2022年中考数学真题汇编：圆(含解析)

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2022年中考数学真题汇编：圆

1.（2022贵阳）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（ ）

A. 5 B. C. D.
2.（2022铜仁）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
3.（2022黔东南）如图，已知正六边形内接于半径为的，随机地往内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）

A. B. C. D. 以上答案都不对
4.（2022铜仁）如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）

A. 9 B. 6 C. 3 D. 12
5.（2022黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
6.（2022河北）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）

A. cm B. cm C. cm D. cm
7.（2022哈尔滨）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
8.（2022遵义）如图，在正方形中，和交于点，过点直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
9.（2022龙东地区）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）

A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
10.（2022哈尔滨）一个扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角是___________度．
11.（2022龙东地区）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．

12.（2022恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________．

13.（2022遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米．

14.（2022黔东南）如图，在中，，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是__________cm2．（结果用含的式子表示）

15.（2022绥化）已知：．

（1）尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．


16.（2022铜仁）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．


（1）求证：AB=CB；
（2）若AB=18，sinA=，求EF长．


17.（2022鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．

（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．


18.（2022大庆）如图，已知是外接圆的直径，．点D为外的一点，．点E为中点，弦过点E．．连接．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当时，求弦的长．


19.（2022齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作，且CF=CD，连接BF．


（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．


20.（2022河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．

（1）求∠C的大小及AB的长；
（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）


21.（2022黔东南）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点．

①求证：；
②若，，求的半径．


22.（2022哈尔滨）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长交于点F，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．


23.（2022绥化）如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．

（1）求证：．
（2）若，，求的长．
（3）在点C运动过程中，当时，求的值．


24.（2022鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA=6，斜边OB=10，点P为线段AB上一动点．

（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB=45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．


25.（2022恩施州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．

（1）求证：∠ADE=∠PAE．
（2）若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
（3）若PE=4，CD=6，求CE的长．


26.（2022河北）如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．


27.（2022遵义）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．

探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）



点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（依据2）
点，，，四点在同一个圆上
（1）反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
（2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________．

（3）拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．

①求证：，，，四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

2022年中考数学真题汇编：圆参考答案
1.（2022贵阳）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（ ）

A. 5 B. C. D.
【答案】连接OE，如图所示：

∵，点为线段的中点，
∴，
∵以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，
∴，
∴,
∴为等边三角形，
即，
故选：A．
2.（2022铜仁）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】∵是的两条半径，点C在上，
∴∠C= =40°
故选：B
3.（2022黔东南）如图，已知正六边形内接于半径为的，随机地往内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）

A. B. C. D. 以上答案都不对
【答案】解：如图：连接OB，过点O作OH⊥AB于点H，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=r，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=r，∠OAB=60°，
在中，，
∴，
∴正六边形的面积，
∵⊙O的面积=πr2，
∴米粒落在正六边形内的概率为：，
故选：A．
4.（2022铜仁）如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）

A. 9 B. 6 C. 3 D. 12
【答案】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积，
∴，
故选A．

5.（2022黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：连结OA
∵、分别与相切于点A、，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=，
∴sin∠ADB=．
故选A．

6.（2022河北）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）

A. cm B. cm C. cm D. cm
【答案】解：如图，


PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm，
故选：A．
7.（2022哈尔滨）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
8.（2022遵义）如图，在正方形中，和交于点，过点直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：在正方形中，，
的半径为：
过点，根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，
又
阴影部分面积为：



故选：B．
9.（2022龙东地区）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）

A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
【答案】①∵四边形ABCD是正方形，O是对角线AC、BD的交点，
∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°
∵
∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°
∴∠DOF=∠EOC
在△DOF与△COE中

∴
∴EC=FD
∵在△EAC与△FBD中
∴
∴∠EAC=∠FBD
又∵∠BQP=∠AQO
∴∠BPQ=∠AOQ=90°
∴AE⊥BF
所以①正确；
②∵∠AOB=∠APB=90°
∴点P、O在以AB为直径的圆上
∴AO是该圆的弦
∴
所以②正确；
③∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
所以③正确；
④作EG⊥AC于点G，则EGBO，
∴
设正方形边长为5a，则BC=5a，OB=OC=，
若，则，
∴
∴
∴
∵EG⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠GEC=45°
∴CG=EG=
∴
所以④错误；
⑤∵，S四边形OECF=S△COE+S△COF
∴S四边形OECF= S△DOF+S△COF= S△COD
∵S△COD=
∴S四边形OECF=
所以⑤正确；
综上，①②③⑤正确，④错误，
故选 B

10.（2022哈尔滨）一个扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角是___________度．
【答案】解：设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式得：
解得n=70．
故答案：．
11.（2022龙东地区）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．

【答案】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，



，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12.（2022恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________．

【答案】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，

∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，
∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四边形CDOE为正方形，
∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，
设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，
∴4-x+3-x=5，
解得x=1，
∴S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE
=×3×4-×1×1
=-．
故答案为：-．
13.（2022遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米．

【答案】解：如图，过点O作，垂足为D，


根据题意，
∵，
∴，
∵在中， ，
∴，
∵，
∴由垂径定理可知：，
∴以为直径的圆的周长为，
故答案为：33792．
14.（2022黔东南）如图，在中，，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是__________cm2．（结果用含的式子表示）

【答案】∵内切圆圆心是三条角平分线的交点
∴；
设，
在中：
在中：
由①②得：
扇形面积：（cm2）
故答案为：
15.（2022绥化）已知：．

（1）尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．
【答案】
（1）解：如下图所示，O为所求作点，

（2）解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，

∵内切圆的半径为1.3，
∴OD=OF=OE=1.3，
∵三角形ABC的周长为14，
∴AB+BC+AC=14，
则

故三角形ABC的面积为9.1．
16.（2022铜仁）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．


（1）求证：AB=CB；
（2）若AB=18，sinA=，求EF长．
【答案】
（1）证明：连接OD，如图1，


∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC．
∴∠ODA=∠C．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A．
∴∠A=∠C．
∴AB=BC；
（2）解：连接BD，则∠ADB=90°，如图2，


在Rt△ABD中，
∵sinA==，AB=18，
∴BD=6．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠OBD+∠A=∠FDB+∠ODB=90°，
∴∠A=∠FDB．
∴sin∠A=sin∠FDB．
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF==，
∴BF=2．
由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD．
∴=．即：=．
解得：BE=．
∴EF=．
17.（2022鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．

（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．
【答案】
（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠OCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠PCB=∠OAC，
∴∠PCB=∠OCA，
∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
∴PC与⊙O相切；
（2）解：∵∠ACB=90°，，
∴，
∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴，
∴，
∴AB=6，
∴，
∴，
∵，
∴△PBC∽△POD，
∴，即，
∴，
∴CD=6，
∴．
18.（2022大庆）如图，已知是外接圆的直径，．点D为外的一点，．点E为中点，弦过点E．．连接．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当时，求弦的长．
【答案】
（1）解：∵BC是△ABC外接圆⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD+∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∵ OC 是 OO 的半径，
∴CD 是 OO 的切线；
（2）如下图，连接AF、CG，

∴∠AFE=∠ECG，
∵∠AEF=∠CEG，
∴△FEA∽△CEG，
∴，
∵点E为AC中点，
∴AE=CE，
∵EF=2EG，
∴，
∴CE2=2EG2，
∵∠BAC=90°，点E为AC中点，
∴EOAB，
∴∠OEC=90°，
∴OC2-OE2=EC2，
∴OC2-OE2=2EG2，
∴（OC+OE）（OC−OE）=EG⋅EF；
（3）作ON⊥FG，延长FG交线段于点W，


∵BC=16，
∴OC=8，
∵FGBC，
∴四边形ONWC为矩形，
∵EF=2EG，
∴FG=3EG，
∴NG=1.5EG，NE=0.5EG，EW=8-1.5EG+EG=8-0.5EG，
由（2）可知：OC2-OE2=2EG2，
∴CE2=2EG2，
∴OE2=64-2EG2，ON2=64-2EG2-EG2，EW2=（8-0.5EG）2，
∴（8-0.5EG）2+64-2EG2-EG2=2EG2，
解得EG=，
∴FG=3EG=．
19.（2022齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作，且CF=CD，连接BF．


（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．
【答案】
（1）连接BD


∵AB是的直径
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴BF是的切线
（2）连接OE，与BD相交于M点


∵，，
∴为等腰直角三角形
∴，，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
20.（2022河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．

（1）求∠C的大小及AB的长；
（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）
【答案】
（1）解：∵水面截线
，
，
，
在中，，，
，
解得．
（2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：

水面截线，，
，，
为最大水深，
，
，
，且，
，
，即，即，
在中，，，
，即，
解得，
，
最大水深约为米．
21.（2022黔东南）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点．

①求证：；
②若，，求的半径．
【答案】（1）如下图所示

∵的外接圆的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，
∴做AB、AC垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；
（2）
①如下图所示，连接OC、OB

∵BD是的切线
∴
∵是对应的圆周角，是对应的圆心角
∴
∵点是的中点
∴
∴
∴
∴
∴
②如下图所示，连接CE

∵与是对应的圆周角
∴
∵是的直径
∴
∴
∴
∵
∴
∴的半径为．
22.（2022哈尔滨）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长交于点F，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．
【答案】
（1）如图1．∵点D，点E分别是半径的中点

∴，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∴；
（2）如图2．∵，
∴

由（1）得，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
（3）如图3．∵，
∴
∴

连接．∵
∴，
∴，
∵
设，
∴
在上取点M，使得，连接
∵，
∴
∴，
∴为等边三角形
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，
过点H作于点N
，
∴，
∴
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴
∴，
∴．
23.（2022绥化）如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．

（1）求证：．
（2）若，，求的长．
（3）在点C运动过程中，当时，求的值．
【答案】
（1）解：∵AB⊥MN，
∴∠APM=90°，
∴∠D+∠DMP=90°，
又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，
∴∠DMP+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠D，
∵∠CMA=∠ABC，
∴．
（2）连接OC，
∵，
∴MN是直径，
∵，
∴OM=ON=OC=5，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴OC⊥MN，
∴∠COE=90°，
∵AB⊥MN，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠COE，
又∵∠BEP=∠CEO，
∴
∴，
即
由，
∴，
∴，
，
∴．

（3）过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，
∵MN是直径，
∴∠MCN=90°，
∴∠CNM+∠DMP=90°，
∵∠D+∠DMP=90°，
∴∠D=∠CNM，
∵，
∴，
设
∴
∴
∴
∴
∴
∵，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP，
∴，
∴，
即
∴，
∴，，
∴，
∴值为．

24.（2022鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA=6，斜边OB=10，点P为线段AB上一动点．

（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB=45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．
【答案】
（1）解：在Rt△OAB中，，
∴点B的坐标为（8，6）；
（2）解：连接OP，过点P作PQ⊥OB于点Q，如图，


∵∠POB=45°，
∴∠OPQ=45°，
∴∠POB=∠OPQ，
∴PQ=OQ，
设PQ=OQ=x，则BQ=10-x，
在Rt△OAB中，，
在Rt△BPQ中，，
解得，
∴，
在Rt△POQ中，，
在Rt△AOP中，，
∴点P的坐标为（，6）；
（3）解：令PA'交OB于点D，如图，

∵点E为线段OB的中点，
∴，，
∵，
设，则，
∴，
∴，
由折叠的性质，可得，，
∴，
在Rt△中，，即，
解得，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为（，6）；
（4）解：以点F为圆心，OF的长为半径画圆，与AB的交点即为点P，再将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，此时OG最小，如图，


由题可知，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴OG的最小值为4，
∴线段FP扫过的面积=．
25.（2022恩施州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．

（1）求证：∠ADE=∠PAE．
（2）若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
（3）若PE=4，CD=6，求CE的长．
【答案】
（1）证明：连接OA，

∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠PAE=90°，
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PAE，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADE，
∴∠ADE=∠PAE；
（2）证明：∵∠ADE=30°，
由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，
∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，
∴∠APE=∠PAE =30°，
∴AE=PE；
（3）解：∵PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交AB于点C．
∴AB⊥PD，
∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，
∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，
∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，
∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，
∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，
即DC×CE=OC×PC，
设CE=x，则DE=6+x，OE=3+，OC=3+-x=3-，PC=4+x，
∴6x=(3-)( 4+x)，
整理得：x2+10x-24=0，
解得：x=2(负值已舍)．
∴CE的长为2．
26.（2022河北）如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
【答案】
（1）∵，
∴
则在四边形中

故四边形为矩形
，
在中，
∴，
∵
∴；
（2）①过点Q作于S

由（1）得：
在中，
∴
平移扫过面积：
旋转扫过面积：
故边PQ扫过的面积：
②运动分两个阶段：平移和旋转
平移阶段：


旋转阶段：
由线段长度得：
取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T

设，则
在中：


设，则，，
，，
∵DM为直径
∴
在中 ：
在中：
在中：
∴，
PQ转过的角度：
s
总时间：
③设CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，如图：

∵∠EDF=30°，∠C=30°，
∴∠EDF=∠C，
又∵∠DEF=∠CED，
∴，
∴，即，
∴，
∵在中，，
∴，
∴
当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，如图：CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
同理：可得


综上所述：．
27.（2022遵义）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．

探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）



点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（依据2）
点，，，四点在同一个圆上
（1）反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
（2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________．

（3）拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．

①求证：，，，四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】
（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补）



点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（同圆中，同弧所对的圆周角相等）
点，，，四点在同一个圆上
故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
（2）在线段同侧有两点，，
四点共圆，


故答案为：
（3）①，
，
点与点关于对称，
，
，
四点共圆；
②，理由如下，
如图，四点共圆，
，
关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．