高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用练习题

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1．函数f(x)的最大值为eq \f(1,2)，最小正周期为eq \f(2π,3)，初相为eq \f(π,6)的函数表达式是( )
A．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6))) B．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－\f(π,6)))
C．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6))) D．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))
解析：选D 由最小正周期为eq \f(2π,3)，排除A、B；由初相为eq \f(π,6)，排除C.
2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,6)))，s2＝5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t－\f(π,3))).则在时间t＝eq \f(2π,3)时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
解析：选C 当t＝eq \f(2π,3)时，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2.选C.
3.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )
A．2，eq \f(1,π) B.eq \f(1,2)，eq \f(1,π)
C.eq \f(1,2)，π D．2，π
解析：选B 当t＝0时，θ＝eq \f(1,2)sineq \f(π,2)＝eq \f(1,2)，由函数解析式易知单摆周期为eq \f(2π,2)＝π，故单摆频率为eq \f(1,π).
4.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
解析：选C 设AP所对的圆心角为α，α＝l，
弦AP的长d＝2·|OA|·sin eq \f(α,2)，
即有d＝f(l)＝2sin eq \f(l,2).
5．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则t＝eq \f(7,120)时的电流强度为( )
A．0安培 B．－5eq \r(2)安培
C．10eq \r(2)安培 D．－10eq \r(2)安培
解析：选A 由题图知A＝10，函数的周期T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,300)－\f(1,300)))＝eq \f(1,50)，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,\f(1,50))＝100π，
则I＝10sin(100πt＋φ)，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,300)，10))代入I＝10sin(100πt＋φ)，可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝1，
∴eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝eq \f(π,6)，故函数解析式为I＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))，将t＝eq \f(7,120)代入函数解析式，得I＝0.
6．函数y＝－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))(x≥0)的初相为________．
解析：由诱导公式可知y＝－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，故所求的初相为－eq \f(π,3).
答案：－eq \f(π,3)
7．已知某种交流电电流i(单位：A)随时间t(单位：s)的变化规律可以用函数i＝5eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行________次．
解析：∵周期T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)(s)，∴频率为每秒50次，
∴0.5 s往复运行25次．
答案：25
8．温州市某房地产介绍所对本市一楼群的房价进行了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足函数表达式y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(0<ω<π，|φ|<π)．已知第一、二季度的平均单价如表所示，
则此楼群在第三季度的平均单价大约是________元．
解析：将表格中的数据分别代入y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(0<ω<π，|φ|<π)，可得ω＝eq \f(π,2)，φ＝0，所以y＝500sin eq \f(π,2)x＋9 500，将x＝3代入可得y＝9 000.
答案：9 000
9．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．
解：(1)T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,160π)＝eq \f(1,80)(min)．
(2)f＝eq \f(1,T)＝80.
(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，
p(t)min＝115－25＝90(mmHg)．
即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内．
10．如果某地夏天从8～14 h的用电量变化曲线近似满足y＝Asin(ωx＋φ)＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)观察图象知8～14 h这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象可知，eq \f(1,2)T＝14－8＝6，
∴T＝12，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).
b＝eq \f(1,2)×(50＋30)＝40，A＝eq \f(1,2)×(50－30)＝10，
∴y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，又|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6).
∴所求解析式为y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))＋40，x∈[8，14]．
[B级 综合运用]
11．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0，1] B．[1，7]
C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]
解析：选D 由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).又∵当t＝0时，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))，t∈[0，12]．可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]．
12.(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是( )
A．该函数的周期是16
B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14
C．该函数的解析式是y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20(6≤x≤14)
D．这一天的函数关系式也适用于第二天
解析：选AB 由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，
∴A＝10，B＝20.
∵eq \f(T,2)＝14－6，∴T＝16，A正确；
∵T＝eq \f(2π,ω)，
∴ω＝eq \f(π,8)，∴y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x＋φ))＋20.
∵图象经过点(14，30)，
∴30＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)×14＋φ))＋20
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)×14＋φ))＝1，
∴φ可以取eq \f(3π,4)，∴y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20(0≤x≤24)，B正确，C错误；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错误．
13．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f(x)＝________．
解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＋B＝8，,－A＋B＝4，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝2，,B＝6.))周期T＝2×(7－3)＝8，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,4).∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,4)＋φ))＋6.
又当x＝3时，y＝8，∴8＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＋6.∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＝1，结合|φ|∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,4)－\f(π,4)))＋6.
答案：2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,4)－\f(π,4)))＋6
14．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时水的深度为16 m，其中有一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，用三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00时，该港口水深约为多少m？(精确到0.1 m)
解：(1)依题意知T＝eq \f(2π,ω)＝12，
故ω＝eq \f(π,6)，h＝eq \f(8.4＋16,2)＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋12.2，
因为t＝4时，d＝16，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,6)＋φ))＝1，
所以φ＝－eq \f(π,6)，所以d＝3.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,6)－\f(π,6)))＋12.2＝3.8sin eq \f(2π,3)＋12.2≈15.5.
即该港口的水深约为15.5 m.
[C级 拓展探究]
15．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝keq \r(x)(k＞0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)，x∈[4，8]))的图象，图象的最高点为Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(8\r(3),3)))，且DF⊥OC，垂足为点F.
(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为eq \f(4,3)，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
解：(1)由图象，可知A＝eq \f(8\r(3),3)，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,4×（8－5）)＝eq \f(π,6)，
将Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(8\r(3),3)))代入y＝eq \f(8\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))中，
得eq \f(5π,6)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝2kπ－eq \f(π,3)(k∈Z)．
因为|φ|＜eq \f(π,2)，所以φ＝－eq \f(π,3)，故y＝eq \f(8\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(π,3)))，x∈[4，8]．
(2)在y＝eq \f(8\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(π,3)))中，令x＝4，得D(4，4)，从而得曲线OD的方程为y＝2eq \r(x)(0≤x≤4)，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4\r(3),3)))，
所以矩形PMFE的面积为S＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(4,3)))×eq \f(4\r(3),3)＝eq \f(32\r(3),9)，
即儿童乐园的面积为eq \f(32\r(3),9).
x
1
2
y
10 000
9 500