2020-2021学年山东省德州市齐河县八年级上学期期末数学试卷（解析版）人教版

这是一份2020-2021学年山东省德州市齐河县八年级上学期期末数学试卷（解析版）人教版，共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021 学年第一学期期末教学质量检测八年级数学（A）人教版
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将 正确答案的代号字母填入题后括号内．
1. 下列图形，不是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的 图形叫做轴对称图形，逐一判断即可．
【详解】解：A 选项图形是轴对称图形，故不符合题意；
B 选项图形是轴对称图形，故不符合题意； C 选项图形是轴对称图形，故不符合题意； D 选项图形不是轴对称图形，故符合题意． 故选 D．
【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题关键．

2. 如果单项式 -3ma -2bn2a +b 与 m3n8b 是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）

A. -3m6n16 B. -3m6n32 C. -3m3n8 D. -9m6n16

【答案】B
【解析】

【分析】根据同类项 定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，即可求出 a 和 b，再利用单项式乘以单 项式计算结果即可．
【详解】解：由题意可得：

ìa - 2b = 3
î
í2a + b = 8b ，

解得： a = 7，b = 2 ， 则这两个单项式分别为： -3m3n16 ， m3n16 ，
∴它们的积为： -3m3n16?m3n16 = -3m6n32 ，

故选：B．
【点睛】本题主要考察同类项的概念、单项式乘以单项式，掌握同类项的概念是解题的关键．

3. 如图， AB = AC ， AD = AE ， ÐA = 55° ， ÐC = 35° ，则 ÐDOE 的度数是（ ）



A. 105° B. 115° C. 125° D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】先判定△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C= 35° ，由三角形外角的性质即可 得到答案．
【详解】在△ABE 和△ACD 中，
ì AB = AC
í
ïÐBAE = ÐCAD ，
î
ï AE = AD



∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B=∠C，
∵∠C= 35° ，
∴∠B= 35° ，
∴∠OEC=∠B+∠A= 35°+ 55° = 90°，
∴∠DOE=∠C+∠OEC= 35° + 90° = 125°， 故选：C．
【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解 题关键．
4. 如图，作 VABC 关于直线对称的图形VA¢B¢C¢ ，接着VA¢B¢C¢ 沿着平行于直线 l 的方向向下平移，在这 个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（ ）




A. 对应点连线相等 B. 对应点连线互相平行
C. 对应点连线垂直于直线 l D. 对应点连线被直线平分
【答案】D
【解析】

【分析】作点 A 关于直线 l 的对称点 D，交直线 l 于 F，将点 D 向下平移得到点 A¢ ，连接 A A¢ 交直线 l 于 E， 则 AD 被对称轴垂直平分，利用 EF 是△A A¢ D 的中位线，得到 AE=E A¢ ， 同理可知：图形中对应点连线 被直线平分．
【详解】根据题意，作点 A 关于直线 l 的对称点 D，交直线 l 于 F，将点 D 向下平移得到点 A¢ ，连接 A A¢ 交 直线 l 于 E，
∵A、D 关于直线 l 对称，
∴AD 被对称轴垂直平分， 又∵EF∥ A¢ D，
∴EF 是△A A¢ D 的中位线，
∴AE=E A¢ ，即 A A¢ 被对称轴平分， 同理可知：图形中对应点连线被直线平分， 故选：D．
．
【点睛】此题考查平移的性质，轴对称的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 5. 如图，在等腰 VABC 中， ÐABC = 118° ， AB 垂直平分线 DE 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ， BC 的 垂直平分线 PQ 交 BC 于点 P ，交 AC 于点 Q ，连接 BE ， BQ ，则 ÐEBQ = （ ）





A. 65° B. 60° C. 56° D. 50°
【答案】C


【解析】

【分析】根据等腰 VABC ， ÐABC = 118° ，得到 AB=CB，∠A=∠C=

1 (180° - ÐABC) = 31° ，由 DE 垂
2

直平分 AB，求得∠ABE= ÐA = 31° ，同理： ÐQBC = ÐC = 31° ，根据∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC 计 算得出答案．
【详解】在等腰 VABC 中， ÐABC = 118° ，
1

∴AB=CB，∠A=∠C=

∵DE 垂直平分 AB，
(180° - ÐABC) = 31° ，
2


∴AE=BE，
∴∠ABE= ÐA = 31° ， 同理： ÐQBC = ÐC = 31° ，
∴∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC= 56° ， 故选：C．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟记线段垂直平分 线的性质是解题的关键．

6. 计算 0.752020 ´ æ - 4 ö
2019

的结果是（ ）

ç 3 ÷
è ø


4
A.
3
4
B. - C. 0.75 D. -0.75
3


【答案】D
【解析】


【分析】先将 0.752020 化为
32019


4
´ 3 ，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案．
4

【详解】 0.752020 ´ æ - 4 ö
2019

ç 3 ÷
è ø


= æ 3 ö
2019 2019
4
3
´æ - ö ´

ç 4 ÷ ç 3 ÷ 4
è ø è ø

3 4 3
2019
= é ´ (- )ù ´
êë 4 3 úû 4
= (-1) ´ 3
4
3
= - ,
4
故选：D．
【点睛】此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．

7. 下列各式从左到右变形不正确的是（ ）



A.
-3y2
3y2
=

B.
m = m
- y y
C. - = -
-a a
D. - =

-x x
-2n2
2n2
-5x 5x
3b 3b


【答案】B
【解析】

【分析】根据分式的基本性质：同时改变分式、分子、分母三个中的两个的符号，分式的值不变进行判断 ．

【详解】A、同时改变分式的分子及分母的符号，其值不变，正确； B、只改变分母的符号，其值改变，故错误； C、同时改变分式的分母及分子的符号，其值不变，正确； D、同时改变分式及分子的符号，其值不变，正确；
故选：B．
【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以-1，分式的值不变，即分式的符号、分母的符 号、分子的符号，同时改变其中的两个，分式的值不变，只改变其中的一个或同时改变其中的三个，分式 的值变成原来的相反数．
8. 如图所示，VABC ，VDCE 均为正三角形，连接 BD ， AE 交于点 O ， BD 与 AC 交于点 M ， CD 与
AE 交于点 N ，则下面结论错误的是（ ）



A. ÐBCD = ÐACE B. ÐCBD = ÐCEA C. ÐCAE = ÐCBD D. ÐAOB = 60°

【答案】B
【解析】

【分析】由等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质分别对各项进行分析即可．

【详解】 VABC ， VDCE 均为正三角形，

\ BC = AC，CD = CE, ÐACB = ÐBAC = ÐDCE = 60°

\ÐACD = 60°
Q ÐACB + ÐACD = ÐDCE + ÐACD
\ÐBCD = ÐACE ，故 A 正确； 在△BCD 与△ECA 中，
ì BC = AC
í
ïÐBCD = ÐACE
î
ï CD = CE

\VBCD @VECA(SAS)

\ÐCBD = ÐCAE ，故 B 错误；
\ÐCAE = ÐCBD ，故 C 正确；

Q ÐBMC = ÐAMO, ÐBCM = ÐMAO

\ ÐAOB = ÐACB = 60° ，故 D 正确， 故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相 关知识是解题关键．
9. 如图所示，阴影部分是边长为 a 的大正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形后得到的图形，佳佳将阴影 部分通过割拼，拼成了图①和图②两种新的图形，其中能够验证平方差公式的是（ ）


A. ① B. ② C. ①②都能 D. ①②都不能

【答案】C
【解析】

【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式．

【详解】解：如下图中，



左边的图形阴影部分的面积=a2-b2，
右边图形为长为 a＋b，宽为 a－b 的长方形，阴影部分的面积=（a+b）（a-b），
故可得：a2-b2=（a+b）（a-b）， 故图①可以验证平方差公式； 如下图中，


左边阴影部分的面积=a2-b2，
右边是底为 a＋b，高为 a－b 的平行四边形，阴影部分面积=（a+b）（a-b），
可得：a2-b2=（a+b）（a-b）， 故图②可以验证平方差公式． 故①②都能够验证平方差公式 故选 C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积 公式求证明平方差公式．
10. 如图，在正方形 ABCD 中， AB = 4 ， E 是 BC 上的一点且 CE = 3 ，连接 DE ，动点 M 从点 A 以每 秒 2 个单位长度的速度沿 AB - BC - CD -DA 向终点 A 运动，设点 M 的运动时间为 t 秒，当VABM 和 VDCE 全等时， t 的值是（ ）

A. 3.5 B. 5.5 C. 6.5 D. 3.5 或 6.5
【答案】D
【解析】

【分析】根据点 M 的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的性质和时间=路程÷速度分别

求解即可．

【详解】解：当点 M 在 AB 上时，显然 A、B、M 构不成三角形，故不符合题意； 当点 M 运动到 BC 上时，连接 AM，如下图所示


∵四边形 ABCD 为正方形
∴AB=DC=4，∠B=∠C=90°，结合题意，可知VABM ≌ VDCE
∴BM=CE=3
∴点 M 运动的路程为 AB＋BM=7
∴此时 t=7÷2= 3.5 ；
当点 M 运动到 CD 上时，连接 AM、BM，如下图所示


∵四边形 ABCD 为正方形
∴AB=DC=4，
由图易知 AM 和 BM 均大于 CE，
∴此时不存在VABM 和 VDCE 全等；
当点 M 运动到 DA 上时，连接 BM，如下图所示


∵四边形 ABCD 为正方形
∴AD=BC=AB=CD=4，∠A=∠C=90°，结合题意，可知VABM ≌△CDE
∴AM=CE=3
∴点 M 运动的路程为 AB＋BC＋CD＋AD－AM=13
∴此时 t=13÷2= 6.5 ；

综上：t 的值为 3.5 或 6.5
故选 D．
【点睛】此题考查的是全等三角形与动点问题，掌握全等三角形的性质和分类讨论的数学思想是解题关键．
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）


11. 要使
x - 5


x - 4

的值和
4 - 2x


4 - x

的值互为相反数，则 x 的值是 ．

【答案】3
【解析】

【分析】根据相反数的定义列出分式方程，然后解分式方程并验根即可．



【详解】解：由题意可得

两边同时乘 ( x - 4) ，得
x - 5 - (4 - 2x) = 0
x - 5 +
x - 4
4 - 2x


4 - x
= 0


解得：x=3
经检验：x=3 是原方程的解 故答案为：3．
【点睛】此题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．

12. 图中有 个三角形．


【答案】6
【解析】

【分析】类比数角的方法可得：单一的三角形有 3 个，由两个单一三角形组成的有 2 个，有三个单一三角形
组成的（即整个图形）是 1 个；然后合并起来即可．
【详解】1+2+3=6（个），故图中有 6 个三角形． 故答案为 6．
【点睛】本题考查了三角形的识别，根据数角的方法进行解答．

13. 分解因式： y2 - x2 - 2x - 1 = ．

【答案】 ( y + x + 1)( y - x - 1)

【解析】
【分析】先将原式变形为 y2 - (x2 +2x+1)，然后用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解： y2 - x2 - 2x - 1
y2 - (x2 +2x+1)
= y2 - ( x+1)2
= ( y + x + 1)( y - x -1)

故答案为： ( y + x + 1)( y - x - 1) ．
【点睛】本题考查的是因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是本题的解题关键．


14. 如图所示，折叠直角三角形纸片的直角，使点 C 落在 AB 上的点 D 处，已知 BC = 18 ，? B
30° ，则 OB


的长是 ．


【答案】12
【解析】

【分析】设 OC=x，则 OB=BC－OC=18－x，由折叠 性质可知：OD=OC=x，∠ADO=∠C=90°，然后利 用 30°所对的直角边是斜边的一半即可列出方程，求出 x，从而求出结论．
【详解】解：设 OC=x，则 OB=BC－OC=18－x
由折叠的性质可知：OD=OC=x，∠ADO=∠C=90°
∴∠BDO=180°－∠ADO=90°
在 Rt△BDO 中，∠B=30°
∴OB=2OD
∴18－x=2x 解得：x=6
∴OB=2×6=12
故答案为：12．
【点睛】此题考查的是折叠的性质和直角三角形的性质，掌握折叠的性质和 30°所对的直角边是斜边的一

半是解题关键．
15. 找规律：m2 - 1 = (m - 1)(m + 1) ，m3 - 1 = (m - 1) (m2 + m + 1) ，m4 - 1 = (m - 1)(m3 + m2 + m + 1)… 根据上面的规律：当 n 为正整数时，得 mn -1 = ．

【答案】 (m - 1) (mn-1 + mn-2 + mn-3 +L
【解析】
+ m + 1)


【分析】根据已知等式，探索出运算规律，即可求出结论．

【详解】解： m2 - 1 = (m - 1)(m + 1) = (m - 1)(m2-1 + 1) ，
m3 - 1 = (m - 1) (m2 + m + 1) = (m - 1) (m3-1 + m3-2 + 1)，
m4 - 1 = (m - 1) (m3 + m2 + m + 1) = (m - 1) (m4-1 + m4-2 + m4-3 + 1)


……

∴ mn -1 = (m -1) émn-1 + mn-2 + mn-3 L

+ mn-(n-1) + 1ù

ë û

= (m - 1) (mn-1 + mn-2 + mn-3 +L
+ m + 1)



故答案为： (m - 1) (mn-1 + mn-2 + mn-3 +L
+ m + 1)．


【点睛】此题考查的是因式分解的探索规律题，找出运算规律并归纳公式是解题关键．
三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）



16. 化简：（1）
2a + 2b ×
12ab2



解方程：（2）
3ab a2 - b2
x - 4 + 1 = - 3



【答案】（1）
x - 3
8b a - b
x - 3

；（2） x = 2 ．


【解析】

【分析】（1）利用提公因式、平方差公式将分式化简即可解题；


（2）方程两边同乘以 (x - 3) ，将分式方程转化为整式方程，再解一元一次方程即可．




详解】（1）
2a + 2b ×
12ab2

3ab a2 - b2

2(a + b) 12ab2
= ×

3ab
(a + b)(a - b)



= 8b ；
a - b
x - 4 3

（2）
x - 3
+ 1 = -
x - 3

方程两边同乘以 (x - 3) 得，

x - 4+x - 3 = -3
\2x = 4
解得 x = 2 ．
经检验， x = 2 是原方程的解．
【点睛】本题考查分式的乘除、解分式方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．


x - 2 æ
2x - 7
ö x + 1

17. 先化简，再求值： × ç1 + 2 ÷ ¸ ，其中 x = 2020 ．
x2 - 9 è x - 4x + 4 ø x + 3


【答案】

【解析】
1
，
x - 2
1


2018


【分析】先根据分式的各个运算法则化简，然后将 x = 2020 代入求值即可．


x - 2 × æ
+ 2 x - 7 ö ¸ x + 1

ç
【详解】解： 1
x2 - 9
x2 - 4x + 4 ÷

x + 3

è ø

x - 2
= ( x - 3)( x + 3) ×
x2 - 4x + 4 + 2x - 7
( x - 2)2
× x + 3
x + 1

x - 2
= ( x - 3)( x + 3) ×
x2 - 2x - 3
( x - 2)2
× x + 3
x + 1


x - 2
= ( x - 3)( x + 3) ×
1
( x - 3)( x + 1)
( x - 2)2
× x + 3
x + 1

=
x - 2
将 x = 2020 代入，得



原式=
1


2020 - 2
= 1 ．
2018


【点睛】此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的各个运算法则是解题关键．

1 1
18. 观察等式找规律：1- =
2 1´ 2
； 1 - 1 = 1
2 3 2 ´ 3
； 1 - 1 = 1
3 4 3´ 4
； 1 - 1 = 1 ；…
4 5 4 ´ 5

（1）根据以上规律写出第 n 个等式；



（2）根据你得出的结论计算右面这个式子的结果：
1 + 1 + 1 + ××× + 1 ；

1´ 2 2 ´ 3 3´ 4
n(n +1)




（3）若
1 + 1 + × × × + 1 = 1

，求 m 的值．

(m + 1)(m + 2) (m + 2)(m + 3) (m + 2019)(m + 2020)
m + 2020


1 1 1 n

【答案】（1）
- =
n n +1
n(n +1)
（ n ³ 1）；（2）


n +1
；（3）2018


【解析】

【分析】（1）观察一系列等式，得到一般性规律：两个连续正整数的倒数的差等于这两个数乘积的倒数， 表示出即可；
1 1 1 1 1 1 1

（2）根据（1）的规律将各式化简得到1- + - + - +L
2 2 3 3 4
+ -
n n +1
，合并同类项即可得到答案；


（3）根据规律将方程左边化简，得
1 =
m +1
2


m + 2020

，解方程即可．


【详解】（1）根据题意得：
1 - 1 = 1

（ n ³ 1）；

n n +1
n(n +1)




（2）
1 + 1 + 1 + ××× + 1

1´ 2 2 ´ 3 3´ 4
n(n +1)


1 1 1 1 1 1 1

=1- + - + - +L
2 2 3 3 4
+ -
n n +1



=1 -

n
=
1
n + 1
；

n +1

（3）

1 + 1 + × × × + 1 = 1

(m + 1)(m + 2) (m + 2)(m + 3) (m + 2019)(m + 2020)
m + 2020



1 1 1 1
- + - +L
 1 1 1
+
- =

m +1
m + 2
m + 2
m + 3
m + 2019
m + 2020
m + 2020

1 1 1
- =

m +1
m + 2020
m + 2020

1 = 2

m +1
m + 2020

2（m+1）=m+2020

m=2018，
经检验，m=2018 是方程的解．
【点睛】此题考查实数运算的规律探究，有理数的混合运算，解分式方程，根据已知的等式得到计算的规 律，并运用规律解决问题是解题的关键．
19. 沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由 C 走到 D 的过程中，通过隔离带的空隙 P ，刚 好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图， AB//PM //CD ，相邻两平行线间的距离 相等 AC ， BD 相交于 P ， PD ^ CD 垂足为 D ．已知 CD = 16 米．请根据上述信息求标语 AB 的长度．











【答案】16 米
【解析】

【分析】已知 AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABP=∠CDP，再由垂直的定义可得∠CDO= 90° ，可得 PB⊥AB， 根据相邻两平行线间的距离相等可得 PD=PB，即可根据 ASA 定理判定△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质 即可得 CD=AB=16 米．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDP，
∵PD⊥CD，
∴∠CDP= 90° ，
∴∠ABP= 90° ，即 PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD=PB，
在△ABP 与△CDP 中，
ìÐABP = ÐCDP
í
ïPD = PB ，
î
ïÐAPB = ÐCDP

∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴CD=AB=16 米．
【点睛】本题考察平行线的性质和全等三角形的判定和性质，综合运用各定理是解题的关键．


20. 如图，在 VABC 中， ÐACB = 90° ，? B


（1）求证： AE = ED ；
（2）若 AC = 2 ，求 DE 长．
【答案】（1）见解析；（2）１．
【解析】
30° ， CE 垂直于 AB 于点 E ， D 是 AB 的中点．


【 分析 】（ 1 ） 根据直角三角形斜边上的中线性质解得 CD=BD， 得到 ∠DCB =∠B = 30° ， 继而得到
ÐADC = ÐA = 60° 再根据等腰三角形的判定推出 AC=CD，最后根据等腰三角形的性质解题；
（2）先解得 ÐACE = 30° ，根据含 30°角的直角三角形的性质解得 AE 的长，即可解题．

【详解】（1）证明：在 VABC 中， ÐACB = 90° ，D 是 AB 的中点，
\CD = AD = BD = 1 AB
2
\ÐDCB = ÐB
Q ÐB = 30°, ÐACB = 90°

\ÐDCB = 30°, ÐA = 180° - 90° - 30° = 60°

\ÐADC = ÐB + ÐDCB = 60°
\ÐA = ÐADC
\ AC = DC
Q CE 垂直 AB 于点 E
\ AE = ED ；
（2）Q CE ^ AB
\ÐAEC = 90°

Q ÐA = 60°

\ÐACE = 30°

\ AE = 1 AC
2

Q AC = 2, AE = DE

\ DE = AE = 1．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线、含 30°角的直角三角形、三角形外 角的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
21. 某学校利用暑假对操场进行塑胶跑道的建设，承包单位派甲队进行施工，计划用 45 天时间完成整个工
程，当甲队工作 3 天后，承包单位接到通知，有一大型比赛要在该操场举行，要求比原计划提前 14 天完成 这个工程，于是承包单位派遣乙队与甲队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）乙队单独工作完成整个工程需要多少天？
（2）若刚开始，由甲乙两队同时进行施工，完成整个工程需要多少天？
【答案】（1）乙队单独工作完成整个工程需要 90 天；（2）刚开始，由甲乙两队同时进行施工，完成整个工
程需要 30 天．
【解析】

【分析】（1）设乙队单独工作完成整个工程需要 x 天，根据甲队单独完成的工作量＋甲、乙两队合作完成 的工作量＝总工程（单位“1”），即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求出结论．
【详解】（1）设乙队单独工作完成整个工程需要 x 天，依题可得

1 1 1
´ 3 + ( + ) ´ (45 - 3 - 14) = 1,
45 45 x

解得 x=90
经检验，x=90 是原分式方程的解且符合题意 答：乙队单独工作完成整个工程需要 90 天．

æ
（2）由题可得1¸ ç
1 + 1
ö
÷ = 30 （天）

è 45 90 ø

答：刚开始，由甲乙两队同时进行施工，完成整个工程需要 30 天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据 数量关系，列式计算．

22. 如图，点 O 是等边 VABC 内一点，将 VBOC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到VBDA ，连接 OD ．


（1）求证： VBOD 是等边三角形；

（2）若 AD = AO ， ÐAOC = 100° 时，求 ÐBOC 的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）130°
【解析】

【分析】（1）根据旋转的性质得到 BD=BO，∠DBO= 60° ，即可证得结论；
（2）利用 SSS 证明△ADB 和△AOB，推出∠ADB=∠AOB，由旋转得∠BOC=∠ADB，求得∠BOC=∠AOB， 根据∠BOC+∠AOB+∠AOC= 360° 计算得出答案．
【详解】（1）∵将 VBOC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到VBDA ，
∴BC=BA，BD=BO，∠DBO= 60° ，
∴ VBOD 是等边三角形；
（2）在△ADB 和△AOB 中，

ì AD = AO
í
ïBD = BO ，
î
ï AB = AB

∴△ADB 和△AOB（SSS），
∴∠ADB=∠AOB， 由旋转得∠BOC=∠ADB，
∴∠BOC=∠AOB，

∵∠BOC+∠AOB+∠AOC= 360° ， ÐAOC = 100° ，

∴∠BOC=∠AOB=130° ．
【点睛】此题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，熟记旋转的性质是解题的 关键．
23. 如图，已知 ÐAOB = 120° ， OP 平分 ÐAOB ． D ， E 分别在射线 OA ， OB 上．




（1）在图 1 中，当 ÐODP = ÐOEP = 90° 时，求证： OD + OE = OP ；

（2）若把图 1 中的条件“ ÐODP = ÐOEP = 90° ”改为 ÐODP + ÐOEP = 180° ，其他条件不变，如图 2
所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2） OD + OE = OP 仍成立，详见解析
【解析】
【 分 析 】（ 1 ）由 ÐAOB = 120° ， OP 平分 ÐAOB ，求得 ∠POD=∠POE= 1 ÐAOB = 60° ， 计 算 出
2
∠OPD=∠OPE= 90°- 60° = 30°，即可得到结论；
（2）过点 P 作 PN⊥OA 于 N，PM⊥OB 于 M，证明△PND≌△PME，得 ND=ME，即可推出 OD+OE=OP．

详解】（1）∵ ÐAOB = 120° ， OP 平分 ÐAOB ，
1
∴∠POD=∠POE= ÐAOB = 60° ，
2
∵ ÐODP = ÐOEP = 90° ，
∴∠OPD=∠OPE= 90°- 60° = 30°,

1
∴OD=
2
1
OP，OE=
2

OP，

∴ OD + OE = OP ；
（2） OD + OE = OP 仍成立，
证明：过点 P 作 PN⊥OA 于 N，PM⊥OB 于 M，则∠PNO=∠PMO= 90° ，
∵ OP 平分 ÐAOB ，PN⊥OA，PM⊥OB，
∴PN=PM，

∵ ÐODP + ÐOEP = 180° ， ÐODP + ÐNDP = 180° ，
∴∠NDP=∠OEP， 在△PND 和△PME 中，
ìÐPND = ÐPME
í
ïÐPDN = ÐPEM ，
î
ïPN = PM

∴△PND≌△PME，
∴ND=ME，
由（1）可得 ON=OM= 1 OP，
2
∴OD+OE=ON-ND+OM+ME=ON+OM=OP．


【点睛】此题考查角平分线的性质，直角三角形 30 度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形 的判定及性质，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．