北师大版高中数学必修第一册第四章对数运算与对数函数章末检测含解析

对数运算与对数函数

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．计算：log225·log52＝(　　)

A．3　　　　　　　　 B．4

C．5  D．6

解析：选A　log225·log52＝·＝3，故选A.

2．函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为(　　)

解析：选A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得f(x)的图象，故选A.

3．不等式log2(x＋1)<1的解集为(　　)

A．{x|0<x<1}  B．{x|－1<x≤0}

C．{x|－1<x<1}  D．{x|x>－1}

解析：选C　∵log2(x＋1)<1，∴0<x＋1<2，即－1<x<1.故选C.

4．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是(　　)

A.  B．(0，1]

C．(0，＋∞)  D．[1，＋∞)

解析：选D　f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．

5．已知函数f(x)＝ln(－2x)－1，则f(lg 3)＋f＝(　　)

A．－1  B．0

C．2  D．－2

解析：选D　∵f(－x)＝ln(＋2x)－1＝ln －1＝－ln(－2x)－1，∴f(－x)＋f(x)＝－2，∴f(lg 3)＋f＝f(lg 3)＋f(－lg 3)＝－2.故选D.

6．若函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，则f(x)(　　)

A．在(－∞，0)上是增函数

B．在(－∞，0)上是减函数

C．在(－∞，－1)上是增函数

D．在(－∞，－1)上是减函数

解析：选C　当－1<x<0时，0<x＋1<1.

∵loga|x＋1|>0，∴0<a<1，

∴函数f(x)＝loga|x＋1|在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．

7．设a＝log2，b＝30.01，c＝ln ，则(　　)

A．c<a<b  B．a<b<c

C．a<c<b  D．b<a<c

解析：选A　先与0比较，a＝log2>log21＝0，b＝30.01>0，c＝ln <ln 1＝0，得到c最小；再与1比较，a＝log2<log22＝1，b＝30.01>30＝1，得到b最大．综上，b>a>c.故选A.

8．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1，1)，N(1，2)，P(2，1)，Q(2，2)，G中，可以是“好点”的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选C　设指数函数为y＝ax(a>0，且a≠1)，显然其图象不过点M，P；设对数函数为y＝logbx(b>0，且b≠1)，显然其图象不过点N.故选C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．有以下四个结论，其中正确的有(　　)

A．ln(lg 10)＝0  B．lg(ln e10)＝1

C．若e＝ln x，则x＝e2  D．ln(lg 1)＝0

解析：选AB　ln(lg 10)＝ln 1＝0，lg(ln e10)＝lg 10＝1，所以A、B均正确；C中若e＝ln x，则x＝ee，故C错误；D中lg 1＝0，而ln 0没意义，故D错误．

10．若a>b>0，0<c<1，则(　　)

A．logca<logcb  B．ca>cb

C．ac>bc  D．logc(a＋b)>0

解析：选AC　因为0<c<1，所以y＝logcx在定义域内为减函数，由a>b>0得logca<logcb，故A正确；因为0<c<1，所以y＝cx在定义域内为减函数，由a>b>0，得ca<cb，故B错误；因为a>b>0，0<c<1，所以>1，所以ac>bc，故C正确；取c＝，a＋b＝2，则logc(a＋b)＝log2＝－1<0，故D错误．

11．函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么(　　)

A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值

B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值

C．f(x)在定义域内是偶函数

D．f(x)的图象关于直线x＝1对称

解析：选AD　由|x－1|＞0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝

则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x)的图象关于x＝1对称，D正确；

因为函数f(x)在(0，1)上是减函数，所以a>1，所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误；

又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误，故选A、D.

12．已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)，给出下列论述，其中正确的是(　　)

A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B．f(x)一定有最小值

C．当a＝0时，f(x)的值域为R

D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4}

解析：选AC　对A，当a＝0时，解x2－1>0有x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；对B，当a＝0时，f(x)＝lg(x2－1)，此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－1∈(0，＋∞)，此时f(x)＝lg(x2－1)的值域为R，故B错误，C正确；对D，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y＝x2＋ax－a－1对称轴x＝－≤2.解得a≥－4.但当a＝－4时f(x)＝lg(x2－4x＋3)在x＝2处无意义，故D错误．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知logba>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝__________，b＝________．

解析：因为logab＋logba＝，所以＋logba＝，所以2(logba)2－5logba＋2＝0，所以logba＝2或logba＝(舍去)，所以a＝b2，代入ab＝ba，得b2b＝b，所以2b＝b2，因为b≠0，所以b＝2，从而a＝b2＝4，故a＝4，b＝2.

答案：4　2

14．已知函数f(x)＝则f(0)＋f(2)等于________．

解析：易得f(0)＋f(2)＝＋log2＝2＋(－1)＝1.

答案：1

15．已知函数y＝loga(0<a<1)在区间(a，1)上的值域是(1，＋∞)，则实数a的值为________．

解析：由题意，y＝loga在区间(a，1)上是增函数．

∵函数在区间(a，1)上的值域是(1，＋∞)，

∴loga＝1，∴＝a，∴a2＋2a－1＝0.

∵0<a<1，∴a＝－1.

答案：－1

16．里氏地震等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里克特制定的，它同震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝ lg E－3.2，其中E(焦耳)为地震时以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗原子弹释放的能量，那么里氏8.0级大地震所释放的能量相当于________颗原子弹的能量．

解析：设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2，E1，则8－6＝(lg E2－lg E1)，即lg ＝3，

∴＝103＝1 000.

故里氏8.0级大地震所释放的能量相当于1 000颗原子弹的能量．

答案：1 000

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)解答下列各题：

(1)计算：lg 0.000 1；log2；log3.12(log1515)；

(2)已知log4x＝－，log3(log2y)＝1，求xy的值．

解：(1)因为10－4＝0.000 1，

所以lg 0.000 1＝－4.

因为2－6＝，所以log2＝－6.

log3.12(log1515)＝log3.121＝0.

(2)因为log4x＝－，所以x＝4＝2－3＝.

因为log3(log2y)＝1，所以log2y＝3.

所以y＝23＝8.所以xy＝×8＝1.

18．(本小题满分12分)画出函数f(x)＝|log6x|的图象，并求出其值域、单调区间以及在区间上的最大值．

解：因为f(x)＝|log6x|＝

所以在[1，＋∞)上f(x)的图象与y＝log6x的图象相同，在(0，1)上的图象与y＝log6x的图象关于x轴对称，据此可画出其图象如图所示．

由图象可知，函数f(x)的值域为[0，＋∞)，单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(0，1)．

当x∈时，f(x)在区间上单调递减，在(1，6]上单调递增．又f＝2，f(6)＝1<2，故f(x)在区间上的最大值为2.

19．(本小题满分12分)已知函数f(x－1)＝lg .

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1)．

解：(1)令t＝x－1，则x＝t＋1.由题意知>0，即0<x<2，则－1<t<1.所以f(t)＝lg ＝lg .

故f(x)＝lg (－1<x<1)．

(2)lg ≥lg(3x＋1)⇔≥3x＋1>0.

由3x＋1>0，得x>－.

因为－1<x<1，所以1－x>0.

由≥3x＋1，得x＋1≥(3x＋1)(1－x)，

即3x2－x≥0，

解得x≥或x≤0.又x>－，－1<x<1，

所以－<x≤0或≤x<1.

故不等式的解集为∪.

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明．

解：(1)要使函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)有意义，则解得－1<x<1.

故函数f(x)的定义域为(－1，1)．

(2)f(x)为奇函数．证明如下：

由(1)知f(x)的定义域为(－1，1)，定义域关于原点对称，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．

21．(本小题满分12分)已知不等式log2(x＋1)≤log2(7－2x)．

(1)求不等式的解集A；

(2)若当x∈A时，不等式－4＋2≥m恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)由已知可得解得－1<x≤2，因此，原不等式的解集A＝(－1，2]．

(2)令f(x)＝－4＋2，x∈(－1，2]，则原问题等价于f(x)min≥m.

∵f(x)＝4·－4·＋2，令t＝∈，

则y＝4t2－4t＋2＝4＋1，

当t＝，即x＝1时，函数f(x)取得最小值，

即f(x)min＝1，∴m≤1.

因此，实数m的取值范围是(－∞，1]．

22．(本小题满分12分)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．

当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，45]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．

(1)试求p＝f(t)的函数关系式；

(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．

解：(1)由题意知，当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为(12，82)，且曲线过点(14，81)，则可得f(t)＝－(t－12)2＋82，t∈(0，14]．

又当t∈[14，45]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分，且曲线过点(14，81)，则易得a＝，

则f(t)＝log(t－5)＋83，t∈[14，45]．

则p＝f(t)＝

(2)由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，

当t∈(0，14]时，令f(t)＝－(t－12)2＋82>80，

解得12－2<t≤14.

当t∈(14，45]时，令f(t)＝log(t－5)＋83>80，

解得14<t<32.

综上可得，12－2<t<32.

故老师在(12－2，32)这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．