2022届陕西省汉中市十校高三下学期第二次联考数学（文）试题含解析

2022届陕西省汉中市十校高三下学期第二次联考

数学（文）试题

一、单选题

1．（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

【详解】复数．

故选：B．

【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．

2．集合，，则A∩B=（       ）

A．{1} B．{0，2} C．{0，1，2} D．{1，2}

【答案】B

【分析】根据题意求出集合B，再求两集合的交集即可

【详解】∵集合，，

∴集合，则．

故选：B

3．某人从甲地去乙地共走了600m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（       ）

A．100m B．120m C．160m D．200m

【答案】D

【分析】由题可知物品不掉在河里的概率为，根据与长度相关的几何概型即可计算.

【详解】由已知易得物品遗落在河里的概率，∴=200(m)．

故选：D.

4．设向量，，若，则k=（       ）

A． B． C．1 D．－1

【答案】C

【分析】求出向量的坐标，根据数量积为零列出方程，求得答案.

【详解】由，,

由题意可知，可知，

则，解得，

故选：C

5．已知，则（       ）

A．-1 B．0 C． D．1

【答案】A

【解析】首先利用两角和差公式，展开化简求得，再用表示.

【详解】，

，

即，所以，

.

故选：A

【点睛】本题考查三角恒等变形，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型.

6．设，，，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数的单调性判断的大小.

【详解】由，指数函数在上单调递增，因为，且，即．

故选：D.

7．将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则

A． B．的图象关于对称

C． D．的图象关于对称

【答案】B

【详解】由已知可得 ，故选B.

8．明朝程大位的《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊已庚，七人钱本不均分，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊已庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”大意是：“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据题目的已知条件，乙有（       ）

A．122钱 B．115钱 C．108钱 D．107钱

【答案】B

【分析】设公差为，七人的钱依次为，，，，，，，由题意可得，解得即可．

【详解】因为七人的钱数为等差数列，

设公差为，七人的钱依次为，，，，，，，

由题意可得，

解得，，

∴乙的钱数为101－2×(－7)＝115.

故选：B.

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大棱长为（       ）

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】D

【分析】在长方体中还原该几何体，然后可得答案.

【详解】

由题知，该几何体可以扩为长方体ABCD－A1B1C1D1，，

其中三棱锥A1－ABC为该几何体，最大棱长A1C=7．

故选：D

10．已知M是抛物线C：上的一点，F为抛物线C的焦点，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，)，则点M的横坐标为（       ）

A．－3 B．－2 C．－4 D．－2

【答案】A

【分析】设，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，)，所以有，求出，又因为M是抛物线C上的一点，代入抛物线方程即可求出答案.

【详解】设，因为以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，)，由抛物线性质知，则，代入抛物线C：，得．

故选：A.

11．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则双曲线离心率的范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出两点的纵坐标，由是锐角三角形可得，从而得到关于离心率的不等式，求得答案.

【详解】在双曲线中，

令，得，

所以两点的纵坐标分别为，

由是锐角三角形，

可得，即，

所以有，

而在双曲线中有

所以，即，

同除得，，

解得，

又，

所以，

故，

故选A.

【点睛】本题考查根据几何性质求双曲线的离心率的范围，属于中档题.

12．设点M(，)和点N(，)分别是函数和图象上的点，且，，若直线MN∥x轴，则M，N两点间的距离的最小值为(       )

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】令，，求出其导函数，求得的最小值大于0，由此可知x≥0时，f(x)图像在g(x)图像上方，则M、N两点间距离为，其最小值为h(x)在x≥0时的最小值．

【详解】令，，则，

时，，单调递减，

时，，单调递增，

故x≥0时，，

∴x≥0，h(x)＞0，即，即，即f(x)＞g(x)，即f(x)图像始终在g(x)图像上方.

由题可知，MN∥x轴时，，则，则，则，

则M，N两点间的距离为，.

根据可知，M，N两点间的距离的最小值即为.

故选：D.

【点睛】本题关键是判断f(x)与g(x)图像在x≥0时的情况，通过构造函数h(x)＝f(x)－g(x)可以判断f(x)图像在g(x)图像上方，由此正好将M、N之间的距离转化为函数h(x)的函数值，h(x)函数值的最小值即为M、N之间距离的最小值.

二、填空题

13．已知函数，则____________．

【答案】

【分析】分别计算即可.

【详解】．

故答案为：.

14．若x，y满足，则的最大值为_____________.

【答案】

【分析】根据约束条件得到可行域，分析要使有最大值，等价于在可行域上有交点的情况下函数与轴的截距最小，数形结合，即可求得答案.

【详解】x，y满足

根据约束条件画出可行域

联立方程：，解得，，故可得

根据图象可得当经过时，函数与轴的截距最小

此时取最大值，

故答案为：（或）.

15．已知数列满足，，则数列{}的前9项和为______________．

【答案】8149

【分析】利用通项公式求出，然后利用错位相减求和即可.

【详解】由题可知：，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，

所以，设的前9项和为，的前9项和为

所以①，

②，

①-②得，

所以

．

故答案为：8149.

16．已知棱柱中，平面，，∥，，则直线与直线所成的角的正切值为___________．

【答案】

【分析】连接交于点，连接，取中点，连接，易知是与所成的角或其补角，求出△三条边即可.

【详解】如图，

连接交于点，连接，取中点，连接，

由题可知是中点，∥，是与所成的角或其补角，

可求得，

∵∥，，∴∠，

又，∴∠，∴∠，

∴在△中易得，同理易得，

∴，，.

故答案为：.

三、解答题

17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，

(1)求C；

(2)若，且△ABC面积为，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）利用和差的正弦公式，即可求；（2）若，且面积为，求出，，三角形外接圆的直径，即可求的值.

试题解析：（1）在中，由，可得，又.

在中，由余弦定理可知，则，又，可得，那么.可得.由正弦定理.可得.

18．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表.成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20＋18＋4＝42．

(1)若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；

(2)在地理成绩及格的学生中，已知，，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．

【答案】(1)14，17；

(2).

【分析】(1)在该样本中，由数学成绩优秀率是，能求出，的值；

(2)，，，数学成绩优秀的人数比及格的人数少时a＋5＜b，利用列举法即可求解．

【详解】(1)，解得，

∴；

(2)，

∵，，

∴(a，b)可能为：

，，，，，，，，，

，，，，，共有14种．

设，，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A，

A事件满足：7＋9＋a＜5＋6＋b，即a＋5＜b，

事件A包括：，，共2个基本事件；

∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为．

19．是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，且，平面平面．

（1）求证：；

（2）若点E是线段上的一个动点，问点E在何位置时三棱锥的体积为．

【答案】（1）证明见解析；（2）为中点

【分析】（1）先根据面面平行的性质得到平面进而得到，再根据线面平行的判定得出平面，进而得到；

（2）以为底面，设可得到平面的距离为，再根据锥体体积公式求解即可

【详解】（1）四边形是直角梯形，，，，

，，即

平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面

，又，平面，平面，，

平面，平面

（2）由（1）平面，，设，则到平面的距离为，

是等腰直角三角形，，，

，即，解得

故为中点

【点睛】（1）证明线线垂直可先证明线面垂直，在证明线面垂直的过程中经常又用到线线垂直的判定和线面垂直的性质；

（2）求锥体体积要选好底面，顶点在线段上时可用比例的方法求体积

20．已知函数，其中为自然对数的底数．

(1)求函数的单调区间，并求图象在(0，f(0))处的切线方程；

(2)当时，证明：．

【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为；切线方程为

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，利用导数正负判断单调性，利用导数的几何意义求切线方程即可.

（2）将所证明式子变形，利用第一小问结论，同时构造不等式，对其进行证明，将两式相加即可证明.

【详解】(1)解：由

由．得，由，得．

∴函数的单调减区间为，单调增区间为

由

得函数图象在处的切线方程为．

(2)证明：要证；即证．

令

由（1），当时，，即．①．

令，则．

当时，；时，

∴在上为减函数，在上为增函数

∴当时，，即．②

①②两式相加得

即，原式得证．

21．如图，已知椭圆C：经过点(1，)，且离心率等于，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，M，N是椭圆C上不同于顶点的两点，且MN与x轴不垂直．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点A作交椭圆C于点P，若，求△OMN的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意得到方程组，求出、，即可得到椭圆方程；

（2）设直线AP的方程为，联立直线与椭圆方程，即可求出，，从而得到，则，再设，，直线MN的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，再根据得到，最后根据计算可得；

【详解】(1)解：由题意得，，

解得，故椭圆C的方程为：．

(2)解：设直线AP的方程为

代入得，它的两个根为－2和，

可得，从而．

因为，所以

设，，

因直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为，代人

得

则，

化简得

∴△OMN的面积等于

22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是，圆C的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线l和圆C的极坐标方程；

(2)射线OM：(其中)与圆C交于O，P两点，将射线OM逆时针旋转与直线l交于点Q，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)(0，]

【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式求解即可，

（2）由题意利用极坐标求出，则可求出，然后利用三角函数的性质可求出其范围

【详解】(1)直线l的极坐标方程分别是，

由，得，则

所以圆C的极坐标方程分别是

(2)由题意得，

所以，

因为，所以，所以，

所以的取值范围是(0，]

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由，分， ，求解；

（2）由，利用三角不等式证明.

【详解】(1)解：∵时，

∴当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时无解；

综上： 的解集为．

(2)证明：

，

又，

当时，取“=”

∴