2020-2021学年3 匀变速直线运动的位移与时间的关系导学案

  第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系

知识点一　匀变速直线运动的位移

[情境导学]

匀速直线运动的v­t图像如图所示，v­t图像与对应的时间轴所包围的矩形的(阴影部分)“面积”有什么意义？

提示：表示物体在0～t1时间内的位移。

[知识梳理]

1．v­t图像中“面积”的意义：v­t图像中的图线和时间轴包围的“面积”等于相应时间内的位移。如图所示，在0～t1时间内的位移大小等于梯形的“面积”。

2．位移公式：x＝v0t＋at2。式中v0表示初速度，x表示物体在时间t内运动的位移。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)匀速直线运动的位移与时间成正比。(√)

(2)匀变速直线运动的位移与时间的平方成正比。(×)

(3)初速度越大，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大。(×)

(4)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。(√)

2．两物体都做匀变速直线运动，在给定的时间间隔t内(　　)

A．加速度较大的，其位移一定较大

B．初速度较大的，其位移一定较大

C．末速度较大的，其位移一定较大

D．平均速度较大的，其位移一定较大

解析：选D　根据x＝v0t＋at2知，加速度较大，位移不一定较大，还与初速度有关，故A错误；根据x＝v0t＋at2知，初速度较大的，位移不一定较大，还与加速度有关，故B错误；末速度较大，位移不一定较大，还与初速度有关，故C错误；根据x＝ t，如时间一定，平均速度较大，位移一定较大，故D正确。

知识点二　速度与位移的关系

[知识梳理]

1．公式推导：已知匀变速直线运动的速度公式v＝v0＋at①

匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2②

联立①②式消去t可得v2－v02＝2ax。

2．速度与位移的关系式：v2－v02＝2ax。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)公式v2－v02＝2ax适用于任何直线运动。(× )

(2)物体的末速度越大，则位移越大。(× )

(3)对匀减速直线运动，公式v2－v02＝2ax中的a必须取负值。(× )

(4)位移x的大小由v0、v、a共同决定。(√)

2．“歼­15”战机在“山东舰”上起飞的画面如图所示，若已知“歼­15”战机的加速度为a，起飞时的速度为v。

如果“山东舰”静止在海上，应该如何来确定飞机跑道的最小长度？

提示：根据v2＝2ax，知飞机跑道的最小长度为x＝。

[问题探究]

如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来。请思考：

(1)汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？

(2)根据位移与时间公式求加速过程及减速过程中的位移，速度及加速度的正、负号如何确定？

提示：(1)汽车加速时加速度的方向与运动方向相同，减速时加速度方向与运动方向相反，因此两过程中加速度方向不同。

(2)根据位移与时间公式求位移时，如果取初速度方向为正方向，加速时，加速度取正值，减速时，加速度取负值。

[要点归纳]

1．公式中各个量的意义

2．适用条件：匀变速直线运动。

3．矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。

一般选初速度v0的方向为正方向。

4．两种特殊形式

(1)当a＝0时，x＝v0t→匀速直线运动的位移公式。

(2)当v0＝0时，x＝at2→由静止开始的匀加速直线运动的位移公式。

[例题1]　学校一般每周一都要举行升国旗仪式，对师生进行爱国主义教育，国歌从响起到结束的时间是48 s，国旗上升的高度是17．6 m。国歌响起的同时国旗开始向上做匀加速运动4 s，然后匀速运动，最后匀减速运动4 s到达旗杆顶端，速度恰好为零，此时国歌结束。求：

(1)国旗匀加速运动的加速度大小；

(2)国旗匀速运动时的速度大小。

[思路点拨]

(1)国旗上升经历匀加速运动、匀速运动、匀减速运动三个阶段。

(2)国旗匀速上升的时间为48 s－4 s－4 s＝40 s。

(3)国旗匀加速运动的末速度＝匀速的速度＝匀减速的初速度。

[解析]　由题意知，国旗匀加速上升的时间t1＝4 s，匀减速上升的时间t3＝4 s，匀速上升的时间t2＝t总－t1－t3＝40 s，对于国旗加速上升阶段：x1＝a1t12

对于国旗匀速上升阶段：v＝a1t1，x2＝vt2

对于国旗减速上升阶段：x3＝vt3－a2t32

根据运动的对称性，对于全过程：a1＝a2

x1＋x2＋x3＝17．6 m

由以上各式可得：a1＝0．1 m/s2

v＝0．4 m/s。

[答案]　(1)0．1 m/s2　(2)0．4 m/s

应用位移公式解题的一般步骤

(1)确定一个方向为正方向(一般以初速度的方向为正方向)。

(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。

(3)根据位移—时间关系式或其变形式列式、求解。

(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。

[针对训练]

1．一物体的位移与时间的关系式为x＝4t＋2t2＋5(m)，那么它的初速度和加速度分别是(　　)

A．2 m/s,0．4 m/s2　　   B．4 m/s,2 m/s2

C．4 m/s,4 m/s2      D．4 m/s,1 m/s2

解析：选C　将公式x＝4t＋2t2＋5(m)和位移公式x＝v0t＋at2进行类比，可知物体的初速度v0＝4 m/s，加速度为4 m/s2，故A、B、D错误，C正确。

2．一质点做匀变速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第5 s内的位移为20 m，则该质点运动过程中(　　)

A．初速度大小为零

B．加速度大小为4 m/s2

C．前5 s内的位移为50 m

D．第4 s内的平均速度为8 m/s

解析：选B　第3 s内的位移等于前3 s内位移与前2 s内位移之差，即Δx3＝x3－x2＝12 m，

代入数据得v0×3 s＋a×(3 s)2－＝12 m①

同理可得v0×5 s＋a×5 s2－＝20 m②

联立①②，解得v0＝2 m/s，a＝4 m/s2，故A错误，B正确。前5 s内的位移为x＝v0t5＋at52＝60 m，C错误。第4 s内的位移为Δx4＝x4－x3＝v0t4＋at42－＝16 m，则第4 s内的平均速度＝＝ m/s＝16 m/s，D错误。

[问题探究]

如图所示，A、B、C三个标志牌的间距均为x，汽车做匀加速直线运动，加速度为a，已知汽车经过标志牌A的速度为vA，你能求出汽车经过标志牌B和C的速度vB和vC吗？

提示：能，由vB2－vA2＝2ax可求出vB，由vC2－vA2＝2a(2x)可求出vC。

[要点归纳]

1．公式的适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。

2．公式的意义：公式v2－v02＝2ax反映了初速度v0、末速度v，加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。

3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向。

(1)物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值。

(2)x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反。

4．两种特殊形式

(1)当v0＝0时，v2＝2ax(初速度为零的匀加速直线运动)。

(2)当v＝0时，－v02＝2ax(末速度为零的匀减速直线运动)。

[例题2]　随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2．5 m/s2(不超载时则为5 m/s2)。

(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？

(2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着总质量为1 t的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度。

[解析]　(1)设货车刹车时速度大小为v0，加速度大小为a，末速度大小为v，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝

由题意知，v0＝54 km/h＝15 m/s，v＝0，

a1＝2．5 m/s2，a2＝5 m/s2

代入数据得，超载时x1＝45 m

不超载时x2＝22．5 m。

(2)超载货车与轿车碰撞时，

由v2－v02＝－2ax知

相撞时货车的速度

v＝＝  m/s＝10 m/s。

[答案]　(1)45 m　22．5 m　(2)10 m/s

[针对训练]

1．关于公式x＝，下列说法正确的是(　　)

A．此公式只适用于匀加速直线运动

B．此公式适用于匀减速直线运动

C．此公式只适用于位移为正的情况

D．此公式不可能出现a、x同时为负值的情况

解析：选B　公式x＝适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误；当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、x就会同时为负值，选项D错误。

2．做匀加速直线运动的物体，速度从v增加到3v时经过的位移是x，则它的速度从3v增加到5v时经过的位移是(　　)

A．x  B．x

C．x    D．2x

解析：选D　根据速度与位移公式得(3v)2－v2＝2ax，(5v)2－(3v)2＝2ax′，联立两式解得x′＝2x，故选项D正确。

一、利用v­t图像的“面积”求物体的位移

在v­t图像中，图线与时间轴所围成的“面积”表示物体的位移，所以已知v­t图像求位移时采用“面积”法计算，可以快速解题。

[示例1]　某一做直线运动的物体的图像如图所示，根据图像求：

(1)物体距出发点的最远距离；

(2)前4 s内物体的位移；

(3)前4 s内物体通过的路程。

[思路点拨]

(1)t＝1 s时，物体速度最大；t＝3 s时，物体速度方向将发生改变，此时位移最大。

(2)利用v­t图像求位移一般采用“面积”法计算，即计算v­t图像中图线与时间轴所围成的面积。

[解析]　(1)设物体距出发点最远距离为x1，所用时间为t1，则

x1＝v1t1＝×4×3 m＝6 m。

(2)前4 s内的位移

x＝x1－x2＝v1t1－v2t2

＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m。

(3)前4 s内通过的路程

s＝x1＋x2＝v1t1＋v2t2

＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m。

[答案]　(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m

利用v­t图像的“面积”求位移的几点提醒

(1)v­t图像与t轴所围的“面积”的绝对值表示位移的大小。

(2)“面积”在t轴以上表示位移沿正方向，取正值；在t轴以下表示位移沿负方向，取负值。

(3)物体的总位移等于各部分位移(正、负“面积”)的代数和。

(4)物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和。

[拓展训练]

1．[多选]P、Q两质点，从同一地点由静止开始运动的v­t图像如图所示，由图像可以判定(　　)

A．P质点的速度越来越小

B．零时刻，P质点的加速度为零

C．在0～t1时间内，P质点在Q质点前面

D．在0～t1时间内，P质点的平均速度大于Q质点的平均速度

解析：选CD　在v­t图像中，某一点代表此时刻的瞬时速度，从题图中可以看出在0～t1时间内，P质点的速度越来越大，故A错误；由于在v­t图像中，图线的切线斜率表示加速度，所以零时刻P质点的速度虽然为零，但是斜率(即加速度)不为零，故B错误；在v­t图像中，图线与横轴围成的面积代表位移，所以在0～t1时间内，P质点的位移大于Q质点的位移，因P、Q两质点从同一地点由静止开始运动，则P质点在Q质点前面，根据＝可知，在0～t1时间内，P质点的平均速度大于Q质点的平均速度，故C、D正确。

2．一质点的v­t图像如图所示，求它在前2 s内和前4 s内的位移。

解析：位移大小等于v­t图像与时间t轴所围成的面积，质点在前2 s内的位移x1＝2×5× m＝5 m，质点在后2 s内的位移x2＝(4－2)×(－5)× m＝－5 m，所以质点在前4 s内的位移x＝x1＋x2＝5 m－5 m＝0。

答案：5 m　0

二、探究两类匀减速直线运动的问题

[示例2]　飞机着陆做匀减速直线运动可获得大小为a＝6 m/s2的加速度，飞机着陆时的速度为v0＝60 m/s，求它着陆后t＝12 s内滑行的距离。

[解析]　设飞机从着陆到停止所需时间为t0，由速度公式v＝v0－at0得t0＝10 s。

可见，飞机在t＝12 s内的前10 s内做匀减速直线运动，后2 s内保持静止。

所以有x＝v0t0－at02＝300 m或x＝＝300 m。

[答案]　300 m

(1)示例2的易错点在于不考虑刹车的实际情况，盲目套用位移公式x＝v0t－at2，将t＝12 s直接代入得到x＝288 m的典型错解。

(2)解答该类问题时应先计算出物体停止运动实际需要的时间，才能判断给定时间内的物体的运动情况。

[示例3]　如图所示，小球以6 m/s的速度由足够长的光滑斜面中部沿着斜面向上滑。已知小球在斜面上运动的加速度大小为2 m/s2。分别求出经过2 s、3 s、4 s、6 s、8 s小球的位移。(提示：小球在光滑斜面上运动时，加速度的大小、方向都不变)

[解析]　以小球的初速度方向，即沿斜面向上为正方向，则小球的加速度沿斜面向下，为负值。将t2＝2 s，t3＝3 s，t4＝4 s，t6＝6 s，t8＝8 s代入x＝v0t＋at2，解得x2＝8 m，x3＝9 m，x4＝8 m，x6＝0，x8＝－16 m。

[答案]　8 m　9 m　8 m　0　－16 m　其中负号表示小球位移沿斜面向下

[拓展训练]

1．一辆汽车以10 m/s的速度匀速行驶，遇到紧急情况，突然以大小为2 m/s2的加速度匀减速刹车，则从刹车开始计时，汽车在6 s内的位移是(　　)

A．24 m　　　  B．25 m　  　　C．60 m　　　  D．96 m

解析：选B　汽车从减速到停止所需的时间为t＝ s＝5 s，汽车在5 s末就已经停止运动，所以汽车在6 s内的位移等于在5 s内的位移，故有x＝10×5 m－×2×52 m＝25 m，B正确。

2．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机而做匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s2，则它关闭发动机后通过37．5 m所需时间为(　　)

A．3 s     B．4 s     C．5 s    D．6 s

解析：选A　根据x＝v0t＋at2，将v0＝20 m/s，a＝－5 m/s2，x＝37．5 m，代入得t1＝3 s，t2＝5 s，但因刹车时间t0＝＝4 s，所以t2＝5 s应舍去。故只有选项A正确。

1．物体在做匀减速直线运动时(运动方向不变)，下面结论正确的是(　　)

A．加速度越来越小

B．加速度总与物体的运动方向相同

C．位移随时间均匀减小

D．速度随时间均匀减小

解析：选D　物体做匀减速直线运动，表明它的速度均匀减小，加速度大小不变，加速度方向与物体的运动方向相反，A、B错误，D正确；由于物体运动方向不变，位移逐渐增大，故C错误。

2．在交警处理某次交通事故时，通过监控仪器扫描，输入计算机后得到该汽车在水平面上刹车过程中的位移随时间变化的规律为x＝20t－2t2(x的单位是m，t的单位是s)。则该汽车在路面上留下的刹车痕迹长度为(　　)

A．25 m　　　　　　　　 　B．50 m

C．100 m             D．200 m

解析：选B　根据x＝20t－2t2可知，该汽车初速度v0＝20 m/s，加速度a＝－4 m/s2。刹车时间t＝＝ s＝5 s。刹车后汽车做匀减速运动的位移为刹车痕迹长度，根据x＝v0t＋at2，得x＝20×5 m－×4×52 m＝50 m，B正确。

3．如图所示，竖井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度为104 m，升降机运行的最大速度为8 m/s，加速度大小不超过1 m/s2。假定升降机到井口的速度为0，则将矿石从井底提升到井口的最短时间是(　　)

A．13 s  B．16 s

C．21 s          D．26 s

解析：选C　升降机先以最大加速度匀加速至最大速度，加速距离为h1＝＝32 m，加速时间为t1＝＝8 s；最后以最大加速度匀减速至零，减速距离h3＝h1＝32 m，减速时间t3＝t1＝8 s，故中间匀速阶段的距离h2＝40 m，匀速时间t2＝＝5 s。所以t＝t1＋t2＋t3＝8 s＋5 s＋8 s＝21 s，C正确。

4．2019年12月17日，我国首艘国产航母“山东舰”服役，中国海军迎来“双航母”时代。军事专家预测中国的下一艘国产航空母舰上将使用弹射系统。已知某型号的战斗机在跑道上加速时可能产生的最大加速度为5．0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。问：

(1)若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？

(2)若某航空母舰上不装弹射系统，要求该航空型号飞机仍能在此舰上正常起飞，则该航空母舰身长至少应为多少？

解析：(1)根据公式v2－v02＝2ax

得v0＝ ＝30 m/s。

(2)不装弹射系统时，v2＝2aL

L＝＝250 m。

答案：(1)30 m/s　(2)250 m

1．电动自行车以其时尚、方便、快捷深受广大中学生的喜爱，但由电动自行车引发的交通事故也在逐年增多，学习交通安全常识，自觉遵守交通法规是确保学生交通安全的重要举措之一。按规定电动自行车在城区限速20 km/h。某同学为了判断自己正常行驶时是否超速，在一次正常行驶途中经过某一位置时立刻切断电源，让电动自行车沿直线自由滑行。测得电动自行车滑行的最大距离为15 m，滑行的时间为5 s，则该同学正常行驶的车速约为(　　)

A．3 km/h　   B．3 m/s　 

C．6 km/h　 D．6 m/s

解析：选D　根据x＝t得，v＝＝ m/s＝6 m/s＝21．6 km/h，D正确。

2．一物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，则物体在第2 s内的位移是(　　)

A．6 m     B．8 m     C．4 m    D．1．6 m

解析：选A　根据速度公式v1＝at，得a＝＝ m/s2＝4 m/s2。第1 s末的速度等于第2 s初的速度，所以物体在第2 s内的位移x2＝v1t＋at2＝4×1 m＋×4×12 m＝6 m，故A正确。

3．一只叫Diamond的宠物狗和主人游戏，宠物狗沿直线奔跑，依次经过A、B、C三个木桩，B为AC的中点，它从木桩A开始以加速度a1匀加速奔跑，到达木桩B时以加速度a2继续匀加速奔跑，若它经过木桩A、B、C时的速度分别为0、vB、vC，且vB＝，则加速度a1和a2的大小关系为(　　)

A．a1＜a                      B．a1＝a2

C．a1＞a2         D．条件不足，无法确定

解析：选A　设宠物狗在AB段和BC段的位移均为x，对AB段，vB2＝2a1x，对BC段，vC2－vB2＝2a2x，又vB＝，由以上三式解得a2＝3a1，故选项A正确，选项B、C、D错误。

4．日本筑波大学研制出了世界上第一种商业外骨骼机器人，这种装置能帮助行动不便者以一定速度行走。某人利用该外骨骼机器人从静止开始，沿直线匀加速行走了4 s，达到最大速度6 m/s后，又以1．2 m/s2的加速度沿直线匀减速行走了3 s，然后做匀速直线运动。求：

(1)该人匀加速运动时的加速度大小；

(2)该人匀速运动时的速度大小；

(3)前7 s过程中该人行走的总位移的大小。

解析：(1)设匀加速运动阶段，人的加速度大小为a1，最大速度大小为v1，运动的时间为t1，位移大小为x1

则v1＝6 m/s，t1＝4 s

a1＝＝＝m/s2＝1．5 m/s2。

(2)设匀减速运动阶段，人的加速度大小为a2，末速度大小为v2，匀减速运动的时间为t2，匀减速运动的位移大小为x2，则

a2＝1．2 m/s2，t2＝3 s

由v2＝v1－a2t2，代入数据得

v2＝2．4 m/s。

(3)匀加速阶段的位移大小x1＝v1t1＝12 m

匀减速阶段的位移大小x2＝(v1＋v2)t2＝12．6 m

则前7 s过程中该人行走的总位移大小x＝x1＋x2＝24．6 m。

答案：(1)1．5 m/s2　(2)2．4 m/s　(3)24．6 m