2023届江西省九江十校高三第二次联考数学（文）试题含解析

2023届江西省九江十校高三第二次联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合|，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合M，再利用集合的并集运算求解.

【详解】解：因为，，

所以，

故选：B．

2．若复数（是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用复数除法求出，根据共轭复数定义写出，然后计算出，得到虚部.

【详解】复数是虚数单位）的共轭复数是，

，，

，

则的虚部是.

故选：D

3．2022年三九天从农历腊月十八开始计算，也就是2023年1月9日至17日，是我国北方地区一年中最冷的时间．下图是北方某市三九天气预报气温图，则下列对这9天判断错误的是（    ）

A．昼夜温差最大为12℃ B．昼夜温差最小为4℃

C．有3天昼夜温差大于10℃ D．有3天昼夜温差小于7℃

【答案】C

【分析】直接看图求出每天的昼夜温差即可判断得解.

【详解】A. 1月11日昼夜温差最大为12℃，所以该选项正确；

B. 1月15日昼夜温差最小为4℃，所以该选项正确；

C. 1月11日、1月16日有2天昼夜温差大于10℃，所以该选项错误；

D. 1月9日、1月14日、1月15日有3天昼夜温差小于7℃，所以该选项正确.

故选：C

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.

【详解】由已知，化简得．

平方得，

所以．

故选：A．

5．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断函数的奇偶性，并判断时，函数值的正负，即可判断选项.

【详解】，

定义域为，关于原点对称，

由，

所以为奇函数，排除；

当时，，，故，排除.

故选：.

6．在中，，，若D是BC的中点，则（    ）

A．1 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】运用向量的加法、相反向量、向量的数量积运算即可得结果.

【详解】∵D为BC的中点，

∴，，

∴

∴．

故选：B.

7．已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数的一个零点是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，得到周期为，进而得到，再利用平移变换得到图象，然后根据图象关于y轴对称，求得解析式即可.

【详解】解：由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为，

所以，所以．

将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象．

因为得到的图象关于y轴对称，

所以，，即，．

又，

所以，

所以．

由得，，即．

故选：B．

8．设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用导数判断出的单调性，由此求得不等式的解集.

【详解】设，

，即，

，

在上单调递减，又，

不等式，

即，，

原不等式的解集为.

故选：D

【点睛】有关函数及其导数有关的不等式问题，求解方法是通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性、极值和最值等进行研究，由此对问题进行求解.

9．在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径，则（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

【答案】B

【分析】由题知，，进而得，即，再结合正弦定理求解即可.

【详解】∵是锐角三角形，在上的投影长等于的外接圆半径，

，

又，，，

，

两式相加得：，即，

，即，

又，，.

故选：B.

10．已知是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，结合该函数的最大值，赋值进行判断.

【详解】构造函数，，

所以，

令，得，

所以在上，单调递增，

在上，单调递减，

所以

所以，

所以，，，

所以，，，

所以，，，

所以，，

所以，，，

所以，，，故B错误，C正确，D错误；

所以，故A错误；

故选：C

11．已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦AB的长为8．过此动圆圆心轨迹C上一个定点引它的两条弦PS，PT，若直线PS，PT的倾斜角互为补角，记直线ST的斜率为k，则（    ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据已知先求出动圆圆心轨迹C的轨迹方程，代入点求出，根据直线PS，PT的倾斜角互为补角，斜率互为相反数关系求出k，从而得出结果.

【详解】设动圆圆心的坐标为C，已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦AB的长为8，

则．

整理得，，

故动圆圆心的轨迹C的方程为．

因此，．

当时，，

设，，则有，．

于是就是，

所以．此时直线ST的斜率，故．

同理可得，当时，直线ST的斜率．

故．

故选：C．

12．已知正方体的棱长为1，，分别是棱和棱的中点，为棱上的动点（不含端点）.①三棱锥的体积为定值；②当为棱的中点时，是锐角三角形；③面积的取值范围是；④若异面直线与所成的角为，则.以上四个命题中正确命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】结合判断①；设中点为，若为中点，证明即可判断②；在侧面内作垂足为，设到的距离，故面积为，进而判断③；取中点为，连接，进而得异面直线与所成的角即为，再讨论范围即可.

【详解】解：因为，点到平面的距离为定值，是定值，则三棱锥的体积为定值，故①选项正确；

设中点为，若为中点，

由正方体的性质，有，，，平面

所以平面，平面，则，

因为，所以，

所以是直角三角形，故选项②不正确；

在侧面内作垂足为，设到的距离，

则边上的高为，故其面积为，

当与重合时，，，

当与重合时，，，故选项③正确；

取中点为，连接，因为，

所以异面直线与所成的角即为，

在直角三角形中，，当为中点时，，

当与，重合时，，故，，所以选项④正确，

故命题正确的个数为3.

故选：C.

二、填空题

13．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为_____．

【答案】∃x∈R，x2﹣x+1≤0．

【详解】试题分析：利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．

故答案为∃x∈R，x2﹣x+1≤0．

【解析】命题的否定．

14．过点作斜率为k的直线l交双曲线于，两点，线段的中点在直线上，则实数k的值为______．

【答案】/

【分析】联立得到韦达定理，解方程，再检验即得解.

【详解】由题意可设l的方程为．联立消去y得，．

显然．设，，则，解得．

由得，显然不适合，适合．

故答案为：

15．已知圆锥的轴截面为等边三角形，是底面的内接正三角形，点在上，且.若平面，则实数__________.

【答案】/

【分析】延长交圆于点，设，求出三边边长，分析可知，利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可.

【详解】如图，延长交圆于点，

由题意可知，、均为等边三角形，

设，由正弦定理可得，则，

易知为的中点，则，，

则，，

因为平面，平面，所以，，

在中，由勾股定理得，即，解得.

故答案为：.

16．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，，且，则__________.

【答案】

【分析】首先求出函数的导函数，依题意得到，从而得到，即可得到为等差数列，从而得解.

【详解】，，

，

，

即，又，

数列为等差数列，公差为，首项为1，

.

故答案为：.

三、解答题

17．设数列的前项和为，，是等比数列，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用与之间的关系，可得数列的通项公式；

（2）利用等比数列的通项公式可得，利用裂项相消法与分组求和法可得.

【详解】（1），

当时，，

当时，，

，

当时，符合上式，

故数列的通项公式为；

（2）由（1）得，则，

，，

在等比数列中，公比，，

，

数列的前项和.

18．某省电视台为及时向人民群众传达二十大精神，在二十大召开期间，决定调整播放节目.现对收看曲艺节目和新闻节目观众的喜爱与否作抽样调查，随机抽取了100名电视观众，相关数据统计如下表所示：

(1)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，则女性观众应该抽取几名？

(2)在上述抽取的5名观众中任取2名参加座谈会，求恰有1名男性观众的概率；

(3)试判断是否有的把握认为，性别与喜爱节目的类型有关？

参考公式：.其中.

参考数据：

【答案】(1)2名

(2)

(3)有的把握认为，性别与喜爱节目的类型有关

【分析】（1）利用分层抽样的计算公式进行求解；

（2）结合（1）中数据，利用古典概型概率公式求解；

（3）结合题干数据和公式，算出，然后得出结论.

【详解】（1）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，

则女性观众应该抽取名.

（2）由（1）得5人中由男性观众3人，女性观众2人，

根据古典概型概率公式：任取2名参加座谈会，恰有1名男性观众的概率为.

（3）根据题目所给数据得到如下的列联表：

，

所以有的把握认为，性别与喜爱节目的类型有关.

19．如图，四边形是正方形，是矩形，平面平面，，是上一点，且.

(1)当时，求证：平面平面；

(2)当时，求直线与平面所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知根据面面垂直的性质定理可得平面，进而得出.根据勾股定理证明，然后证明平面，即可根据面面垂直的定义，得出证明；

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标.求出平面的法向量和，即可根据向量法求出夹角的正弦值，根据正余弦的关系，得出余弦值.

【详解】（1）因为四边形是正方形，

所以.

又平面平面，且平面平面，

所以平面.

因为平面，所以.

当时，为的中点，

此时，，则，

所以，

，

所以有，所以.

又，平面，平面，

所以平面.

因为平面，

所以，平面平面.

（2）

以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图建立空间直角坐标系，

由已知，可得，

所以，，，，

所以，，，.

设平面的一个法向量为，

则有，

取，得.

设与平面所成角为，

则，

所以.

所以与平面所成角的余弦值为.

20．已知为椭圆上一点，过点引圆的两条切线､，切点分别为，直线与轴､轴分别交于点､.

(1)设点坐标为，，求直线的方程；

(2)求面积的最小值为坐标原点）.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求切线的方程，代入点坐标，进而求得直线的方程.

（2）求得两点的坐标，然后求得面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值.

【详解】（1）先求在圆上一点的切线方程：

设圆的方程为，圆心为，半径为，

设是圆上的一点，则①，

设是圆在处的切线方程上任意一点，则，

即②，

并整理得，

即圆在处的切线方程为.

根据题意，设，，，，，，

是圆的切线且切点为，则的方程为，

同理的方程为，

又由､交于点，则有，，

则直线的方程为.

（2）要使围成三角形，则不是椭圆的顶点，所以，

由（1）可得的坐标为，，的坐标为，

，

又由点是椭圆上的动点（非顶点），则有，

则有，即，

当且仅当时等号成立，

，

即面积的最小值为.

21．已知函数，其中，．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若函数的导函数在内有且仅有一个极值点，求a的取值范围．

【答案】(1)函数在内单调递增

(2)

【分析】（1）由时，得到，然后利用导数法求解；

（2）由，令，求导，由得到，令，利用数形结合法求解.

【详解】（1）解：当时，，．

因为，所以，，因此，

故函数在内单调递增．

（2），令，则．

由得，．显然不是的根．

当时，．

令，则．

由得．当或时，；

当时，，

且，．所以极大值是．

由图知，当或时，

直线与曲线在内有唯一交点或，

且在附近，，则；

在附近，，则．

因此是在内唯一极小值点．

同理可得，是在内唯一极大值点．

故a的取值范围是．

【点睛】方法点睛：关于极值点问题，转化为函数零点再结合极值点的定义求解.

22．在直角坐标系中，，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆锥曲线的极坐标方程为，､为的左､右焦点，过点的直线与曲线相交于A，两点.

(1)当时，求的参数方程；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)（为参数）

(2)

【分析】（1）利用，代入曲线的极坐标方程可得其直角坐标方程可得、、的坐标，求出直线的斜率、倾斜角，在上任取一点，设有向线段的长为可得直线的参数方程；

（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，设，对应的参数分别为，，根据的值可得答案.

【详解】（1），，

曲线的直角坐标方程为，即，

，，，

直线的斜率：，时，直线的倾斜角为，

在上任取一点，设有向线段的长为，

则直线的参数方程为（为参数）；

（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，

即，

设，对应的参数分别为，，则，

故,

因为，所以，则，故，

所以.

23．设函数，其中.

(1)当时，求曲线与直线围成的三角形的面积；

(2)若，且不等式的解集是，求的值.

【答案】(1)64

(2)

【分析】（1）由题知，进而分别求解相应的交点，计算距离，再计算面积即可；

（2）分和两种情况求解得的解集为，进而结合题意求解即可.

【详解】（1）解：根据题意，当时，，

所以，，设；

直线与交于点，与直线交于点，

且，

点到直线的距离，

所以，要求图形的面积；

（2）解：当时，，，即，解可得，此时有，

当时，，，即，解可得，

又由，则，此时有，

综合可得：不等式的解集为，

因为不等式的解集是

所以，，解可得；

所以，.