2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-反比例函数2（55题，含答案）

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2021中考数学真题知识点分类汇编-反比例函数2（55题，含答案）

一．反比例函数图象上点的坐标特征（共52小题）
1．（2021•内江）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝，若∠BCD＝60°，则的值为（　　）

A． B． C． D．
2．（2021•德州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（a是常数）的图象上，且y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为（　　）
A．x2＞x1＞x3 B．x1＞x2＞x3 C．x3＞x2＞x1 D．x3＞x1＞x2
3．（2021•朝阳）如图，O是坐标原点，点B在x轴上，AO＝AB＝5，OB＝6（k≠0）图象上，则k的值（　　）

A．﹣12 B．﹣15 C．﹣20 D．﹣30
4．（2021•滨州）如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，且BC＝2AC．如果函数y＝（x＞0）的图象经过点B和点C，在直线BC上的是（　　）

A．（﹣2019，674） B．（﹣2020，675）
C．（2021，﹣669） D．（2022，﹣670）
5．（2021•兴安盟）点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
6．（2021•广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上（x＜0）的图象上，若顶点B的横坐标为﹣（　　）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
7．（2021•桂林）若点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021•大连）下列说法正确的是（　　）
①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0；
②点P（﹣3，2）在反比例函数y＝﹣的图象上；
③反比例函数y＝的图象，在每一个象限内
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．（2021•益阳）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象或性质的共有特征之一是（　　）
A．函数值y随x的增大而增大
B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点
D．图象经过点（2，1）
10．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0），过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0），连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD（　　）

A． B．2 C． D．3
11．（2021•娄底）用数形结合等思想方法确定二次函数y＝x2+2的图象与反比例函数y＝的图象的交点的横坐标x0所在的范围是（　　）
A．0＜x0＜ B．＜x0＜ C．＜x0＜ D．＜x0＜1
12．（2021•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE（　　）

A． B． C． D．
13．（2021•宿迁）已知双曲线过点（3，y1）、（1，y2）、（﹣2，y3），则下列结论正确的是（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
14．（2021•十堰）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），连OA，直线CD⊥OA，交y轴于点D，若点B关于直线CD的对称点B′恰好落在该反比例函数图象上（　　）

A． B． C． D．
15．（2021•达州）在反比例函数y＝（k为常数）的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
16．（2021•怀化）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，交BD于M点，反比例函数y＝（x＞0），若BD＝4，则ME的长为（　　）

A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝
17．（2021•天津）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
18．（2021•温州）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0），AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结AE．若OE＝1，OC＝，AC＝AE，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．2
19．（2021•金华）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
20．（2021•连云港）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图象经过点（﹣1，1）；
乙：函数图象经过第四象限；
丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（　　）
A．y＝﹣x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝﹣
21．（2021•嘉兴）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
22．（2021•本溪）如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A（2，0），B（0，1）（x＞0）的图象经过点C，则k的值为 　 　．

23．（2021•阿坝州）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0），点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，则k的值为 　 　．

24．（2021•陕西）若点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上　 　．
25．（2021•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为 　 　．

26．（2021•广州）一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1　 　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
27．（2021•徐州）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限　 　．

28．（2021•黔东南州）如图，若反比例函数y＝的图象经过等边三角形POQ的顶点P　 　．

29．（2021•威海）已知点A为直线y＝﹣2x上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝，则点A的坐标为 　 　．
30．（2021•通辽）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 　 　．（用含有正整数n的式子表示）

31．（2021•深圳）如图，已知反比例函数的图象过A，B两点（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC　 　．

32．（2021•福建）若反比例函数y＝的图象过点（1，1），则k的值等于 　 　．
33．（2021•海南）若点A（1，y1），B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　 　y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
34．（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0），若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°　 　．

35．（2021•青海）已知点A（﹣1，y1）和点B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系是 　 　．
36．（2021•衢州）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，点E在AD上，DE＝，将这副三角板整体向右平移 　 　个单位，C，E两点同时落在反比例函数y＝的图象上．

37．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）（﹣1，m），则m的值为 　 　．
38．（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点F在AD上，EF交BC于点M（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，则k＝　 　．

39．（2021•株洲）点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，满足：当x1＞0时，均有y1＜y2，则k的取值范围是 　 　．
40．（2021•新疆）若点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　 　y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
41．（2021•陕西）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　 　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）
42．（2021•武汉）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是 　 　．
43．（2021•嘉峪关）若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　 　y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
44．（2021•邵阳）已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1　 　y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
45．（2021•云南）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为　 　．
46．（2021•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，C在第一象限，顶点D的坐标（，2）（常数k＞0，x＞0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是　 　．

47．（2021•哈尔滨）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），则k的值为 　 　．
48．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，CE＝1．
（1）求点C和点E的坐标及k的值；
（2）连接BE，求△MBE的面积．

49．（2021•枣庄）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）
因为y＝＝1﹣，即y＝﹣，所以可以对比函数y＝﹣来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m　 　，n＝　 　；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣

1
2
3
4
…
y＝﹣
…


1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y＝
…


2
3
m
﹣3
﹣1
0
n

…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝，描出相应的点，如图所示：

（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 　 　；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向 　 　平移 　 　个单位而得到．
③函数图象关于点 　 　中心对称．（填点的坐标）
50．（2021•襄阳）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝　 　；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣
﹣
﹣
0
1
2
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
﹣3
3
2
m


…
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

（2）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）
①函数值y随x的增大而减小：　 　．
②函数图象关于原点对称：　 　．
③函数图象与直线x＝﹣1没有交点：　 　．
51．阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．
则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数f（x）＝（x＞0），f（1）＝＝1，f（2）＝，f（3）＝　 　，f（4）＝　 　；
（2）猜想f（x）＝（x＞0）是 　 　函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
52．（2021•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．已知实数k≠0，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B

二．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）
53．（2021•鄂尔多斯）如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，E是AD的中点，反比例函数y＝（k≠0），与BC交于点F，且CF﹣BE＝1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得S△CEP＝S矩形ABCD，求此时点P的坐标．

54．（2021•益阳）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．

55．（2021•河南）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行的图象与大正方形的一边交于点A（1，2），且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．


参考答案与试题解析
一．反比例函数图象上点的坐标特征（共52小题）
1．（2021•内江）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝，若∠BCD＝60°，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接AC、BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝，
∴A与C、B与D关于原点对称，
∴AC、BD经过点O，
∴∠BOC＝90°，
∵∠BCO＝∠BCD＝30°，
∴tan30°＝＝，
作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∵∠BOM+∠NOC＝90°＝∠NOC+∠NCO，
∴∠BOM＝∠NCO，
∵∠OMB＝∠CNO＝90°，
∴△OMB∽△CNO，
∴＝（）2，
∴＝，
∴＝﹣，
故选：D．

2．（2021•德州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（a是常数）的图象上，且y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为（　　）
A．x2＞x1＞x3 B．x1＞x2＞x3 C．x3＞x2＞x1 D．x3＞x1＞x2
【解答】解：∵a2+1＞3，
∴反比例函数y＝（a是常数）的图象在一，
如图所示，当y7＜y2＜0＜y2时，x3＞0＞x5＞x2，
故选：D．

3．（2021•朝阳）如图，O是坐标原点，点B在x轴上，AO＝AB＝5，OB＝6（k≠0）图象上，则k的值（　　）

A．﹣12 B．﹣15 C．﹣20 D．﹣30
【解答】解：过A点作AC⊥OB，

∵AO＝AB，AC⊥OB，
∴OC＝BC＝3，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∵AC＝，
∴A（﹣3，4），
把A（﹣4，4）代入y＝，
故选：A．
4．（2021•滨州）如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，且BC＝2AC．如果函数y＝（x＞0）的图象经过点B和点C，在直线BC上的是（　　）

A．（﹣2019，674） B．（﹣2020，675）
C．（2021，﹣669） D．（2022，﹣670）
【解答】解：作BD⊥OA，CE⊥OA，

∵∠BOA＝45°，
∴BD＝OD，
设B（a，a），
∴，
∴a＝3或a＝﹣3（舍去），
∴BD＝OD＝3，
B（3，5），
∵BC＝2AC．
∴AB＝3AC，
∵BD⊥OA，CE⊥OA，
∴BD∥CE，
.∴△ABD∽△ACE
∵＝4，
∴，
∴CE＝8，
∵图象经过点C，
∴，
∴x＝5，
C（9，1）
设BC的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴x+2，
当x＝﹣2019时，y＝677，
当x＝﹣2020时，y＝677，
当x＝2021时，y＝﹣669，
当x＝2022时，y＝﹣670，
故选：D．
5．（2021•兴安盟）点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限．
∵﹣5＜﹣2＜0，
∴0＞y2＞y2，
∵3＞5，
∴y3＞0，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
6．（2021•广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上（x＜0）的图象上，若顶点B的横坐标为﹣（　　）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
【解答】解：如图，作AD⊥x轴于点D，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠COE＝∠OAD，
∵∠CEO＝∠ODA，
∴△COE∽△OAD，
∴＝（）2，，
∵S△COE＝×|﹣4|＝2，S△AOD＝＝，
∴＝（）2，
∴＝2，
∴＝，
∴OE＝6AD，CE＝2OD，
设A（m，）（m＞5），
∴C（﹣，2m），
∴OE＝8﹣（﹣）＝，
∵点B的横坐标为﹣，
∴m﹣（﹣）＝，
整理得2m7+7m﹣4＝2，
∴m1＝，m2＝﹣4（不符合题意，舍去），
经检验，m＝，
∴A（，2），
故选：A．

7．（2021•桂林）若点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵点A（1，3）在反比例函数y＝，
∴k＝2×3＝3，
故选：C．
8．（2021•大连）下列说法正确的是（　　）
①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0；
②点P（﹣3，2）在反比例函数y＝﹣的图象上；
③反比例函数y＝的图象，在每一个象限内
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0；
②因为﹣7×2＝﹣6，故说法正确；
③因为k＝7＞0，反比例函数y＝，在每一个象限内，故说法错误；
故选：A．
9．（2021•益阳）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象或性质的共有特征之一是（　　）
A．函数值y随x的增大而增大
B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点
D．图象经过点（2，1）
【解答】解：∵对于正比例函数y＝2x，2＞4，
对于反比例函数y＝，2＞7，
∴A选项不符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，2＞5、三象限，
对于反比例函数y＝，2＞6、三象限，
∴B选项符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，它的图象经过原点，
对于反比例函数y＝，它的图象与坐标轴没有交点，
∴C选项不符合题意；
∵当x＝7，y＝2×2＝8≠1
∴正比例函数y＝2x的图象不经过点（6，1）．
∵当x＝2时，y＝，
∴反比例函数y＝的图象经过（2，
∴D选项不符合题意．
综上，正确选项为：B．
故选：B．
10．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0），过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0），连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD（　　）

A． B．2 C． D．3
【解答】解：作BE⊥x轴于E，
∴AC∥BE，
∴△CDF∽△BDE，
∴＝＝，
∵BC＝3BD，
∴＝＝，
∴CF＝2BE，DF＝2DE，
设B（，b），
∴C（7，﹣2b），
∵函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，
∴﹣k＝7×（﹣2b）＝﹣2b，
∴k＝7b，
∴B的横坐标为＝＝2，
故选：B．

11．（2021•娄底）用数形结合等思想方法确定二次函数y＝x2+2的图象与反比例函数y＝的图象的交点的横坐标x0所在的范围是（　　）
A．0＜x0＜ B．＜x0＜ C．＜x0＜ D．＜x0＜1
【解答】解：函数y＝x2+2与y＝的图象如图所示，

交点的横坐标x0的取值范围是＜x0＜1，
故选：D．
12．（2021•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：过点D作DF⊥BC于F，
由已知，BC＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝5，
∵BE＝8DE，
∴设DE＝x，则BE＝2x，
∴DF＝2x，BF＝x，
在Rt△DFC中，
DF3+FC2＝DC2，
∴（2x）2+（5﹣x）8＝52，
解得x7＝2，x2＝4（舍去），
∴DE＝2，FD＝4，
设OB＝a，
则点D坐标为（8，a+4），a），
∵点D、C在双曲线上，
∴k＝2×（a+3）＝5a，
∴a＝，
∴k＝5×＝，
故选：A．

13．（2021•宿迁）已知双曲线过点（3，y1）、（1，y2）、（﹣2，y3），则下列结论正确的是（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
【解答】解：∵k＜0，
∴反比例函数的图象在第二，
∵反比例函数的图象过点（3，y1）、（1，y7）、（﹣2，y3），
∴点（8，y1）、（1，y6）在第四象限，（﹣2，y3）在第二象限，
∴y4＜y1＜0，y7＞0，
∴y2＜y3＜y3．
故选：A．
14．（2021•十堰）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），连OA，直线CD⊥OA，交y轴于点D，若点B关于直线CD的对称点B′恰好落在该反比例函数图象上（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：设BB′交直线CD于点E，过点E作EG⊥BD于G，如图，

∵B与B′关于直线CD对称，
∴CD垂直平分BB′．
即E为BB′的中点，EB＝EB′．
∵EG⊥BD，B′F⊥BD，
∴EG∥B′F．
∴EG＝B′F．
∵直线OA经过点A（8，1），
∴直线OA的解析式为：y＝x．
∵CD⊥OA，BB′⊥CD，
∴BB′∥OA．
设直线BB′的解析式为y＝x+b，
∵B（8，1），
∴b＝1．
∴直线BB′的解析式为y＝x+1．
∵反比例函数y＝（x＞8）的图象经过点A（2，
∴反比例函数y＝．
联立方程得：．
解得：，．
∴B′（）．
∴B′F＝．
∴EG＝．
∵AB⊥BD，
∴∠OAB＝∠ODC．
∴tan∠OAB＝tan∠ODC＝．
在Rt△DGE中，
∵tan∠ODC＝，
∴DG＝﹣2．
同理：BG＝．
∴OD＝OB+BG+DG＝．
∴D点纵坐标为．
故选：A．
15．（2021•达州）在反比例函数y＝（k为常数）的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵k2+1＞6，
∴反比例函数图象在第一、三象限，
∵x1＜0＜x6＜x3，
∴y1＜4，0＜y3＜y6，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
16．（2021•怀化）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，交BD于M点，反比例函数y＝（x＞0），若BD＝4，则ME的长为（　　）

A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝
【解答】解：过N作y轴和x轴的垂线NG，NH，
设N（b，a），
∵反比例函数y＝（x＞4）的图象经过点N，
∴ab＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO＝，
∵NH⊥x轴，NG⊥y轴，
∴四边形NGOH是矩形，
∴NG∥x轴，NH∥y轴，
∵N为CD的中点，
∴DO•CO＝2a•7b＝4ab＝，
∴CO＝，
∴tan∠CDO＝＝．
∴∠CDO＝30°，
∴∠DCO＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝∠ABC＝2∠CDO＝60°，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥BC，BO⊥AC，
∴AE＝BO＝2，∠BAE＝30°＝∠ABO，
∴AM＝BM，
∴OM＝EM，
∵∠MBE＝30°，
∴BM＝5EM＝2OM，
∴3EM＝OB＝8，
∴ME＝，
故选：D．

17．（2021•天津）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣5＜5，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内．
∵﹣5＜0，8＜1＜5，
∴点A（﹣5，y1）在第二象限，点B（1，y5），C（5，y3）在第四象限，
∴y5＜y3＜y1．
故选：B．
18．（2021•温州）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0），AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结AE．若OE＝1，OC＝，AC＝AE，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．2
【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，
∴四边形BDOE是矩形，
∴BD＝OE＝1，
把y＝1代入y＝，求得x＝k，
∴B（k，6），
∴OD＝k，
∵OC＝OD，
∴OC＝k，
∵AC⊥x轴于点C，
把x＝k代入y＝得，
∴AE＝AC＝，
∵OC＝EF＝k，AF＝，
在Rt△AEF中，AE2＝EF2+AF2，
∴（）2＝（k）2+（）2，解得k＝±，
∵在第一象限，
∴k＝，
故选：B．

19．（2021•金华）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【解答】解：∵k＝﹣12＜0，
∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜2＜x2，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴y2＜5＜y1；
故选：B．
20．（2021•连云港）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图象经过点（﹣1，1）；
乙：函数图象经过第四象限；
丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（　　）
A．y＝﹣x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝﹣
【解答】解：把点（﹣1，1）分别代入四个选项中的函数表达式，选项B不符合题意；
又函数过第四象限，而y＝x2只经过第一、二象限；
对于函数y＝﹣x，当x＞0时，与丙给出的特征不符合．
故选：D．
21．（2021•嘉兴）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝2＞5，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，y随x的增大而减小．
∵x1＜x2＜7＜x3，
∴（x1，y7），（x2，y2）两点在第三象限，点（x2，y3）在第一象限，
∴y2＜y3＜0＜y3．
故选：A．
22．（2021•本溪）如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A（2，0），B（0，1）（x＞0）的图象经过点C，则k的值为 　　．

【解答】解法一、设半圆圆心为D，过C作CG⊥OA于G，如图：

∵A（2，0），8），
∴AB＝，DA＝DC＝，
∴cos∠BAO＝＝，sin∠BAO＝＝，
∵C为半圆的中点，
∴∠CDE＝∠EGA＝90°，
又∠CED＝∠AEG，
∴∠DCE＝∠BAO，
Rt△CDE中，cos∠DCE＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴DE＝＝
∴AE＝AD﹣DE＝﹣＝，
Rt△AGE中，cos∠BAO＝＝
∴＝，
∴AG＝，
∴OG＝OA﹣AG＝，
∴EG＝＝，
∴CG＝CE+GE＝，
∴C（，），
把C（，）代入y＝，
解法二、设半圆圆心为D，CA，CN⊥x轴于点N

∵点C为半圆的中点，
∴＝，∠BCA＝90°，
∴BC＝AC，
∵CM⊥y轴，CN⊥x轴，
∴∠CMB＝∠CNA＝90°，∠MCN＝90°，
∴∠MCN﹣∠BCN＝∠BCA﹣∠BCN，即∠BCM＝∠ACN，
∴△BCM≌△ACN（AAS），
∴CM＝CN，BM＝AN，
∴四边形OMCN是正方形，
∵OA＝7，OB＝1，
设正方形OMCN的边长为a，由BM＝AN得，解得a＝，
∴点C的坐标为（，），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝＝．
故答案为：．
23．（2021•阿坝州）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0），点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，则k的值为 　8　．

【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∵∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BAN＝∠AOM，
∴△AOM∽△BAN，
∴＝，
∵点A，B在反比例函数y＝，点A的横坐标为2，
∴A（2，），B（k，
∴OM＝2，AM＝﹣1，
∴＝，
解得k1＝2（舍去），k3＝8，
∴k的值为8，
故答案为：4．

24．（2021•陕西）若点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上　　．
【解答】解：∵点A（a，3），b）在同一个反比例函数的图象上，
∴3a＝3ab，
解得b＝，
故答案为：．
25．（2021•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为 　48．　．

【解答】解：过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，
∵∠OA′D＝90°，
∴∠OA′F+∠DA′E＝90°，
∵∠OA′F+∠A′OF＝90°，
∴∠DA′E＝∠A′OF，
∵∠A′FO＝∠DEA′，
∴△A′OF∽△DA′E，
∴＝＝，
设A′（m，n），
∴OF＝m，A′F＝n，
∵正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，点D是边AB上靠近点A的三等分点，
∴DE＝m﹣，A′E＝10﹣n，
∴＝＝3，
解得m＝6，n＝8，
∴A′（5，8），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，
∴k＝2×8＝48，
故答案为48．

26．（2021•广州）一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1　＞　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝6有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4m＝0，
解得m＝4，
∵m＞0，
∴反比例函数y＝图象在一三象限，
∵x1＜x7＜0，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
27．（2021•徐州）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限　（2，3）　．

【解答】解：设A的纵坐标为n，则D的纵坐标为n，
∵点A、D分别在函数y＝的图象上，
∴A（﹣，n），n），
∵四边形ABCD为正方形，
∴+＝n，
解得n＝3（负数舍去），
∴D（2，2），
故答案为（2，3）．
28．（2021•黔东南州）如图，若反比例函数y＝的图象经过等边三角形POQ的顶点P　2　．

【解答】解：如图，过点P作x轴的垂线于M，
∵△POQ为等边三角形，
∴OP＝OQ，OM＝QM＝，
∵反比例函数的图象经过点P，
∴设P（a，）（a＞0），
则OM＝a，OQ＝OP＝2a，
在Rt△OPM中，
PM＝＝＝a，
∴＝a，
∴a＝5（负值舍去），
∴OQ＝2a＝2，
故答案为：6．

29．（2021•威海）已知点A为直线y＝﹣2x上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝，则点A的坐标为 　（，﹣2）或（﹣，2）　．
【解答】解：因为点A为直线y＝﹣2x上，因此可设A（a，
则点A关于y轴对称的点B（﹣a，﹣2a），
由点B在反比例函数y＝的图象上可得
2a2＝6，
解得a＝±
所以A（，﹣5，5），
故答案为：（，﹣3，3）．
30．（2021•通辽）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 　（+，﹣+）　．（用含有正整数n的式子表示）

【解答】解：过B1作B1M8⊥x轴于M1，
易知M1（6，0）是OA1的中点，
∴A2（2，0）．
可得B3的坐标为（1，1），
∴B4O的解析式为：y＝x，
∵B1O∥A1B7，
∴A1B2的表达式一次项系数与B2O的一次项系数相等，
将A1（2，2）代入y＝x+b，
∴b＝﹣2，
∴A1B7的表达式是y＝x﹣2，
与y＝（x＞6）联立2（1+，﹣1+）．
仿上，A6（2，5）．
B3（+，﹣+），
以此类推，点Bn的坐标为（+，﹣+），
故答案为（+，﹣+）．

31．（2021•深圳）如图，已知反比例函数的图象过A，B两点（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC　（4，﹣7）　．

【解答】解：∵A点坐标（2，3），
∴B（﹣3，﹣3）
过点B作x轴的平行线l过点A，点C作l的垂线，E两点，﹣3），
∵∠ABD+∠CBE＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD，
在△ABD与△BCE 中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BE＝AD＝6，CE＝BD＝4，
∴C（4，﹣2），
故答案为（4，﹣7）．

32．（2021•福建）若反比例函数y＝的图象过点（1，1），则k的值等于 　1　．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象过点（1，
∴k＝1×6＝1，
故答案为1．
33．（2021•海南）若点A（1，y1），B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　＞　y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝3＞2，
∴此函数图象的两个分支分别在一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵1＜3，
∴y6＞y2．
故答案为＞．
34．（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0），若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°　（，1）　．

【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，
∵∠AOB＝30°，
∴OE＝AE＝，
将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（7，），
∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝3×＝，
∴y＝，
∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，
∴∠DOM＝60°，
∴∠MOF＝30°，
∴OF＝MF，
设MF＝n，则OF＝n，
∴M（n，n），
∵点M在函数y＝的图象上，
∴n＝，
∴n＝1（负数舍去），
∴M（，3），
故答案为（，1）．

35．（2021•青海）已知点A（﹣1，y1）和点B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系是 　y1＜y2　．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝6＞2，
∴此函数在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1）和点B（﹣8，y2）在反比例函数y＝的图象上，
∴y3＜y2，
故答案为y1＜y2．
36．（2021•衢州）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，点E在AD上，DE＝，将这副三角板整体向右平移 　12﹣　个单位，C，E两点同时落在反比例函数y＝的图象上．

【解答】解：∵AB＝4，
∴BD＝AB＝12，
∴C（4+6，
∵DE＝AD，
∴E的坐标为（6，9），
设平移t个单位后，则平移后C点的坐标为（6，6）+t，
∵平移后C，E两点同时落在反比例函数y＝，
∴（4+6+t）×6＝（3，
解得t＝12﹣，
故答案为12﹣．
37．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）（﹣1，m），则m的值为 　﹣2　．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，m），
∴﹣m＝6×2，解得m＝﹣2，
即m的值为﹣6．
故答案为﹣2．
38．（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点F在AD上，EF交BC于点M（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，则k＝　﹣12　．

【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，
在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，
∴FN＝MN＝1
又∵FG＝4，
∴NA＝MB＝FG﹣FN＝2﹣1＝3，
设OA＝a，则OB＝a+8，
∴点F（﹣a，4），3），
又∵反比例函数y＝（x＜8）的图象恰好经过点F，M，
∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣3），
解得，a＝3，
∴k＝﹣4a＝﹣12，
故答案为：﹣12．

39．（2021•株洲）点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，满足：当x1＞0时，均有y1＜y2，则k的取值范围是 　k＜0　．
【解答】解：∵点A（x1，y1）、B（x5+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，
又∵6＜x1＜x1+7时，y1＜y2，
∴函数图象在二四象限，
∴k＜5，
故答案为k＜0．
40．（2021•新疆）若点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　＞　y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【解答】解：∵k＝3，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵0＜7＜2，
∴两点在同一象限内，
∴y1＞y5．
故答案为：＞．
41．（2021•陕西）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　＜　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）
【解答】解：∵2m﹣1＜5（m＜），
∴图象位于二、四象限，y随x的增大而增大，
又∵3＜1＜3，
∴y3＜y2，
故答案为：＜．
42．（2021•武汉）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是 　﹣1＜a＜0　．
【解答】解：∵k＝m2+1＞5，
∴反比例函数y＝（m是常数）的图象在一，在每个象限，
①当A（a，y5），B（a+1，y2）在同一象限，
∵y7＜y2，
∴a＞a+1，
此不等式无解；
②当点A（a，y6）、B（a+1，y2）在不同象限，
∵y4＜y2，
∴a＜0，a+8＞0，
解得：﹣1＜a＜7，
故答案为﹣1＜a＜0．
43．（2021•嘉峪关）若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　＜　y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【解答】解：∵k＝a2+1＞7，
∴反比例函数y＝的图象在一，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣4，y1），B（﹣4，y6）同在第三象限，且﹣3＞﹣4，
∴y3＜y2，
故答案为：＜．
44．（2021•邵阳）已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1　＞　y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝3＞2，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．
∵A（1，y1），B（7，y2），
∴点A、B都在第一象限，
又1＜4，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
45．（2021•云南）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为　y＝﹣　．
【解答】解：设y＝，
把点（1，﹣2）代入函数y＝，
则反比例函数的解析式为y＝﹣，
故答案为y＝﹣．
46．（2021•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，C在第一象限，顶点D的坐标（，2）（常数k＞0，x＞0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是　5或22.5　．

【解答】解：作DM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，交MD的延长线于E，
正方形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠DAM+∠BAN＝90°，
∵∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠ADM＝∠BAN，
在△ADM和△BAN中，
，
∴△ADM≌△BAN（AAS），
∴AM＝BN，DM＝AN，
∵顶点D的坐标（，5）．
∴OM＝，DM＝8，
同理：△ADM≌△DCE，
∴AM＝DE，CE＝DM，
∴AM＝BN＝DE，DM＝AN＝CE＝2，
设AM＝BN＝DE＝m，
∴ON＝+m+2＝4.8+m，
∴B（4.5+m，m），6+m），
当反比例函数y＝（常数k＞0、D时×2＝5；
当反比例函数y＝（常数k＞3、C时，
解得m＝3（负数已经舍去），
∴k＝4.7×（2+3）＝22.8，
故答案为5或22.5．

47．（2021•哈尔滨）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），则k的值为 　﹣10　．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，
∴k＝2×（﹣5）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
48．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，CE＝1．
（1）求点C和点E的坐标及k的值；
（2）连接BE，求△MBE的面积．

【解答】解：（1）由题意得点A的坐标为（，2），k），
又AC∥x轴，且△ACB为直角三角形，
∴点C的坐标为（8，2），
又CE＝1，
∴点E的坐标为（3，2），
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
在Rt△BCE中，EB2＝BC6+CE2，
∴1+（k﹣8）2＝，
∴k＝2或，
当k＝2时，点A，B，不能构成三角形，
∴k＝，
∴C（1，8），2）；
（2）由（1）可得，AC＝，CE＝1，
设AB的中点为D，
AB＝＝，BD＝＝，
∵∠ABC＝∠MBD，∠BDM＝∠BCA＝90°，
∴△BDM∽△BCA，
∴＝，
∴BM＝×＝，
∴S△MBE＝＝×5＝．

49．（2021•枣庄）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）
因为y＝＝1﹣，即y＝﹣，所以可以对比函数y＝﹣来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m　5　，n＝　　；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣

1
2
3
4
…
y＝﹣
…


1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y＝
…


2
3
m
﹣3
﹣1
0
n

…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝，描出相应的点，如图所示：

（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 　增大　；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向 　上　平移 　1　个单位而得到．
③函数图象关于点 　（0，1）　中心对称．（填点的坐标）
【解答】解：（1）x＝﹣时，y＝﹣，
∴m＝5，
x＝3时，y＝﹣，
∴n＝；
故答案为：5，；
（2）把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来

（3）根据图象可得：
①在y轴左边，y随x增大而增大，
故答案为：增大；
②函数y＝的图象是由y＝﹣，
故答案为：上，1；
③函数图象关于点 （0，7）中心对称，
故答案为：（0，1）．
50．（2021•襄阳）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝　1　；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣
﹣
﹣
0
1
2
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
﹣3
3
2
m


…
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

（2）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）
①函数值y随x的增大而减小：　×　．
②函数图象关于原点对称：　×　．
③函数图象与直线x＝﹣1没有交点：　√　．
【解答】解：（1）①x＝0时，y＝，
故答案为：1；
②如图：

∵m＝3，
∴A即为（0，m）的点；
③补充图象如图：

（2）根据函数图象可得：
①每一个分支上，函数值y随x的增大而减小，应为×，
②图象关于（﹣1，3）对称，应为×，
③x＝﹣1时，无意义，应为√．
故答案为：×，×，√．
51．阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．
则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数f（x）＝（x＞0），f（1）＝＝1，f（2）＝，f（3）＝　　，f（4）＝　　；
（2）猜想f（x）＝（x＞0）是 　减　函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
【解答】解：（1），，
故答案为，；
（2）猜想：是减函数，
证明：任取x1＜x6，x1＞0，x5＞0，则＝，
∵x5＜x2且x1＞5，x2＞0，
∴x2﹣x1＞0，x2x2＞0，
∴＞01）﹣f（x2）＞0，
∴函数是减函数，
故答案为减．
52．（2021•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．已知实数k≠0，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B

【解答】解：把y＝0代入y＝﹣3x+k，得x＝，
∴C（，0），
.∵BC⊥x轴，
∴点B横坐标为，
把x＝代入y＝，
∴B（，6），
∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∴D（，3），
∵点D在直线y＝﹣4x+k上，
∴3＝﹣3×+k，
∴k＝6．
二．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）
53．（2021•鄂尔多斯）如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，E是AD的中点，反比例函数y＝（k≠0），与BC交于点F，且CF﹣BE＝1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得S△CEP＝S矩形ABCD，求此时点P的坐标．

【解答】解：（1）∵E是AD的中点，
∴AE＝，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝，
∵CF﹣BE＝2，
∴CF＝6，
∴F的横坐标为﹣6，
设F（﹣8，m），m+3），
∵E，F都在反比例函数图象上，
∴﹣6m＝﹣3（m+3），
解得m＝6，
∴F（﹣2，6），
∴k＝﹣36，
∴反比例函数y＝﹣．
（2）∵S△CEP＝S矩形ABCD，
∴，
∴CP＝8，
∴P（3，14）或（0．
54．（2021•益阳）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．

【解答】解：（1）∵点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，
∴当y＝8时，2x﹣4＝3，
∴点A的坐标为（2，0）；

（2）将点A（7，0）向上平移2个单位后得点B（5．
设过点B的反比例函数解析式为y＝，
则2＝，解得k＝2，
∴该反比例函数的表达式为y＝．
55．（2021•河南）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行的图象与大正方形的一边交于点A（1，2），且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．

【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，
∴2＝，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
∴设B点的坐标为（m，m），
∵反比例函数y＝的图象经过B点，
∴m＝，
∴m2＝8，
∴小正方形的面积为4m2＝2，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，2），
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（2，2），
∴大正方形的面积为4×26＝16，
∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝16﹣8＝8．