2021-2022学年河南省新乡市原阳县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省新乡市原阳县八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 把分式中的、都扩大倍，则分式的值

A. 不变 B. 扩大倍
C. 扩大倍 D. 缩小为原来的

2. 化简的结果是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各曲线中表示是的函数的是

A.  B.
C.  D.

4. 若函数是正比例函数，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 已知点、、 都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

6. 已知反比例函数，当时，随的增大而减小，则满足上述条件的正整数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个

7. 如图，在▱中，，，平分线交于，交的延长线于点，则

A.
B.
C.
D.

8. 如图，▱的对角线与相交于点，，若，，则的长是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，正比例函数与反比例函数相交于点，若，则的取值范围在数轴上表示正确的是

A.
B.
C.
D.
 

10. 正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，轴于点，轴于点如图，则四边形的面积为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 有一个分式两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为；乙：当时，分式的值为请你写出满足上述全部特点的一个分式：______．
12. 若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数______．
13. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于，点是轴上的动点，则的面积为______．
    
     

14. 在平行四边形中，的平分线交于，若，则______．
15. 如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且，连接、，则的面积是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 计算
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
17. 从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多设小明出发后，到达离甲地的地方，图中的折线表示与之间的函数关系．
    小明骑车在平路上的速度为______；他途中休息了______；
    求线段、所表示的与之间的函数关系式；
    如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为，那么该地点离甲地多远？

18. 如图，的顶点是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点，轴于点，且．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    若点的纵坐标为，点的横坐标为时，求当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．
     

19. 若关于的方程有非负数解，求得取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知：如图，▱的对角线、相交于点，过点与、的延长线分别相交于点、求证：，．
    
     

21. 如图，在方格纸中小正方形的边长为，反比例函数与直线的交点、均在格点上，根据所给的直角坐标系是坐标原点，解答下列问题：
    分别写出点、的坐标后，把直线向右平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的直线；
    若点在函数的图象上，是以为底的等腰三角形，请写出点的坐标．

22. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点．
    求这两个函数的关系式；
    如果在轴上找一点使的面积为，求点坐标．

为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多元，该单位以零售价分别用元和元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了元桶、元桶的批发价求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：

，
故选：．
把分式中的、都扩大倍，进行化简即可得出答案．
本题考查了分式的基本性质，把分式中的、都扩大倍，进行化简是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
【解答】
解：原式


，
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，故D正确．
故选：．
根据函数的意义求解即可求出答案．
主要考查了函数的定义．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
 

4.【答案】
 

【解析】解：函数是正比例函数，
，
解得．
故选：．
先根据正比例函数的定义列出关于的方程组，求出的值即可．
本题考查的是正比例函数的定义，即形如的函数叫正比例函数．
 

5.【答案】
 

【解析】解：点、、 都在反比例函数的图象上，
，，，
，
．
故选D．
分别把各点坐标代入反比例函数，求出，，的值，再比较大小即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：当时，随的增大而减小，
，
，
正整数值为，
故选：．
根据函数增减性可得，解不等式求出的取值范围，然后取正整数，即可确定．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性与系数之间的关系是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
，
平分线为，
，
，
，
．
故选：．
由可以推出，又平分线为，，等量代换即可得到，根据等腰三角形的判定知道，所以得到，由此可以求出．
本题利用了平行四边形的性质和角的平分线的性质证出为等腰三角形而求解．
 

8.【答案】
 

【解析】解：▱的对角线与相交于点，
，，
，，，
，
，
故选：．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
 

9.【答案】
 

【解析】解：正比例函数与反比例函数相交于点，
根据图象可知当时的取值范围是，
在数轴上表示为：，
故选A．
根据两函数的交点坐标，结合图象即可求出的范围，再在数轴上表示出来，即可得出选项．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题和在数轴上表示不等式的解集的应用，关键是求出的范围．
 

10.【答案】
 

【解析】解：解方程组 得，
即：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点的坐标分别为
所以点的坐标为，点的坐标为
因为，轴于点，轴于点
所以，与均是直角三角形
则：，
即：四边形的面积是
联立正比例函数与反比例函数的解析式，解方程组得点、、、的坐标，然后在求四边形的面积．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的图形的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解
 

11.【答案】答案不唯一
 

【解析】解：分式的值不可能为，
分子不等于，
当时，分式的值为，
分式为：．
故答案为：答案不唯一．
根据分式的值不为零的条件和当时，分式的值为写出一个分式即可．
本题考查了分式的值为零的条件，分式的值，掌握分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：因为以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，
直线解析式乘以得，变形为：
所以，
解得：，
故答案为：．
直线解析式乘以后和方程联立解答即可．
此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式乘以后和方程联立解答．
 

13.【答案】
 

【解析】解：设的坐标是：则，即，
，边上的高是．
，
故答案是：．
设的坐标是：则，即，根据三角形的面积公式即可求解．
主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
 

14.【答案】
 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
，，
是的平分线，
，
．
故答案为：．
由平行四边形和平行线的性质得，，求出，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：分别过、两点作轴，轴，垂足为、，
，，
设，则，
故△BOE

，
故答案为：．
分别过、两点作轴的垂线，构成直角梯形，根据，判断为直角梯形的中位线，得出，根据双曲线解析式确定、两点的坐标及、的长，根据求解．
本题考查了反比例函数的综合运用．关键是作辅助线构造直角梯形，根据，得出为直角梯形的中位线，利用面积的和差关系求解．
 

16.【答案】解：原式


；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

17.【答案】  ，  ；
小明骑车到达乙地的时间为小时，
．
小明下坡行驶的时间为：，
．
设直线的解析式为，由题意，得
，
解得：，
；
设直线的解析式为，由题意，得
，
解得：．
；

小明两次经过途中某一地点的时间间隔为，由题意可以得出这个地点只能在坡路上，因为点和点之间的时间间隔为设小明第一次经过该地点的时间为，则第二次经过该地点的时间为，由题意得：
，
解得：，
，
答：该地点离甲地．
 

【解析】

解：小明骑车在平路上的速度为：，
小明骑车在上坡路的速度为：，
小明骑车在下坡路的速度为：．
小明在段上坡的时间为：，
  段下坡的时间为：，
  段平路的时间和段平路的时间相等为，
小明途中休息的时间为：．
故答案为：，．

见答案；

见答案．
【分析】
由速度路程时间就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的时间，进而得出途中休息的时间；
先由函数图象求出小明到达乙地的时间就可以求出的坐标和的坐标就可以由待定系数法求出解析式；
小明两次经过途中某一地点的时间间隔为，由题意可以得出这个地点只能在坡路上．设小明第一次经过该地点的时间为，则第二次经过该地点的时间为，根据距离甲地的距离相等建立方程求出其解即可．
本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．  

18.【答案】解：设点，则，
，
，
，
反比例函数解析式，一次函数解析式；
把代入求得，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
 

【解析】根据，可求的值，即可求解析式；
利用函数的解析式求得的横坐标，然后根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
 

19.【答案】解：去分母得：，
解得：，
且，
且，
解得：且，
得取值范围是且．
 

【解析】先去分母把分式方程化成整式方程，再结合题意得出关于的不等式组，解不等式组即可得出的取值范围．
本题考查了分式方程的解，根据题意得出关于的不等式组是解决问题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，．
 

【解析】由四边形是平行四边形，易证得≌，即可证得．
此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到≌．
 

21.【答案】解：、

平移后的直线为；

点的坐标为或．
 

【解析】根据两点所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标，进而把两点做相应的平移，连接即可；
看的垂直平分线与双曲线哪两点相交即可．
综合考查反比例函数的相关知识；注意图形的平移，看关键点的平移即可．
 

22.【答案】解：反比例函数的图象过点，即，
，即，
又点在上，
，
，
又一次函数过、两点，
即，
解得．
．
反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
把代入得，解得，
直线与轴交点的坐标，
．

的坐标或．
 

【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；
根据面积的和差，可得答案．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查利用待定系数法求解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
 

23.【答案】解：设乙种消毒液的零售价为元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种消毒液的零售价为元桶，乙种消毒液的零售价为元桶．
设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，
依题意得：，
解得：．
设所需资金总额为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：当甲种消毒液购买桶时，所需资金总额最少，最少总金额是元．
 

【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
设乙种消毒液的零售价为元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，根据数量总价单价，结合该单位以零售价分别用元和元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，根据购进甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设所需资金总额为元，根据所需资金总额甲种消毒液的批发价购进数量乙种消毒液的批发价购进数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．