分、 80 分、 85 分，则小明的期末数学总评成绩为 ________ 分．

知识点二：分层随机抽样的方差

3.

【课堂达标】

1．已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是（    ）

A．该组数据的极差为12 B．该组数据的中位数为21

C．该组数据的平均数为21 D．该组数据的方差为11

2．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（    ）

A．6.1毫米 B．32.6毫米 C．61毫米 D．610毫米

3．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）

A． B． C．3 D．

4．如图是2013年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

5．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数.若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则（    ）

A． B． C． D．

6．数据的平均数是，标准差为，则数据的平均数及方差为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（    ）

A．平均数为3 B．标准差为 C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5

8．已知一组数3，，5的平均数为4，则这组数的方差为______.

【能力提升】

9．随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”.某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了100个电子商铺，对电商的顾客评价，包括商品符合度､物流服务､服务态度､快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数，得到了如下的频率分.布表：

（1）画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图；

（2）求该电商平台旗下的所有电子商铺的顾客评价指数的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表).(精确到0.1)附：.

10．为了分析某个高二学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他高一阶段考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生次考试的成绩．

（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的理由；

（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？

（参考数据： ，

（参考公式：，）

【参考答案】

【经典例题】

1 ． 解析： 这些节能灯泡的平均使用寿命是

＝ 597.5( 小时 ) ．

答案： 597.5

2 ． 解析： 小明的期末数学总评成绩为： 90 × 60% ＋ 80 × 20% ＋ 85 × 20% ＝ 87( 分 ) ．

答案： 87

3

【课堂达标】

1．D

【解析】

【分析】

通过茎叶图计算出极差、中位数、平均数和方差，由此确定正确选项.

【详解】

根据茎叶图可知，数据为，所以：

极差为，A选项正确.

中位数为，B选项正确.

平均数为，C选项正确.

方差为

，D选项错误.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查根据茎叶图计算极差、中位数、平均数和方差，属于基础题.

2．C

【解析】

【分析】

利用标准差公式即可求解.

【详解】

设这7天降雨量分别为，，，，，，

则

因为1厘米=10毫米，

这7天降雨量分别为10，10，10，10，10，10，10，

平均值为=265，

所以标准差变为.

故选：C

【点睛】

本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题.

3．B

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：根据平均数、方差、标准差的概念直接运算即可．

解：∵，

∴

=

=，．

故选B．

4．C

【解析】

试题分析：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为：84,84,86,84,87，所以平均数为，方差为：=1.6.

考点：茎叶图；平均数；方差公式．

点评：本题主要考查平均数与方差的求法，熟记方差公式，属于基础题型．

5．A

【解析】

【分析】

根据算术平均数的含义求解.

【详解】

由题意得：若去掉一个最高分，平均分为x，则此时的x一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为z，

去掉一个最低分，平均分为y，则此时的y一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为z，

所以

故选：A

【点睛】

本题主要考查算术平均数的含义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

6．C

【解析】

【分析】

直接利用平均数、标准差和方差的公式求解.

【详解】

因为的平均数是，标准差为，

所以，，

所以数据的平均数为：

，

，

数据的方差为：

，

故选：C

【点睛】

本题主要考查样本的平均数与方差，标准差，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

7．AC

【解析】

【分析】

根据平均数，方差、标准差的计算公式，可判定A、B项；由众数和百分位数的概念，可判定C、D，即可求解.

【详解】

由平均数的计算公式，可得数据的平均数为，所以A项正确；

由方差的公式，可得，

所以标准差为，所以B项不正确；

根据众数的概念，可得数据的众数为和，所以C项正确；

根据百分位数的概念，可得第85百分位数：从大到小排序的第8和第9个数据的平均数值，即为，所以D项不正确.

故选：AC.

【点睛】

本题主要考查了平均数，标准差的计算，以及众数与百分位数的概念及应用，其中解答中熟记平均数和方差的计算公式，以及众数与百分位数的概念是解答的关键，属于基础题.

8．

【解析】

【分析】

首先计算，再根据方差公式计算方差.

【详解】

由题意可知，解得：，

方差.

故答案为：

【点睛】

本题考查样本平均数和方差，属于基础计算题型.

【能力提升】

9．（1）答案见解析；（2）平均数，标准差.

【解析】

【分析】

（1）根据频率分布表，即可得出频率分布直方图；

（2）根据频率分布直方图，由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均数，根据方差的计算公式，即可得出结果.

【详解】

（1）由题中数据，频率分布直方图如下，

（2）由题中数据可得，，

方差为：

；

所以标准差.

【点睛】

本题主要考查完善频率分布直方图，考查由频率分布直方图求平均数和标准差，属于常考题型.

10．（1）物理成绩更稳定，理由见解析；（2）130.

【解析】

【分析】

（1）根据公式分别求出其平均数和方差，从而判断出结果；

（2）分别求出和的值，代入从而求出线性回归方程，将代入，从而求出的值．

【详解】

解：（1）

∴甲的方差=

乙的方差=

∴甲的方差乙的方差

∴他的物理成绩更稳定.

（2）

∴

∴

所以当时，.

【点睛】

本题考查了平均数及方差的公式，考查线性回归方程，属于基础题．