2020-2021学年北京市西城区八年级上学期期末数学试卷（解析版）人教版

这是一份2020-2021学年北京市西城区八年级上学期期末数学试卷（解析版）人教版，共11页。

北京市西城区 2020-2021 学年度第一学期期末试卷八年级数学
考生须知：
1．本试卷共 6 页，共三道大题，29 道小题．考试时间 100 分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回．
一、选择题（第 1～10 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）

1. 3-2 的计算结果为（ ）
1 1

A. 6 B. C.
9 6
【答案】B
D. 9


2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
3. 下列运算中正确的是（ ）


A. a2 + a = a3
B. a5 × a2 = a10
C. (a2 )3 = a8
D. (ab2 )2 = a2b4


【答案】D
4. 如图，在 VABC 和 VDEF 中，ÐC = ÐF = 90° ，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是（ ）




A. ÐA = ÐD ， ÐB = ÐE
C. ÐA = ÐD ， AB = DE
B. AC = DF ， AB = DE
D. AC = DF ， CB = FE



【答案】A 5. 化简分式

xy + x x2


的结果是（ ）

y
A. B.
x
y +1


x
C. y +1
y + x
D.
x

【答案】B

6. 如果 m2 + m = 5 ，那么代数式 m(m - 2) + (m + 2)2 的值为（ ）


A. 14 B. 9 C. -1
D. -6


【答案】A

7. 已知一次函数 y = kx - 6 ，且 y 随 x 的增大而减小．下列四个点中，可能是该一次函数图象与 x 轴交点 的是（ ）

A. (0, 0) B. (2, 0) C. (-2, 0)
D. (6, 0)


【答案】C
8. 如图，在 VABC 中，点 D，E 分别在边 AB ，BC 上，点 A 与点 E 关于直线 CD 对称．若 AB = 7 ，AC = 9 ，
BC = 12 ，则 VDBE 的周长为（ ）


A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】B
9. 在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座 450m 高的山．乙组的攀登 速度是甲组的 1.2 倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少15min ．如果设甲组的攀登速度为 xm/min ，那么下 面所列方程中正确的是（ ）

A. 450 = 450 + 1.2
x x + 15
B. 450 = 450 - 15
1.2x x
C. 450 = 1.2 ´ 450
x x + 15
D. 450 = 450 + 15
1.2x x

【答案】B
10. 如图 1，四边形 ABCD 是轴对称图形，对角线 AC ， BD 所在直线都是其对称轴，且 AC ， BD 相交于 点 E．动点 P 从四边形 ABCD 的某个顶点出发，沿图 1 中的线段匀速运动．设点 P 运动的时间为 x，线段 EP 的长为 y，图 2 是 y 与 x 的函数关系的大致图象，则点 P 的运动路径可能是（ ）





A. C ® B ® A ® E
C. A ® E ® C ® B
B. C ® D ® E ® A
D. A ® E ® D ® C


【答案】D
二、填空题



11. 若分式
1


x - 4

有意义，则 x 的取值范围是 ．


【答案】x≠4．

12. 点 A(1, -3) 关于 x 轴对称的点的坐标为 ．

【答案】 (1, 3)

13. 计算：10a2b3 ¸ (-5ab3 ) = ．
【答案】 -2a ．
14. 如图， △ABC ≌△ADE ，点 D 边 BC 上， ÐEAC = 36° ，则 ÐB = °．


【答案】 72°
15. 已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直线上．小腾从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查阅资料，然后回 家．下面的图象反映了这个过程中小腾离家的距离 y（单位：m）与时间 x（单位：min ）之间的对应关系．根 据图象可知，小腾从食堂到图书馆所用时间为 min ；请你根据图象再写出一个结论： ．




【答案】 (1). 12 (2). 食堂离图书馆 780m(答案不唯一)
16. 如图 1，先将边长为 a 的大正方形纸片 ABCD 剪去一个边长为 b 的小正方形 EBGF ，然后沿直线 EF 将 纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图 2 所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形 AEGC ．根据图 1 和图 2 的面积关系写出一个等式： ．（用含 a，b 的式子表示）




【答案】a2−b2＝（a＋b）（a−b）．
17. 如图，VABC 是等边三角形，AD ^ BC 于点 D，DE ^ AC 于点 E．若

AD = 12 ，则 DE = ；△EDC


SVEDC
与 VABC 的面积关系是： = ．
SVABC


1
【答案】 (1). 6 ； (2). ．
8
18. 如图，一次函数 y = ax + b 与 y = cx + d 的图象交于点 P．下列结论中，所有正确结论的序号是

．
① b < 0 ；② ac < 0 ；③当 x > 1时， ax + b > cx + d ；④ a + b = c + d ；⑤ c > d ．



【答案】②④⑤ 三、解答题 19. 分解因式：
（1） x3 - 25x ；
（2） m(a - 3) + 2(3 - a)．
【答案】（1） x(x + 5)(x - 5) ；（2） (a - 3)(m - 2) ．
1 a - 3 a - 1
+ ¸ ．

20. 计算：
a - 1
2
a2 + 2a + 1
a + 1

【答案】


a +1

21. 小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在 VABC 中， ÐACB = 90° ．
求作：直线 CD ，使得直线 CD 将 VABC 分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．


作法：如图，①作直角边 CB 的垂直平分线 MN ，与斜边 AB 相交于点 D；②作直线 CD ．所以直线 CD
就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线 MN 是线段 CB 的垂直平分线，点 D 在直线 MN 上，
∴ DC = DB ．（ ）（填推理的依据）
∴ Ð =Ð ．
∵ ÐACB = 90° ，
∴ ÐACD = 90° - ÐDCB ，
ÐA = 90° - Ð ．

∴ ÐACD = ÐA．
∴ DC = DA ．（ ）（填推理的依据）
∴ VDCB 和△DCA 都 等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB，DBC；DBC；等角


对等边．


x x + 8
+ = 1

22. 解方程： x - 3
．
x( x - 3)


【答案】 x = -2
23. 如图， AB / /CD ，点 E 在 CB 的延长线上， ÐA = ÐE ， AC = ED ．


（1）求证： BC = CD ；
（2）连接 BD ，求证： ÐABD = ÐEBD ．


【答案】（1）见解析；（2）见解析．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 : y = -

交于点 B，且与直线 l1 交于点 C(-1, m)．


（1）求 m 和 b 的值；
（2）求 VABC 的面积；

2 x + 4 与 x 轴交于点 A，直线 l : y = 2x + b 与 x 轴
3 3 2

（3）若将直线 l2 向下平移 t(t > 0) 个单位长度后，所得到的直线与直线 l1 的交点在第一象限，直接写出 t 的


取值范围．
8
【答案】（1）m=2，b=4；（2）4；（3）
3



25. 给出如下定义：在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P1 (a, b), P2 (c, b), P3 (c, d ) ，这三个点中任意两点间 的距离的最小值称为点 P1 , P2 , P3 的“最佳间距”．例如：如图，点 P1 (-1, 2), P2 (1, 2), P3 (1, 3) 的“最佳间距”是 1．











（1）点 Q1 (2,1) ， Q2 (4,1) ， Q3 (4, 4) 的“最佳间距”是 ；

（2）已知点 O(0, 0) ， A(-3, 0) ， B(-3, y) ．

①若点 O，A，B 的“最佳间距”是 1，则 y 的值为 ；
②点 O，A，B 的“最佳间距”的最大值为 ；
（3）已知直线 l 与坐标轴分别交于点 C (0,3)和 D (4, 0)，点 P (m,n)是线段 CD 上的一个动点．当点
O (0, 0)， E (m,0) ， P (m,n)的“最佳间距”取到最大值时，求此时点 P 的坐标．


12 12
【答案】（1）2；（2）①±1；②3；（3）P（ ，
7 7

）．

26. 课堂上，老师提出了这样一个问题：如图 1，在 VABC 中， AD 平分 ÐBAC 交 BC 于点 D，且
AB + BD = AC ．求证： ÐABC = 2ÐACB ．小明的方法是：如图 2，在 AC 上截取 AE ，使 AE = AB ，连 接 DE ，构造全等三角形来证明结论．




（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段 AB 构造全等 三角形进行证明．辅助线的画法是：延长 AB 至 F，使 BF = ，连接 DF ．请补全小天提出的辅 助线的画法，并在图 1 中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图 3，点 D 在
VABC 的内部， AD ， BD ， CD 分别平分 ÐBAC ， ÐABC ， ÐACB ，且 AB + BD = AC ．求证：
ÐABC = 2ÐACB ．请你解答小芸提出的这个问题；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在 VABC 中，
ÐABC = 2ÐACB ，点 D 在边 BC 上， AB + BD = AC ，那么 AD 平分 ÐBAC ．小东判断这个命题也是真 命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图 4 对这个命题进行证明．

【答案】（1）BD，证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．
北京市西城区 2020-2021 学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题
一、填空题
27. 我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和
a + 3 (a - 1) + 4 4

的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
a - 1
= = 1 +
a - 1
，
a - 1

2a - 1 = 2(a + 1) - 3 = 2 - 3 ．参考上面的方法，解决下列问题：

a + 1
a + 1
a
a + 1
a

（1）将
a +1
变形为满足以上结果要求的形式：
a + 1
= ；

（2）①将
3a + 2
a - 1
变形为满足以上结果要求的形式：
3a + 2
a - 1
= ；②若
3a + 2
a - 1
为正整数，且 a 也为

正整数，则 a 的值为 ．
1 5

【答案】 (1).
二、解答题
1-
a +1
(2).
3 +
a -1
(3). 2 或 6


28. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = kx + 3 与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．点 C 在 第四象限， BC ^ BA ，且 BC = BA ．









（1）点 B 坐标为 ，点 C 的横坐标为 ；
（2）设 BC 与 x 轴交于点 D，连接 AC ，过点 C 作 CE ^ x 轴于点 E．若射线 AO 平分 ÐBAC ，用等式表 示线段 AD 与 CE 的数量关系，并证明．
【答案】（１）(0，3)，3；（2）AD=2CE，证明见解析．
29. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 )，定义如下：点 M 与点 N “直角距


离”为 x1 - x2
+ y1 - y2 ，记作 dMN ．例如：点 M (1, 5)与 N (7, 2) 的“直角距


离” dMN =|1 - 7 | + | 5 - 2 |= 9 ．


æ
3 1 ö
æ
1 1 ö
æ
1
1 ö
è
ø è ø è
− , - ÷
2 2 ø

（1）已知点 P1 (-1, 0), P2 ç - 2 , 2 ÷, P3 ç - 2 , 4 ÷, P4 ç

，则在这四个点中，与原点 O “直角距离”


等于 1 的点是 ；

（2）如图，已知点 A(1, 0), B(0,1) ，根据定义可知线段 AB 上的任意一点与原点 O 的“直角距离”都等于

1．若点 P 与原点 O 的“直角距离” dOP = 1 ，请在图中将所有满足条件的点 P 组成的图形补全；




（3）已知直线 y = kx + 2 ，点 C(t, 0) 是 x 轴上的一个动点．

①当 t = 3 时，若直线 y = kx + 2 上存在点 D，满足 dCD = 1，求 k 的取值范围；

②当 k = -2 时，直线 y = kx + 2 与 x 轴，y 轴分别交于点 E，F．若线段 EF 上任意一点 H 都满足1 £ dCH £ 4 ， 直接写出 t 的取值范围．

1
【答案】（1） P1 ， P4 ；（2）见解析；（3）① -1 £ k £ - ；② -4 £ t £ 5
3