2022年普通高中学业水平模拟试卷六（含答案）

2022年普通高中学业水平模拟试卷六

一、选择题

1.已知集合A={(x，y)|x2＋y2=1}，B={(x，y)|y=x}，则A∩B中元素的个数为(　　)

A.3         B.2            C.1              D.0

2.sin·cos·tan的值是（         ）             

A.-                                  B.                                   C.-                                 D.

3.函数f(x)=(x-)0的定义域为(    )

A.(2，-1.5)     B.(-2，+∞)    C.(1.5，+∞)      D.(-2，1.5)∪(1.5,+∞)

4.等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则a6=(　　)                                         

A.16               B.32            C.64                           D.128

5.AC为平行四边形ABCD的一条对角线，=(2,4)，=(1,3)，则=(　　)

A．(2,4)　       B．(3,7)       C．(1,1)         D．(－1，－1)

6.已知sin=，则cos的值是(　　)

A．－           B.          C.           D．－

7.下列双曲线中，渐近线方程不是y=±x的是(　　)

A.－=1       B.－=1        C.－=1         D.－=1

8.当0<x<3时，下列大小关系正确的是(　　)

A．x3<3x<log3x         B．3x<x3<log3x      C．log3x<x3<3x         D．log3x<3x<x3

9.已知集合A={1，a}，B={1,2,3}，则“a=3”是“A⊆B”的(　　)

A.充分不必要条件        B.必要不充分条件

C.充要条件           D.既不充分又不必要条件

10.在△ABC中，∠C=60°，AC=2，BC=3，那么AB=(　　)

A.          B.        C.          D.2

11.不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a-b-1)；③a2＋b2≥ab恒成立的个数是(　　)

A．0       B．1       C．2       D．3

12.下列函数中，存在最小正周期的是(　　)

A.y=sin|x|         B.y=cos|x|      C.y=tan|x|          D.y=(x2＋1)0

13.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　 　)

A.f(x)=－x3   B.f(x)=＋x3    C.f(x)=－x3   D.f(x)=＋x3

14.若－4<x<1，则f(x)=(　　)

A.有最小值1    B.有最大值1    C.有最小值－1    D.有最大值－1

15.若角α的终边过点A(2,1)，则sin=(　 　)

A.－       B.－        C.          D.

16. “∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是(　　)

A.∀x∈R，x2－πx＜0

B.∀x∈R，x2－πx≤0

C.∃x0∈R，x－πx0≤0

D.∃x0∈R，x－πx0＜0

17.指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数，则函数g(x)=(a－2)x2在R上的单调性为(　　)

A.单调递增

B.单调递减

C.在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增

D.在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减

18.若tan α=lg(10a)，tan β=lg a，且α－β=，则实数a的值为(　　)

A.1         B.        C.1或         D.1或10

19.过点C（-1，1）和D（1，3），圆心在x轴上的圆的方程为（   ）

A.x2+(y-2)2=10          B.x2+(y+2)2=10

C.(x+2)2+y2=10          D.(x-2)2+y2=10

20.先把函数f(x)=sin的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g(x)的图象.当x∈时，函数g(x)的值域为(　　)

A.      B.        C.     D.[－1,0)

21.函数y=的值域为(　 　)

A.(－∞，1)     B.(,1)     C.[,1)          D.[,+∞)

22.有下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；

④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．

其中真命题的个数是(　　)

A．1         B．2           C．3             D．4

23.sin cos 的值等于(　　)

A.          B.             C.            D.

24.已知i为虚数单位，若复数z=(a∈R)的虚部为－3，则|z|=(　 　)

A.        B.2       C.        D.5

25.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2=16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)

A.(x－5)2＋(y＋7)2=25

B.(x－5)2＋(y＋7)2=9

C.(x－5)2＋(y＋7)2=15

D.(x＋5)2＋(y－7)2=25

26.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为(　　)

A.         B.          C.         D.

27.斜率为的直线与双曲线－=1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)

A.[2，＋∞)      B.(，＋∞)     C.(1，)        D.(2，＋∞)

28.已知非零向量a，b满足a·b=0，|a|=3，且a与a＋b的夹角为，则|b|=(　　)

A．6             B.3           C．2            D．3

29.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为(　　)

A.4∶3           B.3∶1           C.3∶2           D.9∶4

30.不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是(  　)

二              、填空题

31.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为____________．

32.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x3-ln x,则曲线y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为　　　　.

33.如图所示，在一个边长为5cm的正方形内部画一个边长为3cm的小正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率为       。

34.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为________.

三              、解答题

35.在数列{an}中，a＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，且a1=2，a2=5.

(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

36.已知双曲线C：x2－y2=1及直线l：y=kx－1.

(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值.

37.如图所示，在△ABC中，C=，·=48，点D在BC边上，且AD=5，

cos∠ADB=.

(1)求AC，CD的长；

(2)求cos∠BAD的值.

38.如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，

F是BE的中点.

求证：

(1)FD∥平面ABC；

(2)AF⊥平面EDB.

0.答案解析

1.答案为：B

解析：集合A表示以原点O为圆心，以1为半径的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y=x上的所有点的集合.由图形可知，

直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.

2.A

3.答案为：D

4.C.                                         

5.答案为：D.

解析：∵=－=(－1，－1)，∴==(－1，－1)．

6.答案为：A；

解析：∵sin=，∴cos=cos=－sin=－，故选A.

7.答案为：D；

8.答案为：C

解析：

在同一坐标系中作出函数y=x3，y=3x，y=log3x，x∈(0，3)的图象，由图象可得当x∈(0，3)时，大小关系是log3x<x3<3x，故选C．

9.答案为：A；

解析：因为A={1，a}，B={1,2,3}，若a=3，则A={1,3}，所以A⊆B，所以a=3⇒A⊆B；

若A⊆B，则a=2或a=3，所以A⊆B⇒/ a=3，所以“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件.

10.答案为：C；

解析：由余弦定理得AB2=22＋32－2×2×3×cos 60°=7，∴AB=，故选C.

11.答案为：D；

解析：①a2＋2-2a=(a-1)2＋1>0，故①正确；

②a2＋b2-2(a-b-1)=a2-2a＋b2＋2b＋2=(a-1)2＋(b＋1)2≥0，故②正确；

③a2＋b2-ab=a2-ab＋b2＋b2=2＋b2≥0，故③正确，故选D.

12.答案为：B

解析：A：y=sin|x|=不是周期函数；

B：y=cos|x|=cos x，最小正周期T=2π；

C：y=tan|x|=不是周期函数；

D：y=(x2＋1)0=1，无最小正周期.故选B.

13.答案为：A；

解析：由图可知，函数图象的渐近线为x=，排除C，D，

又函数f(x)在，上单调递减.

而函数y=在，上单调递减，y=－x3在R上单调递减，

则f(x)=－x3在，上单调递减，故选A.

14.答案为：D.

解析：f(x)==(x-1+)，又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0.

∴f(x)≤－1.当且仅当x－1=，即x=0时等号成立.

15.答案为：A；

解析：根据三角函数的定义可知cosα==，则

sin=－cosα=－，故选A.

16.答案为：D；

解析：全称命题的否定是特称命题，

所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x－πx0＜0”.故选D.

17.答案为：D

解析：因为指数函数f(x)=ax在R上是减函数，则0<a<1，所以－2<a－2<－1，

故函数g(x)=(a－2)x2开口向下，故g(x)在区间(－∞，0)上递增，

在区间(0，＋∞)上递减.

18.答案为：C；

解析：因为α－β=，所以tan(α－β)=1，

又因为tan α=lg(10a)，tan β=lg a，

所以==1，所以lg2a＋lg a=0，

所以lg a=0或lg a=－1，即a=1或.

19.D；

20.答案为：A

解析：依题意得g(x)=sin=sin，当x∈时，

2x－∈，sin∈，

此时g(x)的值域是.故选A.

21.答案为：C.

解析：因为x2≥0，所以x2＋1≥1，即∈(0,1]，故y=∈[,1).

22.答案为：A；

解析：

命题①，l可以在平面α内，是假命题；

命题②，直线a与平面α可以是相交关系，是假命题；

命题③，a可以在平面α内，是假命题；

命题④是真命题．

23.答案为：B；

解析：原式=sin =.

24.答案为：C.

解析：因为z====－i，

所以－=－3，解得a=5，所以z=－2－3i，所以|z|==.

25.答案为：A.

解析：设动圆圆心为P(x，y)，则=4＋1，

∴(x－5)2＋(y＋7)2=25.故选A.

26.答案为：A；

27.答案为：D

解析：本题考查利用双曲线的性质解决直线与双曲线的位置关系问题．

双曲线－=1的渐近线方程为y=±x，∴>，∴b>a，∴b2>3a2，

∴c2－a2>3a2，∴e2－1>3，∴e>2，故选D.

28.答案为：D；

解析：因为a·(a＋b)=a2＋a·b=|a||a＋b|·cos ，

所以|a＋b|=3，将|a＋b|=3两边平方可得，a2＋2a·b＋b2=18，解得|b|=3，故选D.

29.答案为：C.

解析：作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h=3R，圆锥底面半径r=R，

则l==2R，所以 ===.]

30.答案为：C.

解析：由y(x＋y－2)≥0，得

或所以不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项.

31. [答案]{-1,0,3}

32.答案为：2；

解析：因为当x>0时,f(x)=x3-ln x,所以当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3-ln(-x),因为函数f(x)为奇函数,所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=x3+ln(-x),则f'(x)=3x2+,所以f'(-1)=2,所以曲线y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为2.

33.

34.答案为：(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)

解析：由函数图象可知f′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，

f′(x)<0的解集为(－1,1).

由(x2－2x－3)f′(x)>0，得　①或　②

解①得x<－1或x>3；解②得－1<x<1.

∴不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞).

故答案为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞).

35.解：(1)证明：∵a＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，

∴(an＋1＋1)2=(an＋1)(an＋2＋1)，

即=.

∵a1=2，a2=5，∴a1＋1=3，a2＋1=6，∴=2，

∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)知，an＋1=3·2n－1，

∴an=3·2n－1－1，

∴Sn=－n=3·2n－n－3.

36.解：(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，

则方程组有两个不同的实数根，

整理得(1－k2)x2＋2kx－2=0，

所以解得－＜k＜且k≠±1.

即双曲线C与直线l有两个不同的交点时，

k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，).

(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)，由(1)知，

C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2=0，

所以

当A，B在双曲线的一支上且|x1|＞|x2|时，

S△OAB=S△OAD－S△OBD=(|x1|－|x2|)=|x1－x2|；

当A，B在双曲线的两支上且x1＞x2时，

S△OAB=S△ODA＋S△OBD=(|x1|＋|x2|)=|x1－x2|.

所以S△OAB=|x1－x2|=，

所以(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4x1x2=(2)2，

即2＋=8，解得k=0或k=±.

又因为－＜k＜，且k≠±1，

所以当k=0或k=±时，△AOB的面积为.

37.解：(1)在△ABD中，∵cos∠ADB=，∴sin∠ADB=.

∴sin∠CAD=sin(∠ADB－∠ACD)

=sin∠ADBcos－cos∠ADBsin

=×－×=.

在△ADC中，由正弦定理得==，

即==，解得AC=8，CD=.

(2)∵·=48，∴8·CB·=48，

解得CB=6，∴BD=CB－CD=5.

在△ABC中，

AB==2.

在△ABD中，

cos∠BAD==.

38.证明：(1)因为F是BE的中点，取BA的中点M，连接FM，MC，

则FM∥EA，FM=EA=a，

因为EA、CD都垂直于平面ABC，

所以CD∥EA，

所以CD∥FM，

又CD=a=FM，

所以四边形FMCD是平行四边形，

所以FD∥MC，

FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC，

所以FD∥平面ABC.

(2)因为M是AB的中点，△ABC是正三角形，

所以CM⊥AB.

又EA垂直于平面ABC，

所以CM⊥AE，

又AE∩AB=A，

所以CM⊥平面EAB，

因为AF⊂平面EAB，

所以CM⊥AF，

又CM∥FD，从而FD⊥AF，

因为F是BE的中点，EA=AB，

所以AF⊥EB.

EB，FD是平面EDB内两条相交直线，

所以AF⊥平面EDB.