2021-2022学年山东省聊城市东昌府区七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省聊城市东昌府区七年级（下）第一次月考数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，直线与相交于点，若，则等于

A.  B.  C.  D.

2. 如图，下列说法错误的是

A. 也可用来表示
B. 与是同一个角
C. 图中共有三个角：，，
D. 与是同一个角
 

3. 如图，为直线上的一点，，，则图中的余角共有

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

4. 如图，，，垂足为点，则点到直线的距离是

A. 线段的长度
B. 线段的长度
C. 线段的长度
D. 线段的长度
 

5. 如图，直线、被直线所截，下列说法不正确的是

A. 和是内错角
B. 和是同旁内角
C. 和是同位角
D. 和互为邻补角
 

6. 如图，直线、被直线所截，，，则的大小为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，长方形纸片，点，分别在边，上，连接将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕，则的度数

A.  B.
C.  D. 随位置的变化而变化

9. 如图，，以为边作，使，则下列结论成立的是

A.
B.
C. 或
D. 或
 

10. 据中国载人航天工程办公室消息，北京时间年月日点分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻：时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，将一张长方形纸带沿折叠，点、的对应点分别为、若，用含的式子可以将表示为

A.  B.  C.  D.

12. 下列语句中：由两条射线组成的图形叫做角；有公共顶点且相等的角是对顶角；直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；同位角相等；在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 比较大小：______填“”，“”或“”．
14. 如图，请添加一个条件，使得，添加一个符合要求的条件，可以是______．
    
     

15. 生活中常见一种折叠拦道闸，如图所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图所示，垂直于地面于，平行于地面，则______

16. 如图，将三角尺与两边平行的直尺贴在一起，使三角尺的直角顶点在直尺的一边上．若，则的大小为______度．

17. 如图，在三角形中，，，，，点为直线上的一动点，连接，则线段的最小值是______．
    
    
    
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分）

18. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 若一个角的补角是这个角的余角的倍，则这个角为多少度．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，直线，交于点，，．
    写出图中所有与互余的角．
    当时，求的度数．
    
    
     

21. 补充下列证明，并在括号内填上推理依据．
    已知：如图，，平分，平分．
    求证：．
    证明：平分，平分，______
    ，______
    又，______
    ____________
    ______

22. 已知：如图，在中，点，，分别在边，，上，与相交于点，且，．
    求证：．
    
     

23. 已知一角的两边与另一个角的两边分别平行，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．
    如图所示，，，则与的关系是______；
    如图所示，，，则与的关系是______；
    经过上述探索，我们可以得到一个结论试用文字语言表述：______；
    若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的倍少，则这两个分别是多少度？

24. 如图点、在线段上，点、分别在线段和上，，．
    
    判断与的位置关系，并说明理由；
    若是的平分线，，且：：，试说明与有怎样的位置关系？
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知直线，是截线，点在直线、之间．
    如图，连接，求证：；
    如图，在的角平分线上取两点、，使得试判断与之间的数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：由对顶角相等得：
，
，
．
故选：．
根据对顶角的性质，可得的度數．
此题考查的是对顶角，掌握对顶角相等这一性质是解决此题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、与是同一个角，不可用来表示，说法错误；
B、与是同一个角，说法正确；
C、图中共有三个角：，，，说法正确；
D、与是同一个角，说法正确；
故选：．
根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母如，，、表示，或用阿拉伯数字表示进行分析即可．
此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，
，．
的余角共有个．
故选：．
根据余角的和等于，结合图形找出构成直角的两个角，然后再计算对数．
本题考查了余角和补角的知识，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：点到的距离是线段的长度．
故选：．
根据点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答．
本题考查了点到直线的距离的定义，能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、与不是同位角、内错角、同旁内角，故本选项符合题意．
B、和是同旁内角，故本选项不符合题意．
C、和是同位角，故本选项不符合题意．
D、和互为邻补角，故本选项不符合题意．
故选：．
根据同位角，对顶角，同旁内角以及余角的定义作出判断．
考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角等，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
 

6.【答案】
 

【解析】解：如图，，，
，
．
故选：．
根据两直线平行，同位角相等求出的同位角，再根据平角的定义求解．
本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，是平角，，
．
．
，
．
故选：．
利用平角的定义及角的和差关系，先求出，再利用平行线的性质求出．
本题主要考查了平行线的性质，根据平角的定义求出的度数是解决本题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由翻折可得，，
．
故选：．
由翻折可得，，从而可得，进而求解．
本题考查角的计算，解题关键通过翻折得到角相等．
 

9.【答案】
 

【解析】解：分两种情况：
当在的外部，如图：

，
，
当在的内部，如图：

，
，
故选：．
分两种情况，在的外部，在的内部．
本题考查了角的大小比较，根据题目的已知条件画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由题意得：
，
在时刻：时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是：，
故选：．
根据时钟上一大格是，时针分钟转进行计算即可．
本题考查了方向角，熟练掌握时钟上一大格是，时针分钟转是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由长方形纸带及折叠性质可得：，，
，，
，
，
．
故选：．
由折叠的性质可得：，，由可得，从而有，即可得出结果．
本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是熟记折叠的性质．
 

12.【答案】
 

【解析】解：由同一端点发出的两条射线组成的图形叫做角，原来的说法是错误的；
有公共顶点且角的两边互为反向延长线的角是对顶角，原来的说法是错误的；
直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，原来的说法是错误的；
两直线平行，同位角相等，原来的说法是错误的；
在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的；
在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法是错误的．
其中正确的个数有个．
故选：．
根据角的定义，对顶角的定义，点到直线的距离，平行线的性质，垂线的性质，平行公理，可得答案．
本题考查了角的定义，对顶角的定义，点到直线的距离，平行线的性质，垂线的性质，平行公理，熟记性质定理是解题关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据度分秒的进制进行计算即可．
本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
 

14.【答案】答案不唯一
 

【解析】解：添加的条件可以是或或．
，
同位角相等，两直线平行．
，
内错角相等，两直线平行．
，
同旁内角互补，两直线平行．
故答案为：答案不唯一．
欲证，在图中发现、被直线所截，根据平行线的判定方法得出答案即可．
此题考查平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角或同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．
 

15.【答案】
 

【解析】解：过点作，如图，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论．
本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，，
．
，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由与互余即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

17.【答案】
 

【解析】解：在中，，，，，
当时，的值最小，
此时：的面积，
，
，
故答案为：．
当时，的值最小，利用面积法求解即可．
本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
 

18.【答案】解：

；



．
 

【解析】根据度分秒的进制，进行计算即可解答；
根据度分秒的进制，进行计算即可解答．
本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
 

19.【答案】解：设这个角为，
由题意，得，
解得，
答：这个角是．
 

【解析】设这个角为，则它的补角为，余角为，根据题意列出方程，再解即可．
此题主要考查了余角和补角，关键是掌握如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角；补角：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角．
 

20.【答案】解：，，
，
，，
与互余的角为：，；
，，
，
，
，
．
 

【解析】利用互余两角的和为即可判断；
先求出，然后再利用平角减去与的和即可解答．
本题考查了垂线，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
 

21.【答案】已知  角平分线的定义  已知    等式性质  垂直的定义
 

【解析】证明：平分，平分，  已知  
， 角平分线的定义  
又，  已知   

   等式性质  
  垂直的定义  
故答案为：已知，角平分线的定义，已知，，等式的性质，垂直的定义．
由已知可得，平分，平分，根据角平分线的定义可得，再根据已知条件，可得，根据等式的性质可得出度数，再根据垂直的定义即可得出答案．
本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义及角的计算，熟练掌握垂直的定义，角平分线的定义及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
，
．
 

【解析】根据同旁内角互补，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，又，等量代换得出，再根据内错角相等，两直线平行得到．
本题考查了平行线的判定与性质，掌握定理是解题的关键．
 

23.【答案】    一角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角要么相等，要么互补
 

【解析】解：如图．

，
．
，
．
．
故答案为：．
，
．
，
．
．
故答案为：．
由、得：一角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角要么相等，要么互补．
这这两个角分别是、，且．
，
．
．
．
这两个角分别为、．
由，，得，，那么．
由，得由，得，故．
由、概括总结．
根据中的结论得到两个角的数量关系，从而解决此题．
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
 

24.【答案】解：．
理由：，
．
，
，
；
．
理由：由知，，
．
：：，
．
，
是的平分线，
，
．
 

【解析】先根据得出，再由得出，进而可得出结论；
根据，得出的度数，再由：：得出的度数，由是的平分线可得出的度数，由此得出结论．
本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理及角平分线的性质即可得出结论．
 

25.【答案】证明：如图，过点作，
又，
．
，．
．

解：，
理由：是的平分线，
，
由知，
，，
，
，
．
 

【解析】如图，过点作，可得进而可以证明；
根据角平分线的定义得到，由知，等量代换得到，根据平角的定义即可得到结论．
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．