高中数学第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率教学设计

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直线的倾斜角和斜率教材分析 本课是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念：当直线与x轴相交时，取x轴作基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角，当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为零。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。“坐标法”思想与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。教学分析   授课班级中，大部分学生有一定的学习能力，数学基础较好，部分学生喜欢学数学。虽然学生能用数学语言表达自己的观点，但是这种表述大多时候仅仅停留在感性层面，不严谨，不完整，学生还没有独立抽象、概括出一个新概念的能力。在此之前，学生已经接触过直线：平面内，两点确定一条直线；一次函数的图象是不与x轴，y轴平行或重合的直线。同时他们也接触过坡度的概念。这些就为倾斜角和斜率概念的得出打下了基础。教学目标 1．知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率概念，并能应用过两点的直线的斜率公式解决简单问题。2．过程与方法：通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角和斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学表达能力，数学交流与评价能力。3．态度情感与价值观：通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度。教学重点抽象概括直线的倾斜角和斜率概念，探究发现过两点的直线的斜率公式。 教学难点倾斜角概念形成，斜率概念的理解。 教学手段多媒体课件教学方法师生互动、引导学生主动发现探索教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图导 入1．在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。2．问题：直线上点的坐标与方程的解之间有什么关系？ 问题： 如何用代数的方法表示平面中简单图形——直线？生：相互讨论完成引例。 师：引导学生分析归纳概括得出结论。    师生：共同总结出直线方程的概念。  设计意图：通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题。同时使学生明确本课学习的内容。  探 究 新 知    问题：如图1，对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定？问题：如图2，在直角坐标系中，过点P1的不同直线的区别在哪里？ 指定学生回答，教师给与补充、纠正  师生：引导学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。 明确思维方向，探索确定直线位置的几何要素。  引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。概 念 形 成问题：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？    依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？ 生：观察图形，相互讨论，但是在倾斜角定义得出时会有困难。 师：给学生鼓励、引导，师生共同得出倾斜角概念。  从实例入手，引出用倾斜角的正切值表示斜率。  探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。 让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化。       组 织 探 究            组 织 探 究          组 织 探 究         1．问题：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢？在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？2．问题：（1）观察图中楼梯，我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？3．问题：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？  师：引导学生在生活中举例，山坡，楼梯等，教师楼梯的教学情景。   生：探索、交流。用数学语言表达自己的发现。基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。  探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念4．任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？（倾斜角与斜率一一对应吗？）学生自己完成然后教师组织同桌间互相交流，共同得出结论。 教师指定学生强调易犯的错误沟通数形关系，充分利用正切函数的图象，加深概念理解。明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。但根据正切函数的定义域，并非所有的直线都有斜率5．推导过两点的直线的斜率公式：问题：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P1（x1，y1）， P2（x2， y2）（其中x1≠x2）的坐标来表示，你能自己导出它们的关系吗？    指定学生回答，如果有错误，教师组织学生纠正。让学生自己推导出过两点的直线的斜率公式。问题：当直线与坐标轴平行或重合时，上述结论还成立吗？   师生：总结两点式斜率计算公式：k=（x1≠x2）。  通过自己的探索，完善两点式斜率公式k=（x1≠x2），检验得到公式与P1，P2两点的顺序无关。练 习 巩 固          练 习 巩 固  例1．判断下列命题的真假：任何一条直线都有倾斜角，所以任何一条直线都有斜率；直线的倾斜角与直线的斜率一一对应；直线的倾斜角为 ，则；直线的倾斜角越大，则直线的斜率也越大；      直线斜率的范围是学生回答帮助学生巩固基本概念，发现易错点。例2．已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？变式1．直线的斜率为k，倾斜角为α，若＜α＜，则k的范围是（    ）A．（-1，1） B．（-∞，-1）∪（1，+∞）C．[-1，1] D． （-∞，-1]∪[1，+∞） 变式2．设直线的斜率为k，倾斜角为α，若-1<k<1，则α的取值范围是         （    ）A．（-，）   B．    C．（0，）∪（，）D．   例3．在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。                 师：引导学生充分利用正切函数的图象解决问题，数形结合。  要求学生画图，体验数形结合的思想方法。 设计意图：根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。    给学生创造一个动手探究、学以致用的机会，要求学生画图，体验数形结合的思想方法。熟练应用两点式斜率公式。直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系 练习已知直线的倾斜角为α，若sinα=，求此直线的斜率。教师根据课堂实际时间，确定练习与否对斜率进一步巩固。课堂小结提问：（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们之间有什么关系？（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）、也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？ 学生思考，回答让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（形）和斜率（数）。利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。总结本课所学知识，培养学生归纳知识能力及反思的习惯。作业扩展1．已知直线y=xsinθ-1，求该直线倾斜角范围。2．在x轴上有一点P与Q（2，）倾斜角为150o，求点P坐标。3．求证：点A（-2，3），B（7，6），C（4，5）在一条直线上。 学生独立完成  通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。 训练学生应用基础知识的能力，培养学生探究的兴趣，加深学生思考。板书设计课题一、直线方程     二、直线的倾斜角      三、直线的斜率      四、斜率公式       练习  小结   作业