2022年湖南省衡阳市石鼓区松木中学中考数学模拟试卷（含解析）

2022年湖南省衡阳市石鼓区松木中学中考数学模拟试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 年以来，我国扶贫攻坚取得关键进展，农村贫困人口减少人，数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列各式中，计算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 已知一组数据，，，，，对这组数据描述正确的是

A. 众数是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 方差是

6. 不等式组的整数解是

A.  B.  C.  D.

7. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，四边形是平行四边形，点，，，在同一条直线上，请添加一个条件使得≌，下列不正确的是

A.  B.
C.  D.

10. 如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为

A.
B.
C.
D.

11. 随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产万件产品，现在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产万件产品，依题意得

A.  B.  C.  D.

12. 如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与双曲线交于，两点，若，则的值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 因式分解：______．
14. 代数式有意义，则的取值范围是______．
15. 若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是______．
16. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，该圆锥的侧面展开图的面积为______．
17. 如图所示，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则______．

18. 如图，已知四边形是正方形，将，分别沿，向内折叠得到图，此时与重合、都落在点，若，，则的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）

20. 已知，如图，，，，，求证：≌．

21. 今年月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为，，，四个等级，：，：，：，：并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
    
    请把条形统计图补充完整．
    扇形统计图中______，______，等级所占扇形的圆心角度数为______．
    该校准备从上述获得等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生用，表示，两名女生用，表示，请利用树状图法或列表法，求恰好抽到名男生和名女生的概率．
    
    
    
    
    
    
     
22. 为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花元购进洗手液与消毒液共瓶，已知洗手液的价格是元瓶，消毒液的价格是元瓶．
    求：该校购进洗手液和消毒液各多少瓶？
    若购买洗手液和消毒液共瓶，总费用不超过元，请问最多能购买洗手液多少瓶？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图所示，的顶点在正方形对角线的延长线上，与交于点，连接、，满足≌．
    求证：．
    若正方形的边长为，，求的值．

24. 如图，是的直径，是的切线，交于点．
    
    若为的中点，证明：是的切线；
    若，，求的半径的长．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，过点作于点，连接、，设点运动的时间为．
    求证：四边形是平行四边形；
    当四边形成为菱形时，求出相应的的值；
    与以、、为顶点的三角形能否相似，如果能，求出相应的的值；如果不能，请说明理由．

26. 如图，抛物线经过点、、．
    求抛物线的解析式；
    点是抛物线上的动点，当时，试确定的值，使得的面积最大；
    抛物线上是否存在不同于点的点，满足，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：的相反数是：．
故选：．
直接利用只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】
解：，
故选：．  

3.【答案】

【解析】

解：、是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项正确；
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】

【解析】

解：、，不是同类项，不能合并，因此选项不符合题意；
B、，不是同类项，不能合并，选项B不符合题意；
C、，因此选项C不符合题意；
D、，因此选项D符合题意；
故选：．
根据合并同类项、幂的乘方，同底数幂乘法的性质进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘法的计算法则，合并同类项的法则，幂的乘方，掌握运算性质是正确计算的前提．
 

5.【答案】

【解析】

解：将这组数据重新排列为，，，，，
所以这组数据的众数为，中位数为，平均数为，
方差为，
故选：．
将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．
 

6.【答案】

【解析】

解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解是，
故选：．
先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项．
本题考查了解一元一次不等式的应用，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的方程，解之即可得出值．
【解答】
解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故选：．  

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
【解答】
解：如图，标注字母，

由题意可得：，，
，
，
故选：．  

9.【答案】

【解析】

解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
A.若添加，则无法证明≌，故选项A符合题意；
B.若添加，运用可以证明≌，故选项B不符合题意；
C.若添加，运用可以证明≌，故选项C不符合题意；
D.若添加，运用可以证明≌，故选项D不符合题意．
故选：．
根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
 

10.【答案】

【解析】

解：四边形是的内接四边形，
，
由圆周角定理得，，
故选：．
根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：设更新技术前每天生产万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，
依题意，得：．
故选：．
设更新技术前每天生产万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，根据工作时间工作总量工作效率结合现在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
根据直线方程得到，点坐标以及的长度，通过，得到，从而得到，设点的横坐标为，结合反比例函数列方程即可解出的值．

【解答】
解：作轴，轴，与交于，如图，

点坐标为，点坐标为，，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
设点横坐标为，代入，则纵坐标是，则的坐标是：，点坐标为，
，解得，
点坐标为，
．
故选：．  

13.【答案】

【解析】

【分析】
先提公因式，分解成，而可利用平方差公式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
【解答】
解：．
故答案为．  

14.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
根据二次根式和分式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．  

15.【答案】

【解析】

解：设该多边形的边数为，
根据题意，得，，
解得：．
故这个多边形的边数为．
故答案为：
任何多边形的外角和是，内角和等于外角和的倍则内角和是边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．
 

16.【答案】

【解析】

解：圆锥的侧面展开图是扇形，
，
该圆锥的侧面展开图的面积为．
故答案为：．
根据圆锥的侧面积公式：即可得圆锥的侧面展开图的面积．
本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式．
 

17.【答案】

【解析】

解：、分别为、的中点，
，
，是斜边上的中线，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
设正方形的边长为，由翻折及已知线段的长，可用含的式子分别表示出、及的长；在中，由勾股定理得关于的方程，解得的值，即为的长．
【解答】
解：设正方形的边长为，由翻折可得：
，
，，
，，
，，，如图所示：

在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
，
舍，．
．
故答案为：．  

19.【答案】

解：原式，
当时，原式．
 

【解析】

原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
 

20.【答案】

证明：，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
≌．
 

【解析】

本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据全等三角形证明的方法判定即可．
由得，再由，证得，再结合已知条件，可利用证得≌．
 

21.【答案】

解：被调查的总人数为人，
等级人数为人，
补全图形如下：

，即，
，即；
等级所占扇形的圆心角度数为，
故答案为：，，；
画树状图如下：

共有种可能的结果，恰好抽到名男生和名女生的有种结果，
恰好抽到名男生和名女生的概率为．
 

【解析】

先由等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出等级人数，从而补全图形；
根据种补全图形得出、人数，利用百分比概念求解可得、的值，用乘以等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；
分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到名男生和名女生的结果数，利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

22.【答案】

解：设该校购进洗手液瓶，该校购进消毒液瓶，
依题意有，
解得．
故该校购进洗手液瓶，该校购进消毒液瓶；
设能购买洗手液瓶，则能购买消毒液瓶，
依题意有，
解得．
故最多能购买洗手液瓶．
 

【解析】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准不等关系，正确列出一元一次不等式．
设该校购进洗手液瓶，该校购进消毒液瓶，根据“共瓶；花费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设能购买洗手液瓶，则能购买消毒液瓶，根据总费用不超过元，列出不等式求解即可．
 

23.【答案】

证明：≌，
，
，
，
；
解：≌，
，
，
，
正方形边长为，．
，．
．
 

【解析】

本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质及锐角三角函数的知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
已知≌，根据全等三角形的对应角相等可得，再由，可得，即可证得；
由≌，根据全等三角形的对应角相等可得，由对顶角相等可得，即可证得；又因正方形边长为，，可得，在中，即可求得结论．
 

24.【答案】

证明：连接，，

是的直径，且在上，
，
，
为的中点，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
即，
是的切线；
解：，，
∽，
，
，，
，
，
，
，
即的半径的长是．
 

【解析】

本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质等知识．
连接，，由是的直径，得到，根据直角三角形斜边上的直线的性质得到，求得，根据切线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论；
证明∽，列比例式可得的长，最后根据勾股定理可得的长，进而可得的长．
 

25.【答案】

证明：由运动知，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形；

解：当四边形是菱形时，，
，，
，
，
，
即当四边形成为菱形时，的值为；

解：能；
由知，，，，，
与以、、为顶点的三角形相似，
∽，
，
，
；
∽，
，
，
，
即当或时，与以、、为顶点的三角形能相似．
 

【解析】

由运动知，，，再求出，进而得出，再判断出，即可得出结论；
先表示出，进而利用建立方程求解，即可得出答案；
先表示出，，再分∽和∽两种情况，得出比例式建立方程求解，即可得出答案．
此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定，菱形的性质，相似三角形的性质，用分类讨论的思想和方程的思想解决问题是解本题的关键．
 

26.【答案】

解：由题意可设抛物线的解析式为，
把代入，可得，
抛物线的解析式为．

设直线的解析式为，
将，代入得到，
解得，
直线的解析式为．
当时，点在直线的上方，过点作轴的垂线交于．

则，，

，
，
，
当时，的值最大，
此时，
．

由，，，可得，，，
，，
，
连接，过点作的垂线交抛物线于，交于连接，，

则，，
，
，
点在的垂直平分线上，即点在抛物线的对称轴上，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
点的坐标为．
 

【解析】

据题意可设抛物线的解析式为，将点代入解出，即可求出抛物线的解析．
先求出直线的解析式，然后根据当时，点在直线上方，过点作轴的垂线与线段相交于点，可将分别代入和得，，从而得出的代数式，从而可求出的值；
由题意可得，，，根据，，可求出，连接，过作的垂线交抛物线于点，交于点，可得，根据，可得与关于的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴对称，即点与点关于抛物线的对称轴对称，从而可求出点的坐标．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积，勾股定理轴对称等知识，解题的关键是学会利用参数，构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．