2021-2022学年江苏省金陵中学高一下学期期初考试数学试题含解析

2021-2022学年江苏省金陵中学高一下学期期初考试数学试题

一、单选题

1．已知幂函数在上是减函数，则实数（       ）

A．1 B．2 C．1或2 D．

【答案】A

【分析】先由幂函数求出的值，再根据函数的单调性确定答案.

【详解】由于函数是幂函数，

所以或.

当时，在上不是减函数，所以舍去.

当时，在上是减函数.

故选A

【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2．如果点M(sin θ，cos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据第二象限横坐标为负，纵坐标为正即可判断出，再结合任意角三角函数在各象限的正负号，即可判断出答案.

【详解】∵M(sin θ，cos θ)位于第二象限，∴

∴θ为第四象限角.

故选：D.

3．设，若有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题关键是画出函数大致图象，然后根据题意有三个不同的实数根，等价于函数与的交点来判断a的取值范围．

【详解】解：由题意，函数大致图象如下：

由图形，若有三个不同的实数根，

等价于函数与有三个不同的交点，由图可知a必须．

故选：C．

【点睛】本题主要考查数形结合法的应用，以及根据图象来判断方程的实数根问题，将代数问题转化为图形问题．本题属中档题．

4．将函数(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【分析】根据题意写出变换后的函数解析式，再将点带入解析式，即可求出答案.

【详解】将函数(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为.

由所得图象经过点可得.

所以，即.

又ω＞0，故ω的最小值是2.

故选：D.

5．设函数，若存在实数，满足，则，，的关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用基本不等式可得以,，结合，从而可得结果.

【详解】，

即，

所以,

又，

所以,

又因为，

，故选B.

【点睛】本题考查对数函数单调性以及基本不等式性质，考查基本分析判断能力.

6．函数（e为自然对数的底数）的部分图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，即可排除BD，最后利用特殊值，排除C，即可判断；

【详解】解：因为，令，解得，故函数的定义域为，，故函数为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除BD；

又，因为，，所以，即，故排除C

故选：A

7．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额－综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，专项扣除指基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等，税率与速算扣除数见表：

老王全年综合所得收入为200000元，缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么老王全年应缴纳综合所得个税为（       ）

A．1279.2元 B．1744元 C．3079.2元 D．7744元

【答案】B

【解析】先根据已知求出专项扣除总额，然后再求出应纳税所得额，进而可以求出个税税额．

【详解】解：专项扣除总额为：元，

应纳税所得额为：元，

个税税额为：元，

故选：B

8．已知函数满足，且当时，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用周期性求出后可求的值.

【详解】因为，故，故，

故，所以，

故选：B.

二、多选题

9．若，，则下列说法正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】先将，化为对数式，然后计算可判断A；比较与的大小可判断B；做差比较与8的大小可判断C；比较与的大小可判断D.

【详解】由题设知，，

，A正确；

，B错误；

因为，，，

由

，

所以， C正确；

因为，

由B选项知，所以，D正确；

故选：ACD.

【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查对数式的大小比较及对数的运算，解题关键点是由指数式化为对数式然后再分别计算，考查了学生的运算能力.

10．函数，下列关于该函数结论正确的是（       ）

A．的一个周期是 B．的图象关于直线对称

C．的最大值为2 D．是上的增函数

【答案】ABD

【解析】对于A，只需判断是否成立即可，对于B，只需判断是否成立即可，对于C，由，则可判断，对于D，利用复合函数的单调性判断即可

【详解】解：因为，所以的一个周期是，所以A正确；

因为所以的图象关于直线对称，所以B正确；

因为，所以，所以，所以C错误；

当时，且单调递增，所以在 上为增函数，同理可判断在 上为增函数，所以是上的增函数，所以D正确，

故选：ABD

11．关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则实数的值可以是（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】BC

【解析】求出不等式的解，分析其中只有5个整数解，得的不等式，解之，然后判断各选项可得．

【详解】易知，即，解原不等式可得，

而解集中只有5个整数，则，解得，只有BC满足．

故选：BC．

12．已知为定义在上且周期为5的函数，当时，.则下列说法中正确的是（       ）

A．的增区间为，

B．若与在上有10个零点，则的范围是

C．当时，的值域为，则的取值范围

D．若与有3个交点，则的取值范围为

【答案】BC

【解析】首先作出的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A不正确；利用数形结合可判断选项B、C；举反例如时经分析可得与有3个交点，可判断选项D不正确，进而可得正确选项.

【详解】

对于选项A：单调区间不能用并集，故选项A不正确；

对于选项B：由图知若与在上有10个零点，则的范围是，

故选项B正确；

对于选项C：，，由图知当时，的值域为，则的取值范围，故选项C正确；

对于选项D：当时，直线为过点，也过点，当时，，直线过点，而点不在图象上，由图知：当时，直线为与有3个交点，由排除法可知选项D不正确，

故选：BC

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、填空题

13．函数的定义域为_________.

【答案】

【分析】根据幂函数的定义域以及对数函数的定义域列不等式组求解即可.

【详解】要使函数有意义，

必须满足，解得，

函数的定义域为，

故答案为.

【点睛】本题主要考查幂函数与对数函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.

14．半径为3，圆心角为150°的扇形的弧长为_______.

【答案】

【分析】利用计算即可得出答案.

【详解】设扇形的弧长为l，因为150°＝rad，所以×3＝.

故答案为：

15．已知实数a，b满足，，则_______.

【答案】6

【解析】先将化为，令，得到，根据函数的单调性，结合题中条件，即可得出结果.

【详解】由可得，则，

所以，则；

又，令，则，

因为函数与都是单调递增函数，所以显然是单调递增函数，

所以，因此.

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数，则是________函数（从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空），不等式的解集为________.

【答案】     奇    

【解析】，计算得到得到答案，化简得到，根据函数单调性得到答案.

【详解】函数单调递增，故单调递增；

，函数单调递增；

，故是奇函数；

，即.

故，解得.

故答案为：奇；.

【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

五、解答题

17．已知集合B={x|(x-m)(x-m-6)≤0}，其中m∈R.

（1）当m=2时，求A∪B；

（2）若“x∈A”是“”的充分条件，求m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）分别求出集合与集合，当时再进行并集运算即可求解；

（2）先求出集合与集合，由题意可得A是B的补集的真子集，结合数轴即可求解.

【详解】

（1）当时，

所以

（2）因为“”是“”的充分条件，所以，

又或，

所以或，即或，

所以实数的取值范围为.

【点睛】结论点睛：集合的观点分析充分

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

18．已知函数， 其中a>0且a≠1，b>0且b≠1；

（1）若f(x)为偶函数，试确定a， b满足的等量关系；

（2）已知，试比较f(n)和的大小关系，并证明你的结论.

【答案】（1）；（2）；证明见解析.

【解析】（1）若是定义在R上的偶函数，可得，代入解析式可得，从而可得，再根据偶函数的定义进行判断即可.

（2）利用作差法：，再利用作差法比较与的大小即可求解.

【详解】（1）因为是定义在R上的偶函数，所以，

即，所以，

由，由题知，所以，

此时，

因为函数是定义域为R，关于坐标原点对称，

又，所以是偶函数.

故当时，满足题意.

综上：.

（2）

因为，

所以

即，所以.

即.

19．如图，某公园摩天轮的半径为40，圆心O距地面的高度为50，摩天轮做匀速转动，每3转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.

（1）已知在时点P距离地面的高度为，求时，点P距离地面的高度；

（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.

【答案】（1）70；（2）0.5.

【解析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可；（2）要求，即，解不等式即可.

【详解】（1）依题意，，，，

由得，所以.

因为，所以，又，所以.

所以，

所以.

即时点P距离地面的高度为70m.

（2）由（1）知.

令，即，

从而，

∴.

∵，

∴转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌.

【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是能根据题目条件，得出相应的函数模型，作出正确的示意图，然后再由三角函数中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，是中档题．

20．已知函数，其中b∈R.

(1)若m=b=2，且时，f(x)的最小值是-2，求实数a的值；

(2)若m=2，0<a<1，且时，f(x)≤0恒成立，求实数b的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将m=b=2代入，利用对勾函数性质求出的最值，再分类讨论并借助单调性求解作答.

（2）把m=2代入，对不等式作等价变形，分离参数构造函数，利用单调性求出函数最值作答.

【详解】(1)当m=b=2时，，，

函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，

当时，，当时，，因此，当时，，

若，则在上单调递增，因此当时，，即，解得，矛盾，

若，则在上单调递减，因此当时，，即，解得，则，

所以实数a的值是.

(2)当m=2时，，成立，

因，在上单调递减，于是得，成立，

当时，在上单调递减，当时，，则，

所以实数b的取值范围为.

21．已知函数的最大值为2，其图象与y轴交点为.

（1）求的解析式；

（2）求在上的单调增区间；

（3）对于任意的，恒成立，求实数m用的取值范围.

【答案】（1）；（2）和；（3）.

【解析】（1）先由最值，求出，再由函数过点，求出，即可得出函数解析式；

（2）根据正弦函数的单调性，即可求出函数在区间上的增区间；

（3）先由，得到，令，将问题化为在时恒成立，进而可求出结果.

【详解】（1）因为最大值为2，所以．

因为过点，所以，又因为，所以．

所以．

（2）因为，

所以．

当时，；当时，．

又因为，

所以在上的单调增区间是和．

（3）因为，所以，

所以．

令，则在时恒成立，

即在时恒成立，

令，，

任取，则，，所以，即，

所以在上单调递减，则，

所以只需，

即实数m用的取值范围是.

【点睛】思路点睛：

求解含三角函数的二次型不等式恒成立的问题时，一般需要先根据三角函数的性质，确定所含三角函数的值域，再由换元法，将问题转化为一元二次不等式的形式，进行求解.

22．已知函数，.

(1)求的值；

(2)若方程在区间上有唯一的实数解，求实数的取值范围；

(3)对任意，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意得的值，代入求解即可；

（2）根据题意得，所以，

根据零点位置和区间端点位置判断即可求解；

（3）根据题意得，

化简得，构造求解即可.

【详解】(1)因为，所以

(2)由，得，即，

即，因式分解得，

解得或，

因为方程在区间上有唯一的实数解，

注意到，

所以或解得，或.

所以的取值范围是.

(3)由，

所以，

整理得 ①

因为①式对任意恒成立，

所以恒成立，

所以，

整理得，即   ②

记，

因为②式在上恒成立，所以恒成立，

令，因为，

当且仅当时，等号成立，所以

则，

当且仅当时，等号成立，所以.

所以，即，所以实数的取值范围是.